观察最小二乘多项式的数不稳定现象实验
1 实验任务
1.1 在[-1,1]区间上取 n=20 个等距节点，计算出以相应节点上的
e
x
的值作为数据
样本，以 1，x，
x
2
，
⋯
，
x
l
为基函数做出
l=3 , 5 , 7 , 9
次的最小二乘拟合多项
式。
1.2 画出
ln
(
cond
(
A
)
)
−l
曲线，其中 A 是确定最小二乘多项式系数的矩阵。
1.3 计算出不同阶最小二乘多项式给出的最小偏差
σ
(
l
)
。
1.4 将基函数改为 1，
P
1
(
x
)
，
P
2
(
x
)
，
⋯
，
P
l
(
x
)
，其中
P
i
(
x
)
是勒让德多项式，结果
如何？
2 实验原理与理论基础
2.1 一般线性最小二乘拟合的法方程组为：
[
(
φ
0
, φ
0
) (
φ
0
, φ
1
)
⋯
(
φ
0
, φ
n
)
(
φ
1
, φ
0
)(
φ
1
, φ
1
)
⋯
(
φ
1
, φ
n
)
⋮ ⋮ ⋮
(
φ
n
, φ
0
) (
φ
n
, φ
1
)
⋯
(
φ
n
, φ
n
)
]
[
a
0
a
1
⋮
a
n
]
=
[
(
φ
0
, y
)
(
φ
1
, y
)
⋮
(
φ
n
, y
)
]
由于以 1，x，
x
2
，
⋯
，
x
l
为基函数，所以
φ
i
=x
i
，i=0 , 1⋯ l
。
1
