一元二次方程根与系数的关系是代数学中的基本概念，它揭示了方程的根与方程系数之间的紧密联系。对于一般形式的一元二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \)，其根可以使用求根公式 \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) 来求解。而根与系数之间存在以下关系：
1. 如果 \( x_1 \) 和 \( x_2 \) 是方程的两个实数根，那么它们的和为 \( -\frac{b}{a} \)，积为 \( \frac{c}{a} \)。
2. 方程的根的倒数和等于 \(-\frac{a}{c}\)（当 \( c \neq 0 \) 时）。
3. 如果 \( x \) 是方程 \( px^2 + qx + r = 0 \) 的根，那么 \( p \) 和 \( q \) 可以通过根的乘积和和来表达。
在同步练习中，我们看到一系列问题涉及这些关系：
1. 两个实数根的和是 \( -\frac{b}{a} \)。
2. 两个实数根的倒数和是 \(-\frac{a}{c}\)。
3. 方程 \( (px+q)^2 = r \) 的根为 \(\frac{-q \pm \sqrt{q^2 - 4pr}}{2p}\)，从中可以找到 \( p \) 和 \( q \) 的值。
4. 利用根的和与积的关系，可以建立关于 \( a, b, c \) 的等式。
5. 已知两根之比，可以通过比例关系和根的和与积求解 \( k \)。
6. 同样，利用根的和与积以及 \( a, b, c \) 的关系可以求解 \( a, b \) 的值。
7. 对于两个不同的一元二次方程，所有实数根的和可以通过分别计算每个方程的根的和然后相加得到。
8. 当方程的两个实数根同号时，判别式 \( b^2 - 4ac \geq 0 \) 并且根的积 \( \frac{c}{a} \) 与 \( a \) 同号。
在选择题部分，我们需要应用上述关系来确定正确答案：
9. 利用韦达定理 \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) 和 \( x_1x_2 = \frac{c}{a} \) 来计算表达式的值。
10. 由韦达定理构建方程，使得其根为 3 和 -2。
11. 设方程的根满足韦达定理，通过 \( x_1 + x_2 \) 和 \( x_1x_2 \) 建立方程组求解 \( m \)。
12. 点 P 的坐标满足直线和双曲线的方程，将坐标代入构建方程，然后找到以 \( a, b \) 为根的方程。
13. 根据 \( x_1 + x_2 = x_1x_2 \)，可以得出 \( m \) 的值。
14. 利用根的和与积的关系求解表达式 \( (α+β)^2 - 4αβ \)。
解答题部分需要综合运用这些关系解题：
15. 直接应用根的和与积的公式来求解。
16. 通过不等式 \( x_1x_2 > m(x_1 + x_2) \)，结合韦达定理建立关于 \( m \) 的不等式。
17. 利用 \( a^2 + b^2 = 2ab \) 和韦达定理求解。
18. 将 \( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} \) 转换为 \( \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} \)，再结合韦达定理求解。
19. (1) 当判别式大于零时，方程有两个实数根；(2) 对角线长等于两根平方和的平方根，利用根与系数关系建立方程求解 \( k \)。
20. (1) 方程有两个非零实数根，判别式大于零但不等于零；(2) 分别讨论两个非零实数根同为正数和同为负数的情况，建立不等式求解 \( m \)。
这些练习题覆盖了一元二次方程根与系数关系的多个方面，包括填空题、选择题和解答题，旨在帮助学生巩固这个重要知识点并提高解题能力。
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