仿射集(affine sets)

所需积分/C币:50 2016-11-25 17:21:44 253KB PDF
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该文档介绍了凸分析中与仿射集相关的基础概念及一些定理,像仿射组合,仿射无关,仿射变换,还有超平面的概念。
我们将非空仿射集的维数定义为与它平行的子空间的维数,(按照惯 例,将空集M的维数定义为-1)那么维数为0,1和2的仿射集自然就称为点,线 和面。P屮(m-1)维的仿射集叫做超平面,超平面非常重要,因为他们不 仅表示n维几何中的点,还具有其他含义。 超平面和其他仿射集乜许能用线性函数和线性方程表示,我们可 以从的正交理论来推断这种形式。回忆一下,根据定义,x⊥y意味 着(x,y)=0,给定R的一个子空间L,使得x⊥L(即对于每一个y∈L, x⊥y恒成立)的向量x的集合叫做L的正交补,用L表示。当然,这是另 个子空间,并且 dimLtdimL=n L的正交补(L)是L。如果b2…,bm是L的一个基,那么x⊥L等价于x⊥ b1,,x⊥bn。特别地,的(m-1)维子空间是一维子空间的正交 补,一维子空间的基由一个非零向量b构成,因此(-1)维子空间就是形 如{xlxb}的集合,其中b≠0。超平面就是集合平移后的结果。但是 {x⊥b}+a={x+a(x,b)=0} {y1(y-a,b=0}={y/(y,b)= 其中β=(a.b),由此得到超平面的一个特征,即定理13 定理13给定∈R和个非零向量b∈R,集合 h=a,b)=Bj 是R中的一个超平面,而且每个超平面可能用这种方式表示 在定理13中,向量b叫做超平面H的法向量,H的每个法向量要么 是b的止倍数,要么是负倍数。也就是说每个超平面有两边,就像R2中的 条直线或者R中的一个平面,注意R中的一个平面没有两边。 下一个定理将R的仿射子集表示为含有n个变量的联立线性方程组的 解集。 定理1.4给定b∈Bm和m×n的实矩阵B,集合 M={x∈R|Bx 是中的仿射集,而且每个仿射集可能用这种方式表示。 让明:如果a∈M,y∈M,A∈B,那么对z=(1-入)x+加y,我们有 月2=(1-入)Br+入By=(1-)b+Mb=b 所以z∈M,因此给定的M是仿射集。 另一方面,考虑仟意一个非空仿射集M而不是R本身,计L是平行 于M的子空间,令b1,,bm是L的一组基,那么 L=(L)={xx⊥b 1,,m}={x1B=0} 其中B是m×n矩阵,它的行是b1,,bn。因为M平行于L,所以存在一 个a∈R"使得 M=L+a={xB(x-a)=0}={x|B= 其中b=Ba。(仿射集R和0可以用定理中的形式表示,都令B是m×n的零 矩阵,在B的情况下b-0,在的情况下b≠0) 观察定理1.4我们还可以得出 M={c|t,b)=B2,=1,,,m}=nm1H4 其中b是B的第i行,62是b的第个元素, Hi=ai, bi=Bi 每个H都是一个超平面(b1≠0),或者空集(b2=0,B2≠0),或者P(b2 0,32=0)。空集本身可能是两个不同平行超平面的交集,而R可能是F中 空个超平面的交集,因此: 推论14.1R中每个仿射子集是有限个超平面的交集。 定理14中的仿射集M可以用向量b1,b2(他们组成B的列)表示 M-{x-(51,…,5n)51b1+…+nbn-b} 很明显,任意个仿射集的交集依然是仿射集,因此,给定任意S<n, 存在一个唯一的包含S的最小仿射集(即,仿射集M的交集,其满足M 5),这个集合叫做S的仿射包并用aS表示。通过证明可以得出afs由所 有形如入1x1+…+ n的向量组成,其中x;∈S,A1+…+Am=1 对于m-1个点b,b1,,bm的集合,如果af{b 那么这些点就是仿射无关 affinely independent)a1,…,bn}是m维的, aff( bo, b 1 2n L+bo 其中 L=aff 0. 61-bo, .. bm-bol 利用定理11,T与包含b1-b0,,bnm-b的子空间是一样的,当且仅当这 些向量是线性无关时它的维数是m,所以当且仅当b1-b0,,bm-bo线性 无关时b,b1,,bm是仿射无关。 所有关于线性无关的事实都可以应用到仿射无关上。例如,R中m+ 1个点仿射无关可以扩充到n+1个点,一个m维仿射集M可以表示成m+1个 点的仿射包(将平行于M了空间的基相应的点进行平移) 注意,如果M=af1b,h,,bn},与M平行的子空间L中的向量 是b1-b,…,bmn-bo的线性组合,因此M中的向量可以表示成如下形式 入1(b1-b)+…+Mm(bm-b)+bn x=入0b+A1b1+…+入mbm,A0+A1+…-Am=1 上面的表达式中,当且仅当b,b1,,bm仿射无关时,x的系数是唯一的。 这时候,作为参数的入,入1,m是M的重心坐标 从Pn到F的单值映射T:x→Tx,如果对于中的每一个x,y,入 R,下式成立 T(1-入)x+入y)=(1-入)Tx+Ay 那么这个映射就称为仿射变换 定理1.5从R到Rm的仿射变换就是形如Tx=Ax+a的映射T,其 中A是一个线性变换并且a∈Rm。 证明:如果T是仿射的,令a=T0,Ax=Tx-a,那么A是一个仿射变 换,并且A0=0。类似于定理1.1,这个简单的论据说明A实际是线性的。 反过来,如果Tx=Ax+a,其中A是线性的,我们可以得出 T(1-入)x+y)=(1-入)Ax+入A (1-入)Tx+入T 因此/是仿射的。‖ 仿射变换的逆(如果存在的话)还是仿射的。 如果从到P的映射T是一个仿射变换,那么对于P中的每个仿射 集M,像集TM={x{x∈M}在fm中是仿射的。特别地,仿射变换保留 仿射包: (TS)=T(aff S 定理1.6令{,b,,bn}和{b,b1,bn}是Pn中仿射无关集,那么 存在一个P到自身的一一对应仿射变换T,使得对于讠=0..,m,Tb2=b。 如果m=m,那么T是唯一的。 证明:如果需要的话,扩展给定的仿射无关集,我们可以将问题简化 为m=n的情况,然后,正如线性代数中的那样,存在一个R2到自身的 对一线性变换A,将P中的基b1-bo,,bn-b变成另一组基b1b0,…,,bn bo,这就得到了我们需要的仿射变换Tx=Ax+a,其中a=b-Ab。‖ 推论1.6.1令M1,M2是P中任意两个维数相同的仿射集,那么存在 个R到自身的一一对应的仿射变换T,使得TM1=M2。 证明:任何m维仿射集可以表示成m+1个仿射无关集的仿射包,并且 在仿射变换下保留仿射包。‖ 从P到R"的仿射变换T的图像是Rn+m中的一个仿射子集,因为根据 定理1.4,如果Tx=Ax+a,T的图像由向量z=(x,y)组成,其中∈ P",y∈m,使得Bz=b,其中b=-a,B是从P+m到Pm的线性变 换(x,y)→Ax-y 特别地,从P到m的仿射变换→>Ax图像时包含R+m原点的仿射 集,因此它是Rn+m的某个子空间L(定理11),L的正交补如下 L={(x*,y)x"∈R",y∈P A*y"y 即L-是-A“的图像。事实上,当且仅当对每个z=(x,y),y=Ax,下式 =(2, (r,m*)+(y,3) 成立,那么x*=(x*,y*)属于J-。换句话说,当且仅当对于每个r∈R,下 0-{,x*)+(Aax,y*)-{x,x)+(x,Ay)-(x,x-A"y) 成立,(x*,y)∈L。这就意味着x*+Ay*=0,即x*=-4*y 任何非平凡仿射集可以用多种方式表示成仿射变换的图像,令M是RN中n维 仿射集,其中0<n<N。首先,我们可以将M表示成向量x=(51,,N)的 集合,并且坐标满足某个线性方程组 Bn151+…+BzNN=62 根据定理1.4可知,这总是可能的。M的维度为意味着系数矩阵B= (;)零度为m并且秩为m=N-m,因此我们可以用51,,5的形式求 出a,…,N的线性方程组,其中1,,N是1,,N的某个排列,接下来 就得到特定形式的方程组 151 i=1 再次给出了向量x=(51,…,5)属于M的充分必要条件,这个方程组称为 给定仿射集的 Tucker表示。它将M表示成某个从R到Pm仿射变换的图像, 对于某个M,只有有限多个 Tucker表示(最多N!个,低于M中向量的m个 坐标变量ξ可以用另外n个坐标向量按某种顺序进行表示) 涉及到仿射集的定理通常可以解释成线性方程的定理,这时候,可能 给出仿射集的个 Tucker表示,这种表示非常重要,例如线性不等式中的 某些结论(定理2.6,22.7)和 Fenchel’s对偶定理的某些应用(推论31.4.2) 当然,子空间L的 Tucker表示齐次形式为 51+……+ 给定L的这种表示作为线性变换的图像,那么正如上面提到的,L对应于 负伴随变换的图像,因此,当且仅当 n 72 时,x*=(51,…,N)属于L。这就给出了L的 Tucker表示,因此给定 个子空间,它的 Tucker表示与其正交补的 Tucker表示之间有一个简单且有 用的·对应关系。

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