2019考研数学线性代数辅导讲义李永乐

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李永乐 2019 考研书籍 考研机构通用教材 仅供学习和参考
8D) 上.,四 目录成京 氮,的亲,阵言 伴随矩阵 …(40) 1第一章行列式 可逆矩阵 (42) 降尽,四 、知识结构网络图 初等矩阵… ·····要 (46) 己 二、基本内容与重要结论 ……(3) 正交矩阵… …(50) 基础知识 ……………(3) 矩阵方程… (51) 重要定理 …(4)四练习题精选…………(53) ESI 主要公式 (5) 答案与提示………………………(54) 方阵的行列式… 率内本 (6) 件的 第三章n维向量 克拉默法则 …(7) 、典型例题分析选讲………(8) 知识结构网络图 (56) 数字型行列式… (8) 二、基本内容与重要结论 (58) ,卧 抽象行列式………………………(15) 基础知识……………………(58) 特征多项式 (18) 重要定理 ·,,。,非非 (60) 矩阵秩的概念 ………(19) 典型例题分析选讲 (64) 关于|A|=0…………………(20) 线性相关……………………(64) (8 (c1) 克拉默法则 ……………(21) 线性表出……………………(71) 四、练习题精选 (23) 向量组的秩…………………(78) 答案与提示 (25) 矩阵的秩 …………(81) Schmidt正交化…… (84) 第二章矩阵 向量空间………………………(85) 、知识结构网络图… (27) 四、练习题精选……………(89) 二、基本内容与重要结论 (29) 答案与提示…… (90) 基础知识 (29) 第四章线性方程组 重要定理 ………(32) 主要公式…………… (33) 、知识结构网络图… (93) 、典型例题分析选讲 (36) 二、 基本内容与重要结论 (95) 矩阵运算 (36) 基础知识……………………(95) 主要定理 (96) 实对称矩阵 …(148) 三、典型例题分析选讲………………(98) 四、练习题精选 ……………………(154) 基础解系……………………(98) 答案与提示… (l55) 解方程组Ax=b………………(103) 第六章二次型 有解判定、解的结构、性质……(111) 公共解、同解…………………(114) 一、知识结构网络图 ∴∴…(157) (0) 方程组的应用……………………(117) 、基本内容与重要结论 (159) 四、练习题精选 (121) 基础知识…………………………(159) 答案与提示……………………(122) 主要定理……………………(160) 第五章特征值与特征向量 三、與型例题分析选讲… (162) 二次型基本概念· (162) 、知识结构网络图………………(124) 二次型的标准形… (163) 、基本内容与重要结论…………(126) 二次型的正定性 (169) 基础知识……………… (126) 矩阵的等价、相似、合同 (173) 重要定理…………………………(126) 四、练习题精选……………………(176) 三、典型例题分析选讲…………(129) 答案与提示 ,,垂D静,非· (177) 民许景 特征值、特征向量 ·,·, (129) 附录45分钟水平测试 相似、相似对角化……………(136) 相似对角化时的可逆矩阵P……(140) 自测(一)………………………(179) 求参数的问题 (143) 自测(二)…… (180) 用相似求A”………… (145) 参考答案与提示… (181) 反求矩阵A …………(147) 路区,四 二能 款长,或 回对联 要重已容内本基 唤出基 发重 发公上 指表得同典,三 (88) 其 2 单 第一章行列式—每章都有应用 一、知识结构网络图 尽念不同行不同列元素乘积的代数和(共n!项) 经转置行列式的值不变,即|A|=|A 某行有公因数k,可把k提到行列式外.特别地,某行元素全为0,则行列式的值为0 两行互换行列式变号.特别地两行相等,行列式值为0;两行成比例,行列式值为0 某行所有元素都是两个数的和,则可写成两个行列式之和 某行的k倍加至另一行,行列式的值不变 展14|=aA1+a2A2+…+aAn(按i行开)代数余子式 类141-=A+1A+…+01A(按列展开) 三角化法 接按行(列)展开 数字型一公式法 常用把第1行(列)的k倍加到第i行列 行叶剪 递推法技巧把每行(列)都加到第1行(列) 行(列)相加 用行列式性质 式 抽象型一用矩阵性质 用特征值|A|=I,相似 「Ax=0有非零解 反证法 证|A|=0-r(A)<n 0是A的特征值 A A Ax=0有非零解 伴随矩阵求逆法 应|线性相关(无关)判定 用 可 的证明 克拉默法则 特征值计算 二次型正定判定 对于二、三阶行列式有 a b id-bc 的C d ReAkNsb1 b2 b3= aib2C3+a2b3C1+a3 b1 Ca-aab2Ci-a2b1C3-a1b3 C2 注意这样的计算方法对4阶及4阶以上行列式不适用 1 线钍代数辅导讲义 学习礼记: 【评注】(1)对行列式的性质4要理解正确.例如 1+b1a2+b2a3+b3|a1a2a3|b 2 + ddd 对于n阶矩阵A=[a],B=[b],有A+B=[an+b],由于行列式 AB|中每一行都是两个数的和,所以若用性质4把行列式|A+B拆 开,则A+B|应当是2个n阶行列式之和.因此一般情况下|A+B|≠ A|+|B 特别地, ,的起 a a12 a11 a13 21 422 23 0-a2l-a220 23 a3-a32λ-aa 0-a310-a32-a3 0 al a12 3 0-a21A-a22 0一a23 +0-a21k-a 20一023 a310-a32A-a3 (先将第一行拆分,其它行不变,依此拆分第二、三行) 00.1272-a 0 13 =|00+0-a2a23|+|-a21入 1 00 o a32 33 0 a12 一 0-a120 +-an-a2x0+-an0+10a20 31 a32λ a3102 a 13 lI 12 +0A-a23+-a a22 a23 00 33 a32 33 =x2-(au+a +as)2+a ax t a3 aa I Iaar aa 12 a22 11 a12a13 是 n21a22a23 31 2a33 试窗五 (2)要会用行列式的性质及展开定理计算数字型行列式 (3)要熟悉抽象型行列式的计算 今年考题 (2018,3)设A为3阶矩阵,a1,2,a3是线性无关的向量组,若Aa1=a1 +az, Aa 2+a3,Am3 十a3,则|A (2018,1)设2阶矩阵A有两个不同特征值,a1,a2是A的线性无关的特 征向量,且满足A2(a1+a2)=a1+a2,则|A|= 3莫得该超长草长回发意数 第一章亓列式 学习礼记:原但 基本内容与重要结论 真信来第 基础知识 失民行1= 定义1.1n阶行列式 12 a C a 是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积 的代数和,这里j12jin是1,2,…,n的一个排列.当j1j2…in是偶排列时, 该项的前面带正号;当j12…jn是奇排列时,该项的前面带负号,即 l1a12 aIn a21 a a (-1)12n)a1,a2 方2j2 1.1) 这里∑表示对所有n阶排列求和式(1.1)称为n阶行列式的完全展 开式 例如,若已知a142a31a42是四阶行列式中的一项,那么根据行列式的 定义,它应是不同行不同列元素的乘积.因此必有j=3 由于a1a23a31a12对应的逆序数 r(4312)=3+2+0=5 是奇数,所以该项所带符号为负号 【评注】(1)由1,2,,n组成的有序数组称为一个n阶排列.通常 用12…表示n阶排列.候器是示的计一千 (2)一个排列中,如果一个大的数排在小的数之前,就称这两个数构 成一个逆序.一个排列的逆序总数称为这个排列的逆序数.用 z(2…jn)表示排列j1j2j的逆序数,张表计(8,)公 如果一个排列的逆序数是偶数,则称这个排列为偶排列,否则称为 奇排列. 例如,在排列25134中,有逆序21,51,53,54,因此排列25134的逆序 数为4,即(25134)=4.所以排列25134是偶排列,, 线性代数辅导讲义 学刁札记:5 定义1.2在n阶行列式 a1a12 ain D a , 中划去元素a所在的第i行、第j列,由剩下的元素按原来的排法构成一个 n-1阶的行列式 n11 a;-1,1…a-1,-1a1,;+1…a;-1 1an,+1…an 称为an的余子式,记为M1;称(1)M为an的代数余子式,记为A,即 A=(1)中M 里(1.2) 12a|是 例如若已知行列式01-1的代数余子式A2=2,即已知 345 2 2+1 2 45 从而a=3 将 倍。示 重要定理 b联, 定理1.1n阶行列式月的落正圆不 a1a12 a a C D 导负:型点, nI 等于它的任意一行的所有元素与它们各自对应的代数余子式的乘积之和, 即个 民小你 D=aA1+a42A2+…+aA(k=1,2,…,n).(1.3) 公式(1.3)称为行列式按第k行的展开公式 令。定理1.1n阶行列式D等于它的任意一列的所有元素与它们各自对 的代数余子式的乘积之和, 3D=a1kA1k+a2kA2k+…+akAk(k=1,2,…,m).,(1.4) 公式(1.4)称为行列式按第列的展开公式. 4 第一章亓列式 定理1.2设n阶行列式 民行前权平关1分|学习礼记:总在单 a11a12 aIn D nI 元素a的代数余子式为A,当i≠k(i,=1,2,…,n)时,有 阶矩anAa+a2A+…+anA如=0;个(1.5)1 当j≠k(j,k=1,2,…,n)时,有 jiA Amk= 【评注】根据代数余子式的性质(1.3)与(1.5),对于0 图[a1a12a13 12a1 矩阵A=/aa2a23和行列式/A a21a22a23,我们有 a3233 a1na12a13「A1A21A a2r a22 a23 A12 A22A t31 A13A23A3 an Au+ar A12 +ai3A13 an A21 +aj2 A22 +a1 A23 a1 A31 +a12 A32 t a13A33 au Au +az2A2+a23 A13 a21 A21 +a2 A2 +a23 A23 a21 A31 ta22 A32 +az A33 a31 An +a32A2 +a33A13 a31 A21+ a32 A22 +a3 A23 a31 A3 t a32 A32 t a3 A33 00 100 0|A| A010 0 A 00 即 AA AE 类似地由(14)与(1.6)有AA=1AE,从而 AA 1·=A·A= JAE 这是一个重要的公式,要会灵活运用(详见第二章伴随矩阵) 主要公式 (1)上(下)三角行列式的值等于主对角线元素的乘积 all aIn 21 au a ,, aui an2 (E.1 A顶,置的量A,倍nA落(1) 5 绒魁代歎辅号讲义 学习札记:5单 (2)关于副对角线的行列式 a1a12 ,laln 0 0 a2,m-1 0 0 0 0 nl C =(1)2a1na2,n1…an. 平族为(1.8)示 (3)两个特殊的拉普拉斯展开式 A A O LA-B (8.O B 米B 0 A (一1)m|A|·B|,。(1.10 B BO 6m,n分别是矩阵A,B的阶数 (4)范德蒙行列式 1.11) 1 了2 5)特征多项式 设A=(an)是3阶矩阵,则A的特征多项式 E-A=入3-(a1+a2+a3)2+2A-A|,(1.12) 1 12 a 22 23 其中s2 a21a22 33 a32a33 【评注】设A是n阶矩阵,a是n维非零列向量,若 ) d=,g≠0 则称是矩阵A的特征值,是矩阵A属于特征值入的特征向量 由如g=→m-A=0→(E-A)a=0 知a是齐次方程组(-A)x=0的非零解,故系数行列式-A=0 关于(1.12)的推导请参看P2之评注(1) 特别地,若秩r(A)=1,由(1.12)知特征多项式 E一A|=3-(∑a1)米2=(-∑a)12, 那么,矩阵A的特征值是A1=∑a,12=x3=0 方阵的行列式 一中。 (1)若A是n阶矩阵,AT是A的转置矩阵,则|A|=|A|;(1.13) 6

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Whisper1564 还不错 内容比较多慢慢看
2020-05-23
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yy1000350103 李永乐的线性代数是权威,内容没的说,棒
2019-04-10
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qq_41152497 第一次下载没成功准备试第二次
2018-08-27
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