张宇带你学高数

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第一章 函数与极限 1.1.函数 1.1.1.定义:三要素 1.1.2.函数的运算 四则运算 复合运算 反函数 1.1.3.函数的性质 单调性 周期性 奇偶性 有界性 1.1.4.初等函数 反函数 对数 幂函数 指数函数 三角函数 1.2.极限 1.2.1.定义 数列极限 函数极限 无穷小与无穷大 1.2.2.性质 唯一性 局部有界性 保号性 1.2.3.重要公式定理 极限的四则运算 两个重要极限 两个收敛准则 夹逼定理 单调有界收敛定理 1.2.4.无穷小的比较 1.3.连续 1.3.1.连续性 函数在一点连续 函数在一个开区间上连续 函数在一个闭区间上连续 1.3.2.间断点 定义 第一类 可去间断点 跳跃间断点 第二类 无穷间断点 振荡间断点 1.3.3.闭区间上连续函数的性质 有界性 最值定理 介值定理(零点存在定理) 第二章 导数与微分 2.1.导数与微分 2.1.1.可导性 导数的定义 高阶导数 2.1.2.可微性、微分的定义 2.1.3.可导可微与连续的关系 2.2.求导法则 2.2.1.四则运算 2.2.2.复合函数求导法则 2.2.3.反函数求导法则 2.3.各种函数导数的计算 2.3.1.隐函数求导 2.3.2.参数方程求导 2.3.3.幂指函数求导 2.3.4.简单的高阶导数的计算 常见函数的高阶导数公式 莱布尼茨公式 第三章 微分中值定理与导数的应用 3.1.中值定理 3.1.1.罗尔定理 3.1.2.拉格朗日中值定理 3.1.3.柯西中值定理 3.1.4.泰勒中值定理 佩亚诺余项 拉格朗日余项 3.2.导数的应用 3.2.1.洛必达法则 3.2.2.切线与法线 3.2.3.单调性与凹凸性 3.2.4.极值点与拐点 3.2.5.函数图形的绘制 3.2.6.曲线曲率 第四章 不定积分 4.1.原函数 4.1.1.定义 4.1.2.性质 4.2.不定积分 4.2.1.基本概念 不定积分的定义:求导的逆运算 不定积分的性质 基本积分公式 4.2.2.积分法 第一类换元积分法(凑微分) 第二类换元积分法 分布积分法 4.2.3.特殊函数的积分 有理函数积分 简单的无理函数的积分 三角有理式的积分 第五章 定积分 5.1.定积分的定义 5.1.1.几何意义 5.1.2.性质 定积分的和差运算 积分区间的可加性 定积分的不等式性质 定积分的最大最小值性质 定积分中值定理 5.2.微积分基本公式 5.2.1.积分上限函数及其导数 5.2.2.牛顿—莱布尼茨公式 5.3.定积分的计算 5.3.1.换元法 5.3.2.分部积分法 5.4.反常积分 5.4.1.定义 无穷限的反常积分 无界函数的反常积分 5.4.2.反常积分的计算 5.4.3.反常积分的审敛法 第六章 定积分的应用 6.1.元素法:分割、近似、求和、取极限 6.2.几何应用 6.2.1.平面图形的面积 6.2.2.简单几何体的体积 6.2.3.平面曲线的弧长 6.3.物理应用 6.3.1.变力沿直线做功 6.3.2.水压力 6.3.3.引力 第七章 微分方程 7.1.基本概念 7.1.1.微分方程的阶 7.1.2.通解 7.1.3.特解 7.2.一阶方程 7.2.1.可分离变量微分方程 7.2.2.齐次方程 7.2.3.一阶线性微分方程 7.2.4.伯努利方程 7.3.高阶方程 7.3.1.可降阶的高阶线性微分方程 7.3.2.高阶线性方程组 线性微分方程解的结论 常系数齐次线性微分方程的通解 常系数非齐次线性微分方程的通解 7.3.3.欧拉方程 7.3.4.常系数线性微分方程组 7.4.应用 7.4.1.几何 7.4.2.物理 第八章 向量代数与空间解析几何(数一) 8.1.向量 8.1.1.基本概念 几何意义 坐标表示 模、方向角、投影 8.1.2.运算 线性运算 数量积 向量积 混合积 8.2.曲线与曲面 8.2.1.曲面 概念与基本表示方法 特殊曲面 旋转曲面 柱面 二次曲面 8.2.2.曲线 曲线的方程 一般方程 参数方程 曲线的投影 8.3.直线与平面 8.3.1.平面 概念 平面方程 点法式 一般方程 两平面的夹角 8.3.2.直线 概念 直线方程 一般方程 标准式 参数式 两直线的夹角 直线与平面的夹角 第九章 多元函数微分法及其应用 9.1.极限与连续 9.1.1.二重极限 定义 性质 沿任何路径得到的极限相同 一元函数极限的对应性质 9.1.2.连续 定义 有界闭区域上连续函数的性质 9.2.偏导数与全微分 9.2.1.偏导数 定义 运算法则 四则运算 链式法则 隐函数存在定理 高阶偏导数 9.2.2.全微分 定义 可微与连续、偏导数存在的关系 9.2.3.方向导数 计算公式 几何意义 9.2.4.梯度 计算公式 几何意义 9.3.应
张宇带你学高等数学·同济七版(上册) 论综合性还是灵活性都有所提高,目的也正如上面所谈让同学们慢慢接触考研类试题的特点与深 度,逐步走向考研的要求,本部分别题及部分理论白说明等内容希望同学们认真体会并化为己有 需要指出的是,考研大纲和本科教学大纲均不作要求的章节,本书也未收录 总之,本书作为“张宇考研数学系列丛书”的基础篇,既可作为大学本科学习的一个重要参考,也 是架起教材与《张宇高等数学18讲》张宇线性代数9讲》张宇概率论与数理统计9讲》及后续书籍 的一座重要桥梁我深信,认真研读学习本书的同学在基础阶段的复习必会事半功倍 2015年8月于北京 目录 CONTENTS 章节同步导学 ……………:……… 知识结构网图 134 课后习题全解 ……+ 和中福和 经典例题选讲……………………………………………………40 Ⅲ第二章导数与做分 章节同步导学……………… ……………51 知识结构网图 “““…"1…………· …52 课后习题全解 ……………52 经典例题选讲……………… ··· ……………82 第章微分中信定理与导数的应用H 章节同步导学… 90 知识结构网图… 91 课后习题全解…… 91 经典例题选讲…… ………………128 ⅢN第四章川不定积分HH 章节司步导学……………………………………………………………141 知识结构网图 .4..aa'.a4aa.ia. 142 课后习题全解…………………………………………………………142 经典例题选讲…………………… 172 Ⅲ第五章定积分 章节同步导学……………………………………………………183 知识结构网图……………… 184 张字带你高等数学·同济七版(上册) 课后习题全解………………… 184 经典例题选讲 平平十册+吾世平普寻要·· HHH第大定积分的应用 章节同步导学 226 知识结构网图………………………………………………26 课后习题全解 t 1..+ ……………………227 经典例题选讲 24 N第嘛微分方程 li 章节同步导学……………… ……………:252 知识结构网图…… , …………………………………253 课后习题全解………… 254 经典例题选讲… …""……"……""……………309 2 第一章函数与极限 二章节同步导学 章节 教材内容 考纲要求 必做例题 必做习题 映射 考研不作要求 函数、复合函数及分段函数的概念 理解 函数的表示法 掌握 P16习题1-1 §1.1映射 例5~10 1(3)(5)(7) 与函数函数的有界性单调性奇偶性、 了解 2(3),3,4(2),6(2), 周期性,反函数、初等函数的概念 12,13 基本初等函数的性质及其图形 掌握 建立应用问题的函数关系 会 理解(数一数二) 81.2数列 数列极限的定义 了解(数三)【难点】 P26习题1-2: 的极限 1(2)(6)(8) 收敛数列的性质 了解 单侧极限以及左、右极限与 理解(数一数二) 例 §1.3函数 极限存在的关系 了解(数三)【难点】 P33习题1-3: 的极限 掌握(数一数二) 1(2),2,3(1),4 函数极限的性质 了解(数三) 无穷小的概念 理解 §1.4无穷小 P37习题1-4: 与无穷大 理解(数一数二) 无穷大的概念 了解(数三) 无穷小的基本性质 理解 P45习题1-5: 1.5极限 掌握〔数一数二) 极限的性质 例1~81(3)(5)(11)(13), 运算法则 了解(数三) 2(1),3,4,5 极限的四则运算法则 掌握 张宇带你学高等数学·同济七版{上册) 续表 章节 教材内容 考纲要求 必做例题 必做习题 极限存在的两个准则(夹通 掌握(数一数二) 81.6极限准则、单周有界数列必有极限) 了解(数三) 存在准则 利用两个重要极限求 P52习题1-6: 两个重要 掌握【重点】 例1~4 极限的方法 1(4)(G),2,4 极限 柯西审敛原理 考研不作要求 无穷小阶的定义及无穷小量 的比较方法 例1~5 21.7无穷小 P55习题1-7: 的比较 掌握【重点】(熟记例1,2 1,3,4(1),5 些重要的等价无穷 的结论) 小及其性质 函数连续性的概念 §1.8函数的 (含左连续与右连续) 理解【重点】 连续性与 P61习题1-8 间断点 3(1),4,5 函数间断点的分类与判别 (第一类间断点与第二类间断点) 会【重点】 例1~5 连续函数的和差、积、商 §1.9连续函 的连续性 例1 P65习题1-9 数的运算与 了解(会利用迕续性 3(3)(5)(7)(8), 初等函数的反函数与复合函数的连续性 求极限) 例 2~~4 4(4)(5)(6)(7)(8), 连续性 5,6 初等函数的连续性 例5~8 有界性与最大值最小值定,理解【重点】会灵活 81.10湖区 零点定理与介值定理 例1 应用这些性质) 间上连续函 P70习题1-10: 数的性质 1,2,3,4,5 一致连续性 考研不作要求 P70总习题 总结归纳本章的基本概念、 总习题 3,5,9(2)(4)(6) 基本定理、基本公式、基本方法 (7)(8),10,11, 12,13,14 第一章函数与极限 知识结构网图 定义:三要素 四则运算 函数的运算复合函数 反函数 函数 单调性 数的性质{周期 奇偶性 有界性 初等函数 数列极限 定义函数极限 无穷小与无穷大 唯一性 性质{局部有界性 极限 保号性 极限的四则运算 两个重要极限 重要公式、定理 夹逼定理 两个收敛准则 单调有界收敛定理 无穷小的比较 函数在一点连续 连续性{函数在一个开区间上连续 函数在一个闭区间上连续 定义 间断点 可去间断点 第一类 连续 跳跃间断点 分类 第二类/无穷间断点 振荡间断点 有界性 闭区间上连续函数的性质最值定理 介值定理(零点存在定理) 本章讲解高等数学中最基本的概念—函数以及极限的相关概念,是整个学科的基础.其中,函 数是高等数学的研究对象,其重要性不言而喻这一部分主要是对中学期间初等数学相关内容的复 习和回顾,难度不大高等数学是一门关于极限的学科,学科中的所有主要概念(导数、积分、级数)本 质上都是特殊形式的极限因此正确理解极限的概念,掌握极限的相关运算法则就成了学好整个学 科的关键极限分为函数极限与数列极限,其中函数极限又分为左极限、右极限等多种特殊形式,它 们有相似的定义和性质,同学们要把握其中规律,学会举一反三学习极限的核心任务是极限的计 算,同学们要多加练习,掌握常用的计算方法,同时要注意遵循基本的运算法则,在学习之初就养成 3 张伂佩学高等數学·同济士版(上册) 良好的思维习惯函数的连续性是通过极限定义的讨论函数的连续性也就是计算两数的极限,对间 断点的分类要记住分类标准,并能进行简单的判断最后,闭区同上连续函数具有一些良好的性质, 同学们要记住相关的定理,并学会用它们进行简单的分析证明 三课后习题全解 习题1-1映射与函数 1.求下列函数的自然定义域: (1)y=√3x+2; (3)y=1-√1-x2 (4) (5)y=sin√x; n(x十1); (7)v=arcsin(r3) (8)y=√3-x+ arcta 9)y=ln(x+1); (10)y- 【解析】1)3x+2≥0=x23,却定义域为N%,) (2)1-x2≠0→x≠+1,即定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)U(1,+∞) (3)x≠0且1-x20→x≠0且x≤1,即定义域为[-1,0)∪(0,1] (4)4-x2>0→x<2,即定义域为(-2,2) (5)x≥0,即定义域为[0,+∞) 6)x+1≠k+2(∈D,即定义域为{21∈R且(k+2)x一1,小 (7)x3≤1→2≤x≤4,即定义域为[2,4] (8)3-x≥0且x≠0,即定义域为(-∞,0)(0,3 (9)x+1>0→x>-1,即定义域为(-1,+∞) (10)x≠0,即定义域为(-∞,0)∪(0,+∞) 【注】本题是求函数的自然定义域,一般方法是先写出构成所求函数的各个简单函数的定义 域,再求出这些定义域的交集,即得所求定义域下列简单函数及其定义域是经常用到的: QCc) P(z) P(x)∠0 logT,T>0 y=tanx,x≠(k+ 2 )x,k∈Z y=0tx,x≠,k∈Z; y= arcsin a,lxl≤1 y-arccos axIsI 第一章函致与极限 2.下列各题中,函数f(x)和g(x)是否相同?为什么? (1)f(x)=gx2,g(x)=2lg (2)f(x)-x,g(x)=√x; (3)f(x)=x2-x25,g(x)=xx-1; (4)f()=l,g(z)=secx-tan' x 【解析】(1)不同,因为f(x)的定义域为x≠0,g(x)的定义域为x>0 (2)不同,因为对应法则不同,g(x)=2={2,x≥0 z,x<0 (3)相同,因为定义域,对应法则均相同 (4)不同,因为x(x)=8x-tanx=p0x2分母不能为0,要求x≠kx+2,故f(x)与g(x) 定义域不同 3.设 sIn al, 0(x) 0 R(否)()(-至),-2,并作出函数y=(x)的图形 【解析】可用直接代人法来求 T T 6 2 sIn 42 4 1(4)=2 ,q(-2)=0 y=g(x)的图形如图1-1所示 4.试证下列函数在指定区间内的单调性: 43 (-∞,1) (2)y=x+1nx(0,+∞). 【证明】(1)对x1,x2∈(-∞,1),且x1<x2<1,则 图1-1 f(x2)-f(x1) 1-x1(1-x2)(1-x1 >0 即f(x)<f(x2),故y=12在(一∞,1)内单调增加 (2)对x2>x1>0,有2>1,x2-x1>0,则 f(x2)-f(x1)=(x2+lnx2)-(x1+lnx1)=(x2-x1)+ln22>0, 所以f(x1)<f(x2),故y=x+1nx在(0,+∞)内单调增加 5.设f(x)为定义在(-,D内的奇函数,若f(x)在(0,D内单调增加,证明f(x)在(一,0)内也 单调增加 【证明】设x1,x2∈(-l,0且x1<2,则必有-x1,-x2∈(0,),且一x2<-x1

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