数值分析教材

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11数值分析研究对象与特点 数值分析研究对象 计算机解决科学计算问题时经历的过程 实际问题 模型设计 算法设计m 程序设计 上机计算 问题的解 实例 求2 方程求根x2=2 牛顿法 x=(x+ 2 |程序设计 上机计算→解115=147 工科研究生公共课程数学系列 数值分析的内容包括函数的数值逼近、数值微分与数值积 分、非线性方程数值解、数值线性代数、常微和偏微数值解 等。数值分析研究对象以及解决问题方法的广泛适用性,著名 流行软件如 Maple、 Matlab、 Mathematica等已将其绝大多数内 容设计成函数,简单调用之后便可以得到运行结果 但由于实际问题的具体特征、复杂性,以及算法自身的适 用范围决定了应用中必须选择、设计适合于自己特定问题的算 法,因而掌握数值方法的思想和内容是至关重要的 本课程内容包括了微积分、代数、常微分方程的数值方 法,必须掌握这几门课程的基础内容才能学好这门课程。 工科研究生公共课程数学系列 数值分析的特点 面向计算机,要根据计算机的特点提供切实可行的有效算 法 有可靠的理论分析,能任意逼近并达到精度要求,对近似 算法要保证收敛性和数值稳定性,还要对误差进行分析。 这些都是建立在数学理论的基础上,因此不应片面的将数 值分析理解为各种数值方法的简单罗列和堆积。 要有好的计算复杂性,时间复杂性好是指节省时间,空间 复杂性好是指节省存储量,这也是建立算法要研究的问 题,它关系到算法能否在计算机上实现。 要有数值实验,即任何一个算法除了从理论上要满足上述 三点外,还要通过数值实验证明是行之有效的。 工科研究生公共课程数学系列 数值分析的学习方法 初学可能仍会觉得公式多,理论分析复杂。给出如下的 几点学习方法。 ·认识建立算法和对每个算法进行理论分析是基本任务,主 动适应公式多和讲究理论分析的特点 注重各章节所研究算法的提出,掌握方法的基本原理和思 想,要注意方法处理的技巧及其与计算机的结合。 理解每个算法建立的数学背景、数学原理和基本线索,而 且对一些最基本的算法要非常熟悉。 要通过例子,学习使用各种数值方法解决实际计算问题。 为掌握本课的内容,还应做一些理论分析和计算练习。 工科研究生公共课程数学系列 12数值计算的误差 误差的来源 在运用数学方法解决实际问题的过程中,每一步都可能带 来误差。 1、模型误差在建立数学模型时,往往要忽视很多次要因素, 把模型“简单化”,“理想化”,这时模型就与真实背景有了差 距,即带入了误差。 2、测量误差数学模型中的已知参数,多数是通过测量得到。 而测量过程受工具、方法、观察者的主观因素、不可预料的随 机干扰等影响必然带入误差。 工科研究生公共课程数学系列 3、截断误差数学模型常难于直接求解,往往要近似替代,简 化为易于求解的问题,这种简化带入误差称为方法误差或截断 误差。 例如:函数f(x)用泰勒( Taylor)多项式 Pn(x)=f(0)+ 1x+f"(0 f'(0 x-+··+ 2! 近似代替,则数值方法的截断误差是泰勒余项 4、舍入误差计算机只能处理有限数位的小数运算,初始参 数或中间结果都必须进行四舍五入运算,这必然产生舍入误 差 例如:用3.14159近似代替丌,产生的误差 R=x-3,14159=0.0000026 工科研究生公共课程数学系列 误差分析是一门比较艰深的专门学科。在数值分析中主要 讨论截断误差及舍入误差。但一个训练有素的计算工作者, 当发现计算结果与实际不符时,应当能诊断出误差的来源, 并采取相应的措施加以改进,直至建议对模型进行修改。 绝对误差、相对误差与有效数字 1、绝对误差与绝对误差限 定义设x为准确值,x为x的一个近似值,称e=x-x 为近似值x的绝对误差,简称误差记为c。 误差是有量纲的量,量纲同x,它可正可负。误差一般无 法准确计算,只能根据测量或计算情况估计出它的绝对值的 个上限,这个上界称为近似值x*的误差限,记为c*。 工科研究生公共课程数学系列 对于一般情形x-≤6,即 x4-8*≤x≤x+g 工程中常表示为 x=x±8 例如,有两个量x=10±1,y=1000±1,则 x=10,Ex=1;y=1000,y=1 2、相对误差与相对误差限 定义2似的差准确值的门 -x 称为近似值x的相对误差,记作e 工科研究生公共课程数学系列

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