数值分析(第二版)(全美经典学习指导系列)]

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数值分析辅导 数值分析(第二版)(全美经典学习指导系列)].(美)施依德.扫描版.
全美经典学习指导系列 数值分析 (第 版) 〔美F.施依徳 罗亮生雪松王国英译 林应举校 鼻學宀 麦格劳一希尔教育出版集团 2002 内容苘介 本书内容卡富且颇具悖忾 本书综述了数值分析领域的诸多内容,包据配置多项式、有限差分、阶 釆多项式求和法、 Newton公式、算子与配置多项式、样条、密切多式 τλwx多项式、補值、数值微分、数值积分、和与级数、差分方程、微分方程、 最小二乘多项式過近、巫小化极人多项式過近、有哩函数近、三角迥近、 线性代教、线性方程组、线性規划、边值问题、Mone(aro方法等内容 本书的特色主要表觊在和用例题及大职详细的题昵来透彻地阐明所述 由卒的内源,同时附石大量的补介颐以使卖哲讲·步利团和深化从书中获 得的散值分析知识. 本书可作为理厂科大学土、电大、函授生学习数值分折的教科书,更逗 合厍作埋论性愚的歎值分祈鞭拦钓窭考书,也吣作为学数值分析课尘 老的读本 Francis Scheid Schaus Outline of Theory and Problemy of Ni UTIETICE s5N:07155225 Coyynght(9 1988, 1968 by thc: McGraw-Hill Companis, 1- AL: thorized translation fur the Engish language edition pulis. led by McGraw Hill Companies, Inc ntS Teserve 木书中文简休字版由科学出版科美国麦格劳·希尔教育出版集团合作出 板,未经出版者书面许可不得以仁何方式复制或抄袭本书的任何部分 饭所有,翻印必究 才马封面贴白 M -Graw-Hil公司防伪标签,无标签考不得销 图字:01-2001-215号 图书在版编目CP〕数超 教值分析:第2版/(美)施脓鹎 Scheid,F.)著;罗亮生,包雪松,王国英译, 北京:科学出版社,2002. 全美纤典学习指导系列 书名原文 Numerical Analysis BN·03…O09976-1 I,数 ①施…您罗…③包…④王…Ⅲ.汁算方法高等学 校教材Ⅳ.024l 中国版本图书馆(P数据核字(2001)第093162号 燥腹故出版 北京岢展北街6号 政:10017 httpiwww.sciencep.com 誉仰厂比蒯 科学出腿社发′各划新华书店经销 2002年1月第版本: 40] 2002年1月第次印刷印张:25 印数:tm500 字数,723 定价:3500元 〔如有印装质量问题,我社负责调换(北燕 前言 数佤分析的主要月标是仅用最简单的算术还算米获得复东问题的近似解换句话说,它的 任务是用系划容易的步骤来解压难的问题.显然,这意味着寻欢可在计算机上使用的算法步 檗来为我们解慧问题来自数学的方方面面,特别是代数与介析,彼此间的界限有时是难以分 凊的数值分析家从这些领域中借用了不少背景理论,为眼晰起见,某些内容还必须包含在入 目课程中.与此同时,我们的主题也打岐界限反馈不少素材数值方法已对代数和分析理论作 出重要页献 在这第二版凹加进了许多新的课题,包括间后分析、样条、自适应积分、快速 Fourier变换 有限元、刚性微分方稈以及QR方法线性方程组那一章已经完全改写,一些老课题被缩减或 取消然而于历史的原因古典数值分析中有代表性的内容仍部分地保留某些割舍使作者甚 感惋惜,尤其痛心的是删除了微分京程解的存在性的构造性证明.总体来说,新版内容更符合 各观要求,仨同样可以说是课程本身的需要 它的陈述方式与日的保留小变.其材料适用于第一年学筐谋程在作怡当的笫后可方 便地作为个学期的入门课程题目的叙迷格式既可方便地作为其他课本的补充,也可作为独 立的研究,每一音汗头依然是木章内容的综述,并且可以看作是本章的内容索引.其肉容不打 算竿其臼身来说明,而是在解题中提供它扪的细节 下面重述我在第一版前言中的最后一段话:无疑问,虽然巳竭尽全力,而错误仍在所难 免也许由于犯错误的机会是如此之多,以致于数值分析I作者属于世界上最能自我意织到出 错的一类人对,来自读者的发现误的普我是由衷地欢迎.(对第一版中这一时清响应者 寥寥.}除了对所有难以理解的“真理”作其同的探讨所感到的快慰之外,别无酬谢 F.施依 目录 前言 第一章效值分析是什么 第章配置多项式 14 第三章有限差分…… 19 第章阶乘多项式……………… 第五章求和法 第六单 公式 38 第七章算子与配臂多项式 …43 第八章不等距自变量 第九章样条…………… 第十章密切多项式……………………… ■d■口■ 第十一章 faylor多项式… 笫十二章插值……… 1甲甲L4■ ↓郾·b#■b4.卜4·4↓卜■郾44}·即■郾卜·郾441+■4卜■+b 第十三章数值徽分… 95 第十四章数值积分 第十五章 gauss积分… 118 第十六章咨异积分……………………………………………………………136 第十七章和与级数…… 140 第十八章差分方程 157 第|九章徽分方程 ………167 第二十章高阶分问题 第二十-章最小二乘多项式逼近… 第二十二章极化极大多项式逼近 230 第二十二章有理函数通近 245 第二十四章三角逼近 …256 第二十五章非线性代数… 274 第二十六章线性方程组 第七章线性规划… 鲁+啬t ……………338 第二十八章超定程组 35 第二|九章边值问题………… 357 第一十章 MOnte Carlo方法 376 补充题答案…… 382 第一章数分析是什么 算法 数值分析的目的是仅用简单的算术运算钙复杂的数值叫题,并发和评估由给出的数裾 计算数值结果的方法.这些计算方法做称为鲐沽 我们将致力于和算法的研究迄今为止,仍未找到某些问题的满意算法;另一方面,当存在 着几种不同算法时,我们必须从中作出选择选择这个而非那个算法时存在种种理但有两 个明显的杯准:速度与精速度快显然是一种优势,虽然就适当规模的间题而言,这优骜因 计算机的能力前被剀朝殆尽.但对于大规模的阿歇,速度仍是重要的因素,速度慢的算法彐于 不实用会被淘汰.然而,在其他条件均相同时速度较快的方法定会被首肯 例1.1求出2的平方根,直至其有4位十进制小数 仅用4神基本的算术运算,存在着不一个鲜法.无疑,算法 是令人满意的.据比,由少数几步心算就能很快得到 或四舍五入到4位十进制小数, 1.500,x3-1.4167,x41.414 最屑的x4所有的4位小数均是正确的这个数值算法具有悠久竹历史,并且,它将在 第25章中作为方程求根的特殊情祝而再次遇到 误差 数值计算的乐观主义者会问计算结果有多精确;而数值计算的表观主义者会问结呆中已 引入了多少误差显然,这两个问题是相同約给出的数据,很少是精确的,因为它通常源j逦 量过程从而,输入的信息中或许存在着误差并且,算法本身通常也会带来误差,或许是不可 群兔的舍入误差这样输出的信息中将包含出自这两种来源的误差 例1.2假设数0.1492准确到给出的4位十进制数,换言之,它是处在0.14915与0.14925 之间的一个真值的近似,那么,其误差至多为第5位小数的5^单位或第4位小数的 半个单位在业情况不,这个近似值破称为具有4位有效数字.类似地,绱若14.92的 误差不超过005,则它具有2位性确的小数和4位有效数字 例1.3当数0.1064写成0.1066时,被秋为四舍五入成4位息数而0.1066被四舍五 入成0.1067老给出的数字是准确的,则在这两种情况下,由舍入造成的误差不大 0.00005前个例子是向下“含”后个例向上“入”像0.10665这种边界状 况,通常舍入到最接近的偶数数字,这堪舍到0.1066.这避开了长期以来不知向下舍 还是向上入的篮尬 例1.41.492乘以1.066,积是1.590472汗算机按固定的“字长”工作,所有的数均剪截成这 个长度假设有一台虚构的4位数的梦器,那么,上述的积将被四舍五入到1.590 这种舍入误差是算法误差,由现代开算中可避免的大最计猝所造成 支撑理论 虽说我们数值分析的着眼点将面向应用,但我们会自然而然地涉&支撑理论( suppoTing 散值分析 一- heor)这种论用发现鲜法及建立算法的行效性通常指导我们的这个担论具有本质的 趣味;它有魅力的数学.十是,我们就有了两个最好的领域但切勿忘记,我们的兴趣更多的 应是实用性约而不是纯美学的 例1.5计算三角函数、指数函数以及其他非初等函数的值,显然要依赖支撑理沦.对于小的 r;∫获得它的余弦值,经典的级数 仍是一个好选择.当x=0.5,它变成 cos0.5=1-0.125+0.0026041-0.0000217+…=0.877582 这是是够精确的.在此情况下,更深层的支掌理论可定误差界;该理论指出,对于像 这样的级数误差下大一第一个略去的项(见题19)这里,第一个路去的项是,对 r=0.5,它恰好达到小于0.00001 数的表示法 山于我们的最终目标是数值的,故关于数的表示法,仅用一两句话将是不适当的,扫于我 们最熱悉十进制的数,枚数值入通常将使用这种形式然而,几平众所周知,常计算机发现 进制表法更方便,它的0和1对应于电路的关与开或电压的高与低状态对于正整数,二 进制 」的 形式是 d2t d 而对于1的止数,它是 d-2-2+d-32 其中,所有的二进制数宁d:取0或1.这种表示是惟一的 浮点表示法( floating- point representation)格外方便在这种形式中,数字用二个部分来描 述:一是答号,一是尾数( mantissa),一是阶( exponent)(自身也带有一个符号).作为最初的例 回到十进制数0.1492能表示为 +0.1492100 它的符号是+,尾数是0.1492,而阶是0.在其他的叫能性中,以+1.49210代替它也是可以 的,但一般的习惯要求第一位(非零〕数字恰好出现在小数总后,然后,山阶来处理数量级这种 表小法被称为规格化( normalized).是,1492将被表示为0.1492104. 例16将十进制的13.75转换为二进制的浮点形式 有更下式的转换方法.即使没有它们,山于小数点的左边是8+4+1.而右边是+ 易见13.75等价的二进制数是1101.11.现将它写成 +0.110111+100), 共→,圆折号屮的100起着阶4的作用,最终转换成 01101110100 倘若儻得某种约定,对电鬥效果米说,这数中仅有0和1是令人感兴埋的首位 被解释为正号(1将意味着负号).然后,6个二进制数字或比特bt作为尾数,并假定 在该尾数前有一个二进制的小数点紧接者的0是另一个正号,它是阶的符号,然 这个阶结柬该表示法、最终的形式看上去倀不像13.75,但它能被理解.实际中,尾数 与阶将包含更多的位数,并且符号与阶的形式也将产生变化,而浮点表示法是现代计 算中的一个基本工具 向量与矩阵的范数 个向量的Eul长度,对于分妊为v,的向量来说,即 第一草数值分析是什么 它也被称为V的一个就数(nrm),以符长‖v|记之这个范数的3个基本性质是 1.‖V‖≥0,‖F‖=Q当主仅当V=0 2.cVh=||!v‖,对任意常数x 3.|V+W‖≤‖v|+‖W‖ 最后一个式子即通常所说的三角不等式. 若干其他的实函数也县有这些性质,圻且也飯称为范数令人特别感兴趣的是L,范数 I 当=1时,它是L1范数,是各分量的绝对值之和.当p=2时它就是熟知的向量长度或 Euclid范数当p趋向于无穷大时,取出占优势的v1,于是我们得到最大范数( naximum 在六止一个场合,尤共是在研究算法的误特性肝,我们将能找到这些范数的用途 例7利用21范数内址(1,0,、.21.01)中的每一个均范数1这种单位向址的平 面图给在图1.1a)中.原点是它们的起点,而它们的终点构成一个正方形.图1.(b) 表小更为常见的 Euclid范数下的单位向量利用L∞范数,向量(1,0),(1,1),(,1)中 的每一个均有范数1,亡们的平面图如图1.1(c)所小,它们的终点也构成个此方 形 图1.I 转到矩阵,我们定义 ‖A‖l A 这个最大值是取遍所有的单位向量V而得到的这里,“单位”的含义取决于所用的向量数 类型这种矩阵范数有平行于上文对向量列出的那些性质 1.‖A‖≥0,、‖A‖=0当且仅当A=; 2,‖cA‖=|c|A|,对于任意常数c 3.‖A+B‖≤‖A‖+B‖ 此外,对于矩阵A、B与向量V,还有如下有用的性质 4.HAV‖≤‖A‖‖ⅴ‖ 5.AB‖≤A非‖B‖ L:范数和L他数具有容易计算的优点,前着是具最大绝对值的列之和, I A 1=maxi a 丽后者是具有最大绝对值的一行之和, 数值分析 4‖ 它们的评多特性将在题解中被证明 例I8找山矩阵 ↓10 的L1,L2与L范数 能立即找出最大的列和及行和,于是我们从 迅速看手.不幸的是,没有相应的支撑理论对!z提供帮助以及无国难北使这一外表 十分简单的矩阵获得L2范数的值根据定义,A的2范数是向量 的最大L2范数,其中x2+y2=1,即(x,y)在图1.1(b)的单位圆上,这个范数的平 方是 (ry)21x2=1+2xy+x2=1+2x1-x2+x2 很据基本的微积分知识能取到它的最大值在这里,由于对(x,y)与(-,-y),范数 取值相同,故不妨设y是正的,最后得到:当2=1时,有最大值 ‖A‖2 题解 .1计算多项式 在自变r=3时的值. 解依照自然过程我们求!x2=9,x3=27然后它打合在一起, (3)=54-27+15 共计执行了5次乘法,1次加法,2次减法 现将该多项式重新整理为 并丘F试算一次,从x=3开始,我们相继得到6,3,9,1442与38,这同只用了3次而不是5次乘法,减 少量虽不惹人注意但它却具有户发意义,对于个一般的n次多项式,第一个鳄法需要2n-1次乘 法,而第二个算法仅需要n次法.一-个较大的运算包含着许多多项式的求值运算,减少时间号 算法(舍A)误差会意义里大 I2定义…个近似值的误差 解欧传统的定义是 貞值=近似值-误差 因此,例 √2=1.414214+误差, 误差 1.3相对误差是什么 解彭相对误差( relative error是相对于真值所度量的误差 相对误差 误差 卢值

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