3.1 ARCH 与 GARCH 模型例
1. 自回归条件异方差模型
3.1.1 问题的提出
对异方差误差分布的修正能够导致更加有效的参数估计。例如在回归方程
�
���
ttt
t
xx
y
����
3
3
2
21
（3.1.1）
中的
�
t
的方差可能与
x
t
2
2
成正比，在这种情况下，我们可以使用加权最小二乘法，即令方
程的两边同时除以变量
x
t2
，然后用普通最小二乘法估计变化后的回归方程
�
���
*
2
3
32
2
1
2
1
t
t
t
tt
t
x
x
xx
y
����
（3.1.2）
在有些应用场合下，可以认为误差项是随时间变化的并且依赖于过去的误差大小。通货
膨胀以及股票市场收益都属于这种情形。在这些实际应用中，常常有大的误差与小的误差成
群出现的情形，换句话说，存在着一种特殊的异方差形式，回归误差的方差依赖于过去不久
误差的变化程度。
一个被广泛采用以解决这类异方差模型是由 Robert Engle 研究发展出来的，他认为用一
个自回归条件异方差模型（Autoregressive conditional heteroscedasticity model，简计为 ARCH
模型）会提高有效性。
3.1.2 定义
一般的，公式（1）中随机误差项
t
�
的方差
2
t
�
可以依赖于任意多个滞后变化量
it�
�
（i=1,2,…p），记作 ARCH（p）
��������
22
22
2
110
2
.......
ptpttt ���
�����
（3.1.3）
注意：
（1） 为了保证在给定
it�
2
�
条件下，
0
2
�
t
�
，就必须要求
0�
�
（
p,,1,0 ��
�
）；
（2） 要保证误差序列
t
�
的平稳性，系数必须满足：
1
21
��
p
���
��
。
3.1.3 检验
3.1.3.1Breusch-Pagan 检验
在同方差的假设下条件下：
SSR/2~X
2
(1)
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