2019考研数学 线性代数辅导讲义 汤家凤

2019考研数学 线性代数辅导讲义 汤家凤2019考研数学 线性代数辅导讲义 汤家凤2019考研数学 线性代数辅导讲义 汤家凤2019考研数学 线性代数辅导讲义 汤家凤
文都教育 2019 考研数学 仝国硕上研究生招生考试 线性代数辅导讲义 文都考研数学命题研究组策划 汤家凤编著 中国原子能出版社 图书在版编目(CIP)数据 全国硕士研究生招生考试线性代数辅导讲义/汤家 凤编著.一北京:中国原子能出版社,2017.11 lSBN978-7-5022-8667-5 1.①仝…Ⅱ.①汤…Ⅲ.①线性代数-硕士生入学 考试-自学参考资料Ⅳ.①O151.2 中国版本图书馆CIP数据核字(2017)第283045号 全国硕士研究生招生考试线性代数辅导讲义 出版发行中国原子能出版社(北京市海淀区阜成路43号100048) 责任编辑张梅 特约编辑何妍妍 印刷三河市航远印刷有限公司 经销全国新华书店 开本787mm×1092mm1/16 印张13.25字数330千字 版次2017年11月第1版2017年11月第1次印刷 书号SBN978-7-50228667-5 定价38.00元 网址http://www.aepcom.cn E-mail:atomep123@126.com 发行电话:010-68452845 版权所有侵权必究 郑重声明 买正版图书听精品课程 8:38. 文都考研数学独家师资汤家风老师主编的《全国硕士研究生招生考 8试线性代数辅导讲义》《全国硕十研究生招生考试高等数学辅导讲义》等 系列图书因其独特的编写切亼点以及对学科命题特点的独到把握而深受 8广大考生欢迎 但当前某些机构和个人非法盗印汤家凤老师的图书,这类图书印制8 质量差,错误百出,不仪使考生蒙受金钱与精力的损失,而且误导考生,甚 至毁掉考生的研究生考试前程。 888 为了保障考生、作者及出版社等多方的利益,文都教育特发如下郑重 声明 1.对制作、销售盗版图书的网店、个人,一经发现,文都教育将严厉追 究其法律责任; 2.凡文都图书代理商、合作单位参与制作、销售盗版图书的,立即取 消其代理、合作资格,并依法追究其法律和相关经济责任 3.对为打击盗版图书提供重要线索、证据者,文都图书事业部将给予 奖励;若举报者为参加考研的考生,文都图书事业部将免费提供考研图书 资料和考前预测试卷。 全国各地举报电话:010-88820419,13488713672 电子邮箱:touse@wendu.com 为方便考生使用考研数学系列正版图书,特提供网上增值服务,考生登 8录文都教育在线(www.wenducom)可听取汤家凤老师的精品晶课程。 中国原子能出版社 世纪文都教育科技集团股份有限公司 授权律师:北京市安诺律师事务所 刘岩 2017年11月 SCCCCS-GCSMCCGGG C G C CC coc 前 线性代数是全国硕士研究生招生考试数学考试中必考的内容,从历年考试的情况看,很多 考生对线性代数知识掌握得不太理想,甚至没有弄清楚其中很多基本原理。作者编写本书目 的是为广大复习线性代数的考生在阅读教材的基础上进一步系统复习提供辅导。本书共分为 六章,分别为行列式、矩阵、向量、线性方程组、特征值和特征向量、二次型及其标准形。 本书特色: 1.对知识体系进行概括总结 无论是高等数学、线性代数还是概率统计,对知识体系全面、透彻地理解非常重要。本书 按照线性代数复习需要抓住的两条主线入手进行系统总结,展开分析。一条主线是行列式、矩 阵、向量组作为研究方程组的三大具与方程组解的关系以及它们之间的联系;另一条主线是 特征值与特征向量、矩阵的对角化作为工具如何应用于二次型的标准化。本书每一章都按照 体系给出需要掌握的基本概念、基本原理、基本性质,特别注重性质之间联系的总结,在关键的 概念、原理和性质后面都进行了注解,并且重要内容都给岀了巩岡题型,这样有助于对相应部 分的內容的理解和掌握,同时有助于理解各内容之间的本质联系。 2.对每个部分的基本题型进行分类 在理解基本概念、原理和性质的基础上,本书各部分均给出了典型的综合题型,按题型进 行分类概括,给出了规范、详尽的解答,力求简明扼要,有些题目给出了多种解法。这一部分将 考研涉及的线性代数题型进行全面分类,既有助于基本知识的掌握,又有助于适应考试题型。 3.各部分给出练习题及解答 每个部分都给岀了供读者检测掌握情况的练习題,包括填空题、选择题、计算与证明题。 题型全面,所设计的题目既注重基础知识的掌握,又有相当的综合性,对提高读者计算能力、熟 练使用基本原理解决问题的能力非常有用。同时题后附有答案与解析,完全满足读者检测的 需求,快捷提高应试能力。 由于编者水平所限,不足之处在所难免,望广大读者批评指正。 编者 2017年11月于南京 目录 第一章行列式 本章概要 ·,,,··,.·,,··,·, (1) 重要知识点讲解 第一节行列式的基本概念与性质 …………………………………………(1) 第二节行列式的应用—克拉默法则 ……………………………………(7) 综合题型 ………………(9) 题型一行列式的基本概念“… .::·: 题型二低阶行列式的计算 (10 题型三n阶行列式的计算… ······ …(14) 题型四矩阵的行列式计算 ………(17) 题型五余子式与代数余子式 ………(18) 本章练习题… 练习题答案与解析 ··· (20) 第二章矩阵… ……………………(23) 本章概要 ··· (23) 重要知识点讲解 …………(23) 第一节矩阵的基本概念与特殊矩阵…………………………………(23) 第二节矩阵的运算及性质……… …………………………………(25) 第三节矩阵的逆矩阵……… ·,········· ………(29) 第四节矩阵的秩 t看4鲁垂看,、垂 …………(34) 第五节矩阵等价…… ······…·· 8垂B看 (36) 综合题型 .,,, (37) 题型一矩阼的运算与矩阵的行列式计算(续)… …………(37) 题型二矩阵的幂矩阵………………… (39 题型三初等变换与初等矩阵 ………………(42) 题型四逆矩阵的计算与证明…………………………………………(45) 题型五伴随矩阵与矩阵的逆矩阵关系问题… (48) 题型六矩阵方程 ……………………(49 题型七矩阵的秩∵………………………………………………(52) 本章练习题… …(53) 练习题答案与解析 (56) 第三章向量 ……………………………………………………(62) 本章概要 ………………………………………………(62) 重要知识点讲解………………………………………………(62) 第一节向量的概念与运算……… a·B··曹4非4.p (62) 第二节向量组的相关性与线性表示… 63 第三节向量组等价、向量组的极大线性无关组与向量组的秩…(66) 第四节n维向量空间(仅限数学一) (68) 综合题型 ··:········ …(69) 题型一向量组的相关性… (69) 题型二向量的线性表示……………… …(77) 题型三向量组等价与向量组的秩…… ····= …………(79) 题型四过渡矩阵与向量的坐标(仅限数学一)… …………(81) 木章练习题 (83) 练习题答案与解析……………………………………(86) 第四章线性方程组 ……(93) 本章概要………… (93) 重要知识点讲解… ………………………………(93) 综合题型… (99) 题型一方程组的解的理论证明矩阵秩的性质……………………(99) 题型二线性方程组解的结构与性质 ……………………(100) 题型三齐次线性方程组的解……………………………………(104) 题型四非齐次线性方程组的通解 (108 题型五线性方程组的理论证明 (118) 题型六方程组的公共解与方程组同解 (122) 本章练习题 ……………………………………(126 练习题答案与解析 ………………………(129) 第五章特征值和特征向量 ………………(134) 本章概要 :· 翻非 ……………………………(134) 重要知识点讲解 ····· …………………(134) 第一节特征值与特征向量的基本概念 ………………(134) 第二节特征值与特征向量的性质 …………(136) 第三节矩阵对角化理论……… (138) 综合题型… ··..·.··...········ (140) 题型一求矩阵的特征值与特征向量)… ……………………(|40) 题型二特征值与特征向量的定义与性质 ……………………………(145) 题型三矩阵相似的判断 …………………………(148) 题型四非实对称矩阵的对角化 ……………………(150) 题型五实对称矩阵的对角化⌒… ……(156) 题型六求A"……………… …………………(161) 题型七特征值法求未知矩阵 (163) 题型八特征值、特征向量命题的证明…………………………(166) 本章练习题 ……(167) 练习题答案与解析 (169 第六章二次型 …………………………………………………(174) 本章概要 ……………………………………(174) 重要知识点讲解……………………(174) 第 次型的基本概念及其标准形 (174) 第二节正定矩阵与正定二次型 ……………………(178 综合题型 ……(179) 题型一二次型的概念与性质……………………………(179) 题型二二次型的标准形……………………………………(181) 题型三含参数的二次型问题 …(184) 题型四正定二次型的判别与证明问题 (188) 题型五矩阵相似与合同 (192) 本章练习题 (192) 练习题答案与解析 (194) 第一章行列式 本章概要三 行列式本质上是一个数,行列式反映行列式元素之间的运算关系.要掌握不超过四阶的行 列式的计算,同时要能计算简单、特殊的n阶行列式 行列式的计算是按照行列式的性质进行的.低阶行列式的计算主要有两个思路:转化为上 (下)三角行列式和降阶,但一般是把两种思路相结合;阶行列式的计算主要有数学归纳法 递推法、升阶法、转化为上(下)三角行列式法 行列式是线性代数中一个非常重要、非常基础的工具在后面的学习中经常使用到,归纳 起来主要有如下几个方面的应用. 1.向量组的相关性 设∝1a2…,an是n个n维向量,令A=(a1,a2,…,n).则向量组α1,a2,…,a,线性无 关的充分必要条件是|A|≠0 2.矩阵的满秩与可逆 (1)设A为n阶矩阵.则A满秩的充分必要条件是A|≠0;当A|≠0时,又称A为非奇 异矩阵,即满秩矩阵与非奇异矩阵是等价的; (2)设A为n阶矩阵,则A可逆的充分必要条件是|A|≠0. 3.方程组的解 (1)设A为n阶矩阵.则AX=0只有零解的充分必要条件是A|≠0; (2)设A为n阶矩阵,则AX=b有唯一解的充分必要条件是A|≠0 4.特征值、特征向量 设矩阵A的特征值为x1,x2,…A,则A|=12…n 重要知识点讲解三 第一节行列式的基木概念与性质 一、基本概念 逆序设是一对不等的正整数,若i>j则称(,j)为一对逆序 2.逆序数设i1i2…in是1.2.…n的一个排列,该排列所含的逆序总数称为该排列的逆 序数,记为x(i1i2…in).逆序数为奇数的排列称为奇排列,逆序数为偶数的排列称为偶排列 3.行列式由”2个数组成的下列记号 Q21a22 称为n阶行列式,规定