第四章 大数定律与中心极限定理
§ 4.1 随机变量序列的两种收敛性
肉窑’要
1. 依概率收敛 设 i XI 为一随机变量序列，X 为一随机变量．如果对任意
的 e > 0 ，有
旦旦P l Ix. - x I < s l = 1 ,
则称 l XB l 依概率收敛于 X，记作 x. 工今 x.
2. 依概率收敛与服从大鼓定律闹的关系 设 l x. 1 为一随机变量序列，记Y. =
_!_ ) X,,E(Y) ＝土了 E(X，）. 则 l x. l 服从大数定律等价于 Y. - E( Y. ） 工，. 0.
n f;"l n t;1
3. 侬概率收敏的四则运算 如果 x. 工＋ α， Y. 工＋ b，则有
p
( 1) x. 土 Y”一→ α 土 b ;
p
(2)X.xY. 一－＋ a x b;
(3) x. ÷ Y.~ a÷ b ( b 手 0).
4. 按分布收敏、弱收敛 设 i F二（ x) l 是随机变量序列 l X. l 的分布函数列，
F(x） 为 X的分布函数．若对 F（功的任一连续点 z，都有 lim F” ( x) = F(x ） ，则称
w
! F. （ 先） I 弱收敛于 F( x ） ，记作 F.(x) ---+F(x ） .也称 i x路 i 按分布收敛于X，记作
L
X 一→ x.
5. 侬概率收触与按分布收敛阔的关系
p L
( 1) x. 一→ X ＝辛 x. 一→ x.
p L
(2) x. ＿：＿→ C 字辛 X抱 一→ c （其中 c 为常数）．
习题局僻答 4.1
p
1. 如果 x. 一→ X，且 x. 一→ Y. 试证：P( X = Y) = 1.
