数学分析(下册) 复旦大学数学系 欧阳光中 姚允龙主编 1993年 复旦大学出版

所需积分/C币:42 2018-10-14 21:39:10 8.65MB PDF
收藏 收藏 2
举报

数学分析(下册) 复旦大学数学系 欧阳光中 姚允龙主编 1993年 复旦大学出版
§1 Euclio空间上点集拓扑的基本念453 定义 x十y=(x1+y1,x2+y2,…,xn+y) 人x=(Mx1,Ax2,…,xn), 很明显x+y∈,∈R。根据线性空间(参见代数学的有关教程 的定义,容易验证当集合Rn上装备了上述加和数乘之后,R成为一 个线性空间,这时Rn已不同于作为一个单纯的集合R,而是在集合 Rn上装备了上述代数结构,使它成为一个线性空间 但这还不够。我们还要在线性空间R上装备另一种结构,在这 种结构下可以规定何谓x和y之间的距离,一旦有了距离的概念,就 可以讨论分析学的重要问题—收敛 在R中,我们并不是首先和直接定义何谓距离,而是先定义何谓 x和y的内积。这是由普通的解析几何学所启发的,并且它在解析几 何学中又是行之有效的重要概念和方法。 x=(x1,x2,…,xn)∈Rn,y=(y1,y2…,yn)∈R, 定义x和y的内积〈x,y是 (x, y)=x131+x2y2+oo, +,yr, 它是一个实数。这一定义不过是普通解析几何中两个向量内积的直接 拓广。如同在解析几何中一样,内积满足下列性质t对R中任何 第,y,z和任何实数,有 (1)<x,y)=<yx (2)(x+y,2)=(x,z+(y:x (3)<λ,y)=λ(x,y )〈xx>≥0,〈x,x>=0当且仅当x=0。 到这里为止,我们已经做了三件事,第一件是从集合R出发,利 月集合的直积,构造出集合R”,第二是在R上装备了一种代数结构, 使它成为一个线性空间,第三是在线性空间R的基础土装备了内积 使它成为具有内积的线性空间。称这个R是1维 Euclid空间。 三、 Euclid范数和距离 有了内积之后,就可以定义何谓x∈R的范数(即向量x的模 454第十六章 Euclid空间上的点集折扑 长)。设x=(x1,x2,…,xn)∈Rn,定义x的范数|x是 x|=√<x,x √x1+x2+…+x2 很明显,它是解析几何中向量模长的直接拓广,又称|·|是Rη中的欧 几里得范数 在解析几何学中,设x和y是两个向量,那么下列不等式成立 (x,y》|≤|xy 即两向量内积的绝对值不超过两向量各自模长之乘积。这一不等式又 称为 Schwarz不等式。在一般的 Euclid空间中,这个不等式也同样 成立 Schwarz不等式设x,y∈Rn,则 1(x,y》|≤|x}y 证对任何λ∈R,有 0≤〈λx+y,λx+y 2〈x,x>+2<x,y)+(y,y。 最后的式子是λ的二次三项式,而它的符号不变,所以其判别式大于 或等于0,即 4<x,y〉2-4(x,x(y,y≥0 或者写成 x,y〉2≤<x,x)<y,y) 这就是 <x,y)≤!xy 由范数立即可以引进距离。设x,y∈Rn,定义x和y的距离是 x-y.用它们的坐标表示出来就是:设x=(x1,x2,…,xn),y=(y y2,…yn),那么 lx-y=√(x1-y)2+(x2-y2)2+…+(xz-y 这是解析几何中两点之间距离的直接拓广 范数和距离有以下几个性质。范数的性质有 (1)x≥0,1x,=0当且仪当x=0; (2)1x÷y≤x+1y(三角不等式)嘉 §1 Euclid空间上点集拓扑的基本概念、455 (3)λx}=1^1x,是任一实数 性质(1)和(3)都是很明显的,性质(2)的证明留给读者。 由范数的性质立郎得出距离的性质 (1)|x-y≥0,|x-y1=0当且仅当x=y (2)]x-x≤|x-y+y-z(三角形不等式)y (3)|x-y={y-x 四、邻域 和直线上的邻域完全相仿,可以引进n维Euid空Rn内的邻 域。设a∈Rn,对任意一个实数6>0,记 O(a)={x∈R"|1x-a<0} 称O4(a)是点a的d邻域,或者称它是以点a为中心、以d为半径 的n维开球。从形式上看,它和直线上的邻域的表达形式是完全一样 的,只不过在这里,a和x都是R中的点,是R中的 Euclid范 数。 用坐标写出来,设x=(x1,x2,…,xn),a=(a1,a2,…,an),则 i92 ∈Rn|(x1-a1)2+…+(xn-an)2<62 在R中,它是个通常的开球即不包含边界球面的球体;在R2中, 它是一个开圆盘即不包含边界圆周的圆盘在直线上,它就是一个开区 间。因此,R中的邻域(开球)不过是通常的开区间、开圆盘、开球 的一个自然而直接的拓广 五、收斂 有了距离或邻域的概念,就可以讨论分析学中的一个核心问题 收敛 设点列{xk}Rn,a∈Rn,如果2>0,彐K,>K有 Xk-a<e, 则称点列{xk}收敛,收敛于a,又称a是点列{xk}的极限,记为 lim xk 或 k->∞)。 从形式上看,Rn中点列{xk的收敛和直线上数列的收敛,在表达 形式上两者是样的,只不过在这里xk和a都是R中的点,{是 Rn中的 Euclid范数。 456笋十六章Ecld空间上的点集拓扑 点列{x收敛于a,还可以用邻域的语言表达如下:如果对点a的 任何邻域Oa),彐K,>K有x∈O(a),则称{xk收敛于a 很明显,上面用距离来表达和用邻域来表达是完全一样的。 同样,不难证明下列定理。 定理1(极限的唯一性)设{xk}<R2,[xk}收敛,则其极限是唯 一的.即若设x→>a2xk>b,则a=b 证采用反证法,设a÷b,那么必存在a的邻域Oa4(a)和b的邻 域O2(b)(图16-2),且 (a)∩O2(b) 图16-2 由于→a,xk→b,所以三K,k>K,有 xk∈O(a),xk∈Oa2(b) 这与Oa1(a),Oa1(b不相交矛盾。因此极限唯一 定理2(坐标的收)设x=(x),x)2…,x),无=1,2,…” 露=(a1,a2,…,an),则下列等价 (1)xk->a(k->∞); (2)x)→a(k→∞),=1,2,…,孔 即{x}收敛的充要条件是相应的坐标{x分}收敛.(i=1,2,…)我们把 它的证明留给读者。 六、练习 1。设A,B是两个集合,是否有A×B=BXA 2。设A,B,C是三个集合,证明 A×(BUC)=(xB)∪(A×C), § 1 Euclid空间上点集拓扑的基太概念457 Ax(B∩C)=(A×B)∩(A×C)。 3.证明 Euclid范数满足三角形不等式 x+y≤|x十!y,x,y∈R"。 4。证明R解中点列{x}收敛的充要条件是相应的坐标{x()}收就 =1,2,…形(即定理2) 5.设xn→>x(→∞),证明|xn→|x反之如何? 七、内点、外点、边界点、聚点 内点、外点、边界点利聚点都是很形象很直观的概念,下面所做 的只是用数学的语言将这些直观的概念表达出来。 设S是R中的一个子集,即ScR"。 内点 设x∈S,并且存在点x的一个邻域 O(x)cS则称x是S的一个内点(图 16-3)换句话说,内点x是这样的点, 它自身属于S,并且它的近旁的一切点 都属于S,这就是名符其实的“内”也 S中所有内点的全体称为S的内 部,记为S°譬如在直线上,任何区间 a,b的内部是开区间(a,b)。 2。外点 设yS,并且存在y的一个邻域O(y),使O(y)「S=团,(或 者写为O8(y)cS,S°是S的补集,S=Rn-S,则称y是S的一个外 点、(图16-3)换句话说,外点y是这样的点,它自身不属于S,并且 它的近旁的一切点也不属于S,这就是名符其实的“外也。 3。边界点 对点z(z可能属于S也可能不属于S),如果在点z的任何邻域 0(x)内,既有S中的点,又有非S屮的点,也就是说 z)∩S )∩S÷ 则称z是S的一个边界点(图16-3)并称S的所有边界点的全体是S 的边界,记为oS。 458第十六章Euid空间上的点集拓扑 例如在R2中,设 S1=:(x,y)1<x2+y2≤2}, S2=:(x,y)0≤x,y≤1,x,y都是有理数}, 则 S1的内部S!={(x,y)1<x2÷y2<2}, S1的边界0S1-{(x,y)x2+y2-1yU{(x,y)x2-y2=2} 2的内部S2=6 S2的边界0S2={(x,y)10≤x≤1,0≤y≤1} 又如在R屮,如果仍旧设 {(x,y,)1<x2+y2≤2,z=0}, 那么在R中 S1的内部=, S1的边界S={(x,y,x)1≤x2-y2≤2,2=0}。 4。聚点 设点x,它可能属于S也可能不属于S,如果在点X的任何邻域 o(x)内总含有S-{x}中的点,则称x是S的一个聚点。 不难证明,如果x是S的一个聚点,那么必存在一列xn∈S(n 12,3,…),xn÷x,使x→>X这表明在S内存在一列点积聚在x的周 围,即谓之“聚”也。要注意聚点本身可能属于S,也可能不属于S 由聚点的定义立刻知道:(1)S的内点一定是S的聚点,S的外 点一定不是S的聚点,S的边界点是不是S的聚点呢?由读者回。 (2)若x不是S的聚点,如果X∈S,则x一定是S的外点。如果x∈S, x不是S的聚点,则称x是S的一个孤立点,孤立点一定是边界点 八、开集 设S是Rn中的一个子集,如果S中的每一点都是的内点,则 称S是Rn中的一个开集。也就是说开集是由内点组成的,或者说 例如任何一个n维开球定是R中的开集,但开集未必是开球 又如平面上不包含边界的矩形是R2中的开集,{(x,y) 2.。<1 a2b §1 Euclid空间上点集拓扑的基本概念459 (a,b是两个常数)也是R2中的开集。此外,整个R当然是R"中的开 集。我们再约定空集也是开集。 定理3开集具有以下三条最重要的特征 (1)任意个开集之并集仍是开集 即设{O4:4∈A}是R中的一族开集,A是指标集,它可能是有 限集也可能是无限集(可列无限或不可列无限),则凵O4也是R中 的开集。 (2)有限多个开集之交集仍旧是开集 即设O1,O2;…,Om是R中m个开集,则∩O2也是Rn中的开 集 (3)整个Rn和空集¢都是开集。 证(1)对每一个x∈∪O4,则存在λ∈A,使x∈O,.已知O 是开集,所以存在x约邻城O(x)O2。·从而有O3(x)C(O;,这 样便证明了↓O1中的每一个x都是O1的内点,于是∪O4是开 A∈d 集 (2)如果∩O是空集,按预先的约定空集是开集。如果∩O2 非空,对每一个x∈门O,有x∈O,=1,2,…,m,而O2都是开集, 故存在x的邻域O;(x)O,取 d=min(8,o 9029“"yOm)y 有O(x)=0,1()cQ(i=1,2,…,m),所以O3(x)∩O,这就证 明了∩O:中的每一个x都是1O:的内点,即∩O是开集。 (3)是明显的。 利用定理3的性质(1),不难看出R中的任何开集都可以看作为 许多大小不一的n维开球的并集,也可以看作为许多大小不一的n维 开长方体的并集。这里形维开长方体的定义是 460第六章 Euclid空间上的点集扑 {x=(x1,x2,…,xn)∈Ra;<x<b,i=1,2,…,n} ab;(i=1,2,…,n)都是常数。因此,可以说开球或开长方体是Rn中 最基本的开集,其他任何开集都可以看作为开球或开长方体的并集。 九、闭集 设S是Rn的一个子集,如果它的补集S=Rn\S是R中的一个 开集,则称S是R中的一个闭集。例如直线上的闭区间[a,b,其补 集(-∞,a)U(b,+∞)是直线上的开集,所以[a,b是直线上的闭集 又如平面上的点集S={(x,y)x2+y?2≤1是R2内的一个闭集,这是 因为S的补集S={(x,y)x2+y2>1}是R2内的开集。再如平面上的 点集E={(x,y)10≤x,y≤1,x和y都是有理数}既非开集也非闭集。 在聚点的定义中,我们已经知道点集S的聚点x可能属于S也可 能不属于S但如果S是一个闭集,又如果S有聚点x,那么x必属于 S,这就是“闭”的含意,它对聚点是封闳的,闭集的聚点必在该闭集 内。用定理的形式写出来是 定理4非空点集S是闭集的充要条件是:S的一切聚点(如果存 在的话)必属于S 证先证必要性。设S是闭集并且非空,其补集S是开集,则对 S中的每一点x,存在x的邻域O(x)cS,由此可见点x一定不是S 的聚点。换句话说,S的聚点(如果存在的话)一定不在S中,从 而必在S中 再证明充分性。设S的一切聚点都在S中,那么其补集S°中的每 一点x必定不是S的聚点,从而存在x的一个邻域O8(x),在此邻域 内没有S中的点,即OsxS°,由此可见S是开集,故S悬闭集。 对任何集S记 s=SUS的一切聚点}, 显然S是一个闭集。称S是S的闭包。例如直线上开区间(a,b)的闭 包是闭区间[a,b]。平面上的点集S={(x,)0≤x,y≤1x和y都是 有理数}的闭包为S=[0,1X[0,1]。 容易知道,闭包S又可以写为 s=SUaS。

...展开详情
试读 127P 数学分析(下册) 复旦大学数学系 欧阳光中 姚允龙主编 1993年 复旦大学出版
立即下载 低至0.43元/次 身份认证VIP会员低至7折
    抢沙发
    一个资源只可评论一次,评论内容不能少于5个字
    关注 私信 TA的资源
    上传资源赚积分,得勋章
    最新推荐
    数学分析(下册) 复旦大学数学系 欧阳光中 姚允龙主编 1993年 复旦大学出版 42积分/C币 立即下载
    1/127
    数学分析(下册) 复旦大学数学系 欧阳光中 姚允龙主编 1993年 复旦大学出版第1页
    数学分析(下册) 复旦大学数学系 欧阳光中 姚允龙主编 1993年 复旦大学出版第2页
    数学分析(下册) 复旦大学数学系 欧阳光中 姚允龙主编 1993年 复旦大学出版第3页
    数学分析(下册) 复旦大学数学系 欧阳光中 姚允龙主编 1993年 复旦大学出版第4页
    数学分析(下册) 复旦大学数学系 欧阳光中 姚允龙主编 1993年 复旦大学出版第5页
    数学分析(下册) 复旦大学数学系 欧阳光中 姚允龙主编 1993年 复旦大学出版第6页
    数学分析(下册) 复旦大学数学系 欧阳光中 姚允龙主编 1993年 复旦大学出版第7页
    数学分析(下册) 复旦大学数学系 欧阳光中 姚允龙主编 1993年 复旦大学出版第8页
    数学分析(下册) 复旦大学数学系 欧阳光中 姚允龙主编 1993年 复旦大学出版第9页
    数学分析(下册) 复旦大学数学系 欧阳光中 姚允龙主编 1993年 复旦大学出版第10页
    数学分析(下册) 复旦大学数学系 欧阳光中 姚允龙主编 1993年 复旦大学出版第11页
    数学分析(下册) 复旦大学数学系 欧阳光中 姚允龙主编 1993年 复旦大学出版第12页
    数学分析(下册) 复旦大学数学系 欧阳光中 姚允龙主编 1993年 复旦大学出版第13页
    数学分析(下册) 复旦大学数学系 欧阳光中 姚允龙主编 1993年 复旦大学出版第14页
    数学分析(下册) 复旦大学数学系 欧阳光中 姚允龙主编 1993年 复旦大学出版第15页
    数学分析(下册) 复旦大学数学系 欧阳光中 姚允龙主编 1993年 复旦大学出版第16页
    数学分析(下册) 复旦大学数学系 欧阳光中 姚允龙主编 1993年 复旦大学出版第17页
    数学分析(下册) 复旦大学数学系 欧阳光中 姚允龙主编 1993年 复旦大学出版第18页
    数学分析(下册) 复旦大学数学系 欧阳光中 姚允龙主编 1993年 复旦大学出版第19页
    数学分析(下册) 复旦大学数学系 欧阳光中 姚允龙主编 1993年 复旦大学出版第20页

    试读已结束,剩余107页未读...

    42积分/C币 立即下载 >