地板砖铺设的数学模型

所需积分/C币:14 2013-06-17 17:12:24 324KB PDF

一篇经典的数学建模论文,给出了铺设地板砖的合力模型。
地板砖铺设的数学模型—西北I业大学郭伟刘恒立 1.问题重述 地板砖的铺设问题是工程实践中比较常见的一类问题。已知需要铺设的户型结构如图 所小,现可购买到五种不同尺寸的地板砖,各种地板砖的价格、安装费用、破损概率均已给 出,我们需要在地板砖的切割条件已给定的情况下解决以下问题 1)综合考虑影响地板砖铺设成本的因素,建立计算地板砖铺设总成本的模型; 2)如果仅使用一种尺寸的地板砖进行铺设,设计一利进行地板砖自动铺设的算法,并计算 铺设地板砖的块数、利用率和总費用,分忻那种尺寸的地板砖铺设成本最低 3)如果允诈多种尺寸的地板砖进行混合铺设,建立实现地板砖的自动铺设的模型,计算各 种尺寸地板砖的块数、利用率和总费用 4)根据我们的模型和计算结果,为地板砖的铺设提供意见或建议。 2.问题分析 问题一要求建立计算地板砖铺设总成本的模型。题日中所给的户型结构比较 复杂,为此我们首先对其做了适当简化,把整个房子分为15个矩形区域,这样 我们便可通过计算每块矩形区域的铺设费用得到地板砖铺设总成本的模型 问题二要求设计一种算法实现单一尺寸的地板砖的自动铺设。首先,可先利 用高斯函数将每一个矩形区域分成可被整块地板砖密铺的部分与不可密铺的部 分,再利用0-l规划模型对变量进行约束,最后针对是否进行地板砖切割余料的 再次利用分别给出地板砖的自动铺设方案 问题三要求建立实垗不同人寸的地板砖混合铺设的模型。我们可根据地板砖 的尺寸将其分为两类,然后分别用300m*300mm的单位面积和400mm*400mm的单 位面积去划分每一个矩形区域,考虑刭地板砖的尺寸越大,其价格就相对越低, 而且地板砖的购买费用在总的铺设费用中占很大的比例,因此,我们可根据优先 选取较大尺寸地板砖的原则对锊一个区域进行铺设,同时也要保证地板砖的利用 率尽可能得高,即尽可能地减少地板砖的切割数量; 地板砖铺设的数学模型—西北I业大学郭伟刘恒立 对于问题四,我们可依据模型的计算结果为地板砖的铺设提出意见和建议。 3模型假设 1)假设所有的地板砖厚度相同,可以做到无缝铺设 2)假设地板砖的破损主要发生在运送的过程中,即只有在购头所需的地板砖时 考虑破损,进行地板砖切割的时候不考虑; 3)假设地板砖铺设时只考虑房间的室内面积; 4)铺设地板砖时不考虑家具的限制,进行地面全铺设。 4.符号说明 κ:不同尺寸的地板砖的编号(=1,2,3,45); :铺设第个矩形所需的第/种地板砖的块数 尸:第左种地板砖的破损概率: :第在种地板砖的单价; a,b:第个矩形的长和宽; n:铺设第个矩形购买地板砖的费用; 铺设第个矩形地板砖的切割费用: :切割单位长度的地板砖所需费用(g=0.005元/mm); 形:铺设第∠个矩形所需总费用; η:地板砖铺设的利用率; S:户型的面积 所需地板砖的总面积 地板砖铺设的数学模型—西北I业大学郭伟刘恒立 ns:铺设矩形区域所需尺寸为800mm*800m校砖的最大数量 ng:铺设矩形区域所需尺寸为600mm*600mm地板砖的最大数量。 5.模型建立 问题一地板砖铺设总成本模型 题目中所给的户型结构比较复杂,为此我们首先对其做了适当简化,将房间分成15 个矩形区域,如下图所示 图一房间区域分割示意图 50160 dT112 MIKE alL LO 3 11 13 15 ging 1800 DO 24n 21D9o 13700 设每种砖所需块数为(=1,2,3,4,5)(为切割的和不切割的地板砖数量之和),每 种砖的单价为w,破损率为P 则矩形的地板砖购买成本为11 ∑ h=11 设矩形的长为a,宽为b,面积为S,(s=a,b),令 地板砖铺设的数学模型—西北I业大学郭伟刘恒立 0,a可以被密铺 l,a不可以被密铺, =(04可以被密铺 1,不可以被密铺, 那么铺设矩形的地板砖切割成本为:12=m/1+xyb 这样,我们得到了计算地板砖铺设总成本的模型: H=∑m=2(m+m) ∑ +1 ge s.t.x 0或1 =0.005 =1,2,3,4,5 问题二单一尺寸的地板砖铺设模型 模型准备 对于一个长宽分别为a,b,面积为A的矩形区域i,若要用边长为d的方砖(设为第k 种)对其进行铺设,利用高斯函数y=[],易知可被整块方砖密铺的范围为 ;这样,木被整块方砖密铺的区域宽度分别为 Aa. a A6.=6 同时,由高欺函数性质可知,Δa,△b<4 地板砖铺设的数学模型—西北I业大学郭伟刘恒立 模型建立 模型一 引入变量n2,并令: 0,矩形的长是方砖边长的整数倍,即△a=0, 矩形的长不是方砖边长的整数倍,即△a≠0, 0,矩形宽是方砖边长的整数倍,即△b=0 ,矩形宽不是方砖边长的整数倍,即△b≠0, 在不考虑将对切割后的地板砖余料进行再利用的情况下,铺设矩形i所需地板砖块数为: 同时铺设矩形(所需切割地板砖的总长度为: 1=nb+241 此时,由问题一的铺设总费用模型可知,房问总的铺设费用为: 十12 15 地板砖的利用率为 ∑ 另外,江意到上述模型中的地板砖为方砖,对于尺寸为600mmr:300mm的长方形地板 砖,可依据相冋的原理对其进行分析与建模,只是对于每一个矩形区域来说,均会存在两种 铺设方案可供选择。 方案I:以地板砖自身较长的一边对应地面较长的一边 方案Ⅱ:以地板砖自身较长的边对应地面较短的边 6 地板砖铺设的数学模型—西北I业大学郭伟刘恒立 我们可以按照方砖的铺设方案分別对其进行讨论与分析,建立所需模型,这里不再赘述 棋型二 显然,由于没有对切割后的地板砖的余料进行再利用,模型一的结果并不是最优解,为 降低地板砖的铺设費用,提高地板砖的利用率,在模型一的基伷上,考虑到地板砖余料的再 利用,我们提出如下经优化的地板砖铺设模型。 余料的再次利用存在以下两种情况: 1)余料的尺寸恰好可满足没有被整块砖密铺的区域A2的铺设,铺设方案如图二所示 图二余料再次利用示意图一 未密铺区 余应用未密铺区 优化利用 密铺区域 余料 密铺区域 2)若干块地板砖佘料可组成一整块地板砖,这样余料便可替换掉原来用于铺设区域彡,的 整块地板砖,铺设方案如图三所小: 图三余料再次利用示意图二 未密铺区 余料1 未密铺区 优化利用 密铺区域 余H密铺区域 余料2 余彩2 模型求解 分别求解模型一与模型∵,可得到在不考虑地板砖余料再次利用和考虑地板砖再次利用 两种情况下的的单种地板砖铺设方案,每种情况各类地板砖所需垬数、利用率和总费用如表 所 小: 地板砖铺设的数学模型—西北I业大学郭伟刘恒立 表一各类地板砖优化前后各类数据统计 优化前优化后块优化前优化后 尺寸 优化前总成本优化后总成本 块数 数剎用率利用率 800*800 221 217 91.1593.14 13655.6 40295.5 600600 882989: 52556.2 48466.4 600*300 744 742 96.58 96.84 63735.6 59817.0 400*100 881 880 91.7591.85 67186.5 641078.2 300*300 1455 1452 98.7798.97 67916.5 66997.4 为便于模型·和模型二结果的对比,我们将上衣的结果做成柱状图,结果如图四至图六 所示 图四各类地板优化前后块数比较 1600 1400 1200 1000 优化前块数 ■优化后块数 400 200 800*800600*600600*300400*400300*300 图五各类地板优化前后利用率比较 地板砖铺设的数学模型—西北I业大学郭伟刘恒立 100 98 ■优化前利用率 92 ■优化后利用率 86 800·800600*600600°300400400300*300 图六名类地板优化前后总成本比较 70000 50000 40000 ■优化前总成本 ■优化后总成本 30000 20000 10000 0 800*800600·600600*300400*400300*300 由模型结果可知,使用尺寸为800mm*800mm的地板砖铺设费用最低,使用尺寸为 300mm*300mm的地板砖铺设利用率最高 问题三多种尺寸的地板砖混合铺设模型 若允许多种尺寸的地板砖进行混合铺设,那么理想的地板砖铺设方案·定要考虑到以 下两个原则: )铺设总费(包括地板砖的购买费用和地板砖的切割費用)要用尽可能地低; 2)地板砖的利用要尽可能地高,即需要尽可能地减少地板砖的切割,提高整块地板砖的 9

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评论 下载该资源后可以进行评论 3

失明前偏执狂看到的太阳和鱼 第一次训练就是这个题目,很好,参考价值高
2015-12-20
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lh15123as 暑假做建模,挺有用的
2014-03-01
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fengqiaoyeguo 地板砖铺设 数学建模的资料
2013-08-26
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u011103724

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