张宇带你学高等数学下册

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这套“张宇带你学系列丛书”就是为了让同学们读好这套教材而编写的.细致说来,本书有如下四个特点: 第一,章节同步导学.本书在每一章开篇给同学们列出了此章每一节的教材内容与相应的考研要求,用以体现本科教学要求与考研要求的差异,同时精要地指出每一节及章末必做的例题和习题,可针对性地增强重点内容的复习. 第二,知识结构网图.本部分列出了本章学习的知识体系,宏观上把握各知识点的内容与联系,同时简明扼要地指出了本章学习的重点与难点等. 第三,课后习题全解.这一部分主要是为同学们做习题提供一个参照与提示,本部分给出了课后习题的全面解析,其中有的解答方法是我们众多老师在辅导过程中自己总结归纳的灵活与新颖性解法.但我还是建议同学们先自己认真独立思考习题再去翻看解答以作对比或提示之用. 第四,经典例题选讲.每一章最后部分都配有不同数量的经典例题,这部分例题较之书后习题不论综合性还是灵活性都有所提高,目的也正如上面所谈让同学们慢慢接触考研类试题的特点与深度,逐步走向考研的要求,本部分例题及部分理论的说明等内容希望同学们认真体会并化为己有. 需要指出的是,考研大纲和本科教学大纲均不作要求的章节,本书也未收录
张宇茶你学高等数学,同济七版(下册) 论综合性还是灵活性都有所提高,目的也正如上面所谈让同学们慢慢接触考研类试题的特点与深 度,逐步走向考研的要求,本部分例题及部分理论的说明等内容希望同学们认真体会并化为己有 需要指出的是,考研大纲和本科教学大纲均不作要求的章节,本书也未收录 总之,本书作为“张宇考研数学系列丛书”的基础篇,既可作为大学本科学习的一个重要参考,也 是架起教材与《张宇高等数学18讲》《张宇线性代数9讲》张宇概率论与数理统计9讲》及后续书籍 的一座重要桥梁我深信,认真研读学习本书的同学在基础阶段的复习必会事半功倍 2015年8月于北京 目录 CONTENTS 第八章空间解析几何与向量代数(仅数学一要求) 章节同步导学 知识结构网图 课后习题全解…… ……+…………………………““"“” 3 经典例题选讲 第九章多元函数微分法及其应用 章节同步导学 ……………………………………………………………35 知识结构网图… 36 课后习题全解 年车加物上中生+生主王年 37 经典例题选讲 ……………80 第十章重积分 章节同步导学… ,+444,,水+::……………………“““+“““ 90 知识结构网图……………………………91 课后习题全解 92 经典例题选讲 ……………………139 第十一章川曲线积分与曲面积分(仅数学一要求 章节同步导学 154 知识结构网图 ……………155 课后习题全解 156 经典例题选讲………194 ‖第十二章川无穷级数(数学二不要求 章节同步导学……………………………… 205 知识结构网图 ……………………………207 课后习题全解 如出千并牛平并中并十出十如 208 经典例题选讲…245 第八章向量代数与空间解斬几何(仅数学一要求) 三章节同步导学 章节 教材内容 考纲要求 必做例题 必做习题 向量的概念 理解 空间直角坐标系 88.1向量 向量的线性运算 掌握 P13习题8-1: 及其线 利用坐标作向量 例1~9 13,15,19 性运算 的线性运算 掌握 向量的模、方向角、投影 理解 §.2数量积数量积向量积混合积的概 向量积念、性质、运算规律、物理意义 掌握 P23习题8-2: 例2~5 混合积两向量平行、垂直的充要条件 1,3,7,9,10 了解 曲面方程与空间曲线 了解 方程的概念 §8.3平面 及其方程平面的点法式方程、般方程 P29习题8-3: 掌握 例1~7 两平面的夹角,两平面垂直、 2,3,5,6,9 平行或重合的充要条件 空间直线的一般方程、 掌握 对称式方程、参数方程 8.4空间两直线的夹角,两直线垂直 直线及 平行或重合的充要条件 例1~7 P36习题8-4: 其方程直线与平面的夹角,直线与平 3,4,5,8,9.14 面垂直、平行的充要条件 平面束 掌握 曲面研究的基本问题 了解 旋转曲面的概念,旋转轴为 §8.5曲面 坐标轴的旋转曲面的方程 P44习题8-5 会 及其方程 例1~4 柱面方程 1,2,7,10(2)(4) 11(2),12 二次曲面方程及其图形 (锥面、椭球面、双曲面、抛物面) 了解 8.6空间 空间曲线的一般 曲线及 方程、参数方程 了解 P51习题8-6: 其方程 空间曲线在坐标面上 例1~5 的投影曲线方程 会 3,4,5(2),8 总结归纳本章的基本概念、 P51总习题八 总习题八 基本定理、基本 1,2,8,9,11,13, 公式、基本方法 d张宇带你学需等数学,周济专版(下册 知识结构网图 几何意义 基本概念坐标表示 模,方向角、投影 向量 线性运 算 数量积 运算向量积 混合积 概念与基本表示方法 旋转曲面 由面《特殊曲面(柱面 二次曲面 曲线与曲面 曲线的方程/一般方程 参数方程 曲线 曲线的投影 概念 点法式 平面平面方程 般方程 两平面的夹角 直线与平面{概念 般方程 直线方程标准式 参数式 两直线的夹角 直线与平面的夹角 本章主要学习三维空间中点、直线、平面、曲线以及曲面的性质与表示方法,是整个多元函数微 积分学的基础 第八章尚量代數与空间解析几何 三课后习题全解 习题8-1向量及其线性运算 1.设a=a-b+2c,D=-a+3b-c.试用a、b、c表示2a-3U 【解析】2a-3D=2(a-b+2c)-3(-a+3b-c) 5a-11b+7c 2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分,试用向量证明它是平行四边形 【证明】设四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于M点(如图8-1所示).依题意有 AM=MC. DMMB C 因为 AB-AM+MB-MC+DM-DM+MC=DC AD=AM- DM-MC-MB- BC 所以四边形ABCD是平行四边形 3.把△ABC的BC边五等分,设分点依次为D1、D2、D3、D3,再把各分点 图 8-1 与点A连接,试以AB=c,BC=a表示向量D1A、D2A、D3A和D4A 【解析】如图8-2所示,根据题意知 BD,=a,D,D-I a,D2D3=÷a,D3D4==a, 故 D A- AD,=(AB+BD)=La-c D,AAD,--(AB+BD2 a c D,A=-AD,=-(AB+BD3)=-=ac, B DD, D, D. C D.=-AD,=-(AB+BD4 aC 图8-2 4.已知两点M1(0,1,2)和M2(1,-1,0).试用坐标表示式表示向量M1M2及一2MM2 【解析】由题意知 M1M2=(10,1-1,0-2)=(1,-2,-2), 2M1 2(1,-2,2)=(-2,4,4) 5.求平行于向量a=(6,7,-6)的单位向量 【解析】由题意知 a|=√62+72+(-6)2=1 故平行于向量a的单位向量为 0-士1=士1-+1( ,7,-6)=士 111111 6.在空间直角坐标系中,指出下列各点在哪个卦限? A(1,-2,3),B(2,3,-4),C(2,-3,-4),D(-2,-3,1) 【解析】A点在第Ⅳ卦限,B点在第V卦限,C点在第Ⅷ卦限,D点在第Ⅲ卦限 7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征?指出下列各点的位置 A(3,4,0),B(0,4,3),C(3,0,0),D(0,-1,0) 【解析】在Oz面上,点的横坐标x=0; 3口 同济七 版(下册 棒保等数学 在 面上,点的纵坐标y =0; 在x(y面上,点的竖坐标x=0; 在x轴上,点的纵、竖坐标均为0,即y=z=0; 在y轴上,点的横、竖坐标均为0,即x=x=0; 在x轴上,点的横、纵坐标均为0,即x=y=0 所以A在xOy面上,B在Ok面上,C在x轴上,D在y轴上 8.求点(a,b,c)关于(1)各坐标面:(2)各坐标轴;(3)坐标原点的对称点的坐标 【解析】(1)点(a,b,c)关于xOby面的对称点为(a,b,-c);关于yOz面的对称点是(-a,b,c);关 (2)点(a,b、c)关于x轴的对称点是(a,-b,-c);关于y轴的对称点是(-a,b,-c);关于z轴的 (3)点(a,b,c)关于坐标原点的对称点是(-a,-b,-C) 对称点是(-a,-b 9.自点P(x0,30,)分别作各坐标面和各坐标轴的垂线,写出各垂足的坐标 【解析】答案如图8-3所示 00 E(0,y=0) Po 0.0 B(0y00) A D(ovo.O) U,0) 图8-3 10.过点P0(x,y,0)分别作平行于x轴的直线和平行于xOy面的平面,问在它们上面的点的 坐标各有什么特点? 【解析】如图8-4所示,过P0且平行于x轴的直线上的点的坐标的特点是:它们的横坐标与 相同,纵坐标与y0相同 而过点P且平行于y面的平面x上的点的坐标的特点是:它们的竖坐标与≈相同 图8-4 11.一边长为a的立方体放置在xOy面上,其底面的中心在坐 标原点,底面的顶点在x轴和y轴上,求它各顶点的坐标 C 【解析】如图8-5所示,已知AB=a,故A=OB=2a于是各顶 点的坐标分别为 图8 第八章向量代数与空间解析几何 2 a,0,0),B(0, 2 a,0,0),D(0 a0 E(202)(-20m),(-2 12.求点M(4,-3,5)到各坐标轴的距离 【解析】点M到x轴的距离d1=√(-3)2+52=、34,点M到y轴的距离d2=√42+52= √41,点M到轴的距离d3=4+(-3)=√25=5. 13.在√O面上,求与三点A(3,1,2)、B(4,-2,-2)和C(0,5,1)等距离的点 【解析】在Ok面上,设点P(0,y,x)与A,B,C三点等距离,即 PA|2=|PB|2=|PC|, (-3)2+(y-1)2+(x-2)2=(y-5)2+(z-1)2, 故 (-4)2+(y+2)2-(x+2)2=(y-5)2+(x-1)2, 解方程组得y=1,=-2.故所求点为(0,1,-2) 14.试证明以三点A(4,1,9)、B(10,-1,6)、C2,4,3)为顶点的三角形是等腰直角三角形 【证明】由 AB|=√(10-4)2+(-1-1)2+(6-9)2=7 AC|=√(2-42+(4-1)2+(3-9)2=7, BC|=√(2-102+(4-1)2+(3-6)2=√98=7√2, 知AB|=AC及BC2=AB|2+|AC2.故△ABC为等腰直角三角形 15.设已知两点M1(4,2,1)和M2(3,0,2)计算向量MM2的模、方向余弦和方向角 【解析】因为MM2=(-1,√2,1),所以模为 M1M2|=(-1)2+(-22+12=2; 方向余弦为 COs a-l s 20sy= 2x,3=4 T 方向角为 16.设向量的方向余弦分别满足(1)cosa=0;(2)cosB-1:(3)cosa=csB=0.间这些向量与坐 标轴或坐标面的关系如何? 【解析】(1)由cosa=0知a=D,故向量垂直于x轴,平行于9Ok面 (2)由cosB=1知B=0,故向量与y轴同向,垂直于x(面 (3)由ca=csP=0知a==5,故向量垂直于x轴和y轴,即与z轴平行,垂直于xOy面 17设向量r的模是4,它与轴的夹角是变,求r在轴a上的投影 【解析】已知r|=4,Pir=r(s8b=4,co3=4x2=2 18.一向量的终点在点B(2,-1,7)上,它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4,-4和7.求这 个向量的起点A的坐标 【解析】设A点坐标为(x,y,z),则 AB=(2-x,-1-y,7-x), 甲米探学高平数 ,同专版(工 4,7-2 由题意知 2-x=4 故x=-2,y=3,=0,因此A点坐标为(-2,3,0) 19.设m=3+5/+8k,n=8-4/-和p=501+-4k,求向量a=4m+3np在x轴上的极影 及在y轴上的分向量 4(3+5/+8k)+3(21-4-7k)-(5i+j-4k) 【解析】由题意知a=4m+3n-p =13i+7j+15k, 所以a在x轴上的投影为13,在y轴上的分向量为7 习题8-2数量积向量积‘混合积 设a=3i-j-2k,b=i+2/-k 求 (1)a·b及aXb;(2)(-2a)·3b及a×2b;(3)a、b的夹角的余弦 【解析】(1)由题意知a·b=(3,-1,-2)·(1,2,-1) =3×1+(-1)×2+(-2)×(-1)=3, k a×b=3-1-2|=(5,1,7 12-1 (2)由题意知 (-2a)·3b=-6(a·b)=-6×3=-18, a×2b=2(a×b)=2(5,1,7)=(10,2,14). (3)由题意知cosa,b)=b alb√32-(-1)2+(-2)212-2+(-1) 1462√21 2.设a、b、c为单位向量,且满足a+b+c=0,求a·b+b·c+c·a 【解析】已知|a|=|b|=c|=1,a+b+c=0,故(a+b+c)·(a+b+c)=0 a|2+|b12+|c2+2a·b+2b·c+2e:a=0. 因此 a·b+b·c+ (la|2+|b12+c 2 8.已知M(1,-1,2)、M2(3,3,1)和M2(3,1,3).求与M1M2、M2M3同时垂直的单位向量 【解析】记与MM2、MM同时垂直的单位向量为e. 因为 M2=(2,4,-1),MAM=(0,-2,2 所以 i K MM,XM,M (6,-4,-4), 0-22 所以 (6,-4,-4) e1m/=÷+(-4)+(-4)7=+(3,-2,-2 4.设质量为100kg的物体从点M1(3,1,8)沿直线移动到点M2(1,4,2),计算重力所作的功(坐 标系长度单位为m,重力方向为z轴负方向) 【解析】由题意知MM=(-2,3,-6),F=(0,0,-100×X9.8)=(0,0,-980), F·MM 0,0 (-2 6)=588

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原地打转的风铃 感觉不咋清晰。
2020-02-13
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