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计算电磁学之FDTD算法的MATLAB语言实现.doc

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计算电磁学之FDTD算法的MATLAB语言实现.doc

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课程设计实验报告

课程名称：计算电磁学

指导老师：

专业班级： 2014

级电路与系统

姓名：

学号：

FDTD 算法的 MATLAB 语言实现

摘要：时域有限差分(FDTD)算法是 K.S.Yee 于 1966 年提出的直接对麦克斯

韦方程作差分处理,用来解决电磁脉冲在电磁介质中传播和反射问题的算法。其

基本思想是:FDTD 计算域空间节点采用 Yee 元胞的方法,同时电场和磁场节点

空间与时间上都采用交错抽样；把整个计算域划分成包括散射体的总场区以及

只有反射波的散射场区,这两个区域是以连接边界相连接,最外边是采用特殊的

吸收边界,同时在这两个边界之间有个输出边界,用于近、远场转换;在连接边界

上采用连接边界条件加入入射波,从而使得入射波限制在总场区域；在吸收边界

上采用吸收边界条件,尽量消除反射波在吸收边界上的非物理性反射波。

本文主要结合 FDTD 算法边界条件特点 , 在特定的参数设置下，用

MATLAB 语言进行编程，在二维自由空间 TEz 网格中，实现脉冲平面波。

关键词：FDTD；MATLAB；算法

1 绪论

1.1 课程设计背景与意义

20 世纪 60 年代以来，随着计算机技术的发展，一些电磁场的数值计算方法

逐步发展起来，并得到广泛应用，其中主要有：属于频域技术的有限元法

（FEM）、矩量法 (MM)和单矩法等；属于时域技术方面的时域有限差分法

(FDTD)、传输线矩阵法(TLM)和时域积分方程法等。其中 FDTD 是一种已经获

得广泛应用并且有很大发展前景的时域数值计算方法。时域有限差分

（ FDTD ）方法于 1966 年由 K.S.Yee 提出并迅速发展，且获得广泛应用。

K.S.Yee 用后来被称作 Yee 氏网格的空间离散方式，把含时间变量的 Maxwell 旋

度方程转化为差分方程，并成功地模拟了电磁脉冲与理想导体作用的时域响应。

但是由于当时理论的不成熟和计算机软硬件条件的限制，该方法并未得到相应

的发展。20 世纪 80 年代中期以后，随着上述两个条件限制的逐步解除，FDTD

便凭借其特有的优势得以迅速发展。它能方便、精确地预测实际工程中的大量

复杂电磁问题，应用范围几乎涉及所有电磁领域，成为电磁工程界和理论界研

究的一个热点。目前，FDTD 日趋成熟，并成为分析大部分实际电磁问题的首

选方法。

1.2 时域有限差分法的发展与应用

经过四十多年的发展，FDTD 已发展成为一种成熟的数值计算方法。在发

展过程中，几乎都是围绕几个重要问题展开的，即数值稳定性、计算精度、数

值色散、激励源技术以及开域电磁问题的吸收边界条件等。数值稳定和计算精

度对任何一种数值计算方法都是至关重要的。其中激励源的设计和引入也是

FDTD 的一个重要任务。目前，应用最广泛的激励源引入技术是总场/散射场体

系。对于散射问题，通常在 FDTD 计算空间中引入连接边界，它将整个计算空

间划分为内部的总场区和外部的散射场区，如图 1.1。利用 Huygens 原理，可

以在连接边界处引入入射场，使入射场的加入变得简单易行。

图 1.1 总场/散射场区

2 FDTD 法基本原理

2.1 Maxwell 方程和 Yee 氏算法

根据电磁场基本方程组的微分形式，若在无源空间，其空间中的煤质是各

向同性、线性和均匀的，即煤质的参数不随时间变化且各向同性，则 Maxwell

旋度方程可写成：

式中，E 是电场强度，单位为伏/米（V/m）； H 是磁场强度，单位为安/米

（A/m）； ε 表示介质介电系数，单位为法拉/米（F/m）； μ 表示磁导系数，

单位为亨利/米（H/m）； σ 表示介质电导率，单位为西门子/米（S/m）；

表示导磁率，单位为欧姆/米（Ω/m）。

$ K.S.Yee 在 1966 年建立了如图 2.1 所示的空间网格，这就是著名的 Yee 氏

元胞网格。

图 2.1 Yee 氏网格及其电磁场分量分布

电场和磁场被交叉放置,电场分量位于网格单元每条棱的中心,磁场分量位

于网格单元每个面的中心,每个磁场(电场)分量都有 4 个电场(磁场)分量环绕。

这样不仅保证了介质分界面上切向场分量的连续性条件得到自然满足,而且还允

许旋度方程在空间上进行中心差分运算,同时也满足了法拉第电磁感应定律和安

培环路积分定律,也可以很恰当地模拟电磁波的实际传播过程。

2.2 时域有限差分法相关技术

2.2.1 数值稳定性问题

FDTD 方程是一种显式差分方程，在执行时，存在一个重要的问题：即算

法的稳定性问题。这种不稳定性表现为在解显式方程时，随着时间步数的继续

增加，计算结果也将无限制地增加。Taflove 于 1975 年对 Yee 氏差分格式的稳定

性进行了讨论，并导出了对时间步长的限制条件。数值解是否稳定主要取决于

时间步长 Δt 与空间步长 Δx、Δy、Δz 的关系。对于非均匀媒质构成的计算空间

选用如下的稳定性条件：

上式是空间和时间离散之间应当满足的关系，又称为 Courant 稳定性条件。若

采用均匀立方体网格：Δx=Δy=Δz=Δs

其中，v 为计算空间中的电磁波的最大速度。

2.2.2 数值色散

FDTD 方程组是对 Maxwell 旋度方程进行差分近似，在进行数值计算时，将

会在计算网格中引起数字波模的色散，即在 FDTD 网格中，电磁波的相速与频

率有关，电磁波的相速度随波长、传播方向及变量离散化的情况不同而改变。

这种关系由非物理因素引起，且色散将导致非物理因素引起的脉冲波形畸变、

人为的各向异性和虚假折射等现象。为获得理想的色散关系，问题空间分割应

按照小于正常网格的原则进行。一般选取的最大空间步长为 Δ

max

=λ

min

/20，λ

min

为所研究范围内电磁波的最小波长。由上分析说明，数值色散在用 FDTD 法分

析电磁场传播中的影响是不可能避免的，但我们可以尽可能的减小数值色散的

影响。

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