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1
摘 要
本文在第一部分给出了微分中值定理的基础知识;然后又在第二
部分给出了微分中值定理的应用;在第三部分,给出了这些中值定理
的异同点;本文的最后,给出了微分中值定理的推广。
关 键 词
微分中值定理; 罗尔定理; 拉格朗日定理; 柯西定
理
Abtsract
This paper gives the basic knowledge about Mean Value Theorem
in the first part. As an application of the theorem, we shall give some
examples in the second part. And the common and differert points
of three theorems are discussed in the third part. At the end of this
paper, we generalize it to high orders.
Key word
Key wordKey word
Key word
Mean Value Theorem; Rolle Theorem; Lagrange Theorem;
Cauchy Theorem
2
引言
引言引言
引言
微分中值定理是微分学的基本定理之一,是研究函数的有力工具。一元函数的微分中值
定理,通常指罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理,它们构成微分学的理论核心,是研究函
数性态(如:不定式极限、单调性、极值、凸性、拐点)的有效工具。其中拉格朗日中值定
理是罗尔中值定理的推广,柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广;反之,拉格朗日中值
定理是柯西中值定理的特例,罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例。微分中值定理有着
明显的几何意义和运动学意义。主要是利用函数导数在区间上所具有的特征去研究函数本身
在该区间上的性质,在研究函数的性质上是一个非常有利且方便的工具。
一
一一
一.
..
.微分中值定理的基础知识
微分中值定理的基础知识微分中值定理的基础知识
微分中值定理的基础知识
[
]
[
]
1 2
Fermat
Fermat Fermat
Fermat 引理
引理引理
引理
设
0
x
是
( )
f x
的一个极值点,且
( )
f x
在
0
x
处导数存在,则
'
( ) 0
f x
=
。
罗尔定理
罗尔定理罗尔定理
罗尔定理(
((
(定理
定理定理
定理 1
11
1):
):):
):设函数 )(xf 在闭区间
[
]
ba,
上连续, 在开区间
(
)
ba,
内可
导, 且 ),()( bfaf
=
则在
( , ) ( ) 0
a b fξ ξ
′
=
内至少存在一点 ,使得
。
证
证证
证明
明明
明:
::
:由闭区间上连续函数的性质,存在
[
]
, ,
a b
ξ η ∈
,使
( ) ( )
f M f m
ξ η
= =
和
,
其中 M 和 m 分别是 )(xf 在
[
]
ba,
上的最大值和最小值。现分两种情况:
(
((
(1
11
1)
))
)
M m
=
。此时
( )
f x
在
[
]
ba,
上恒为常熟,结论显然成立。
(
((
(2
22
2)
))
)
M m
>
。这时 M 和 m 中至少有一个与
( )
f a
(亦即
( )
f b
)不相同,不妨
设
= ( ) ( ) ( )
M f f a f b
ξ
> =
因此
(
)
,
a b
ξ ∈
显然是极大值点,由 Fermat 引理有
'
( ) 0
f
ξ
=
。
拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理(
((
(定理
定理定理
定理 2
22
2)
))
):设函数
(
)
f x
满足条件
(1)
(
)
f x
在闭区间
[
]
ba,
上连续, (2)
(
)
f x
在开区间
(
)
ba,
内可导,
则在
(
)
ba,
内至少存在一点
ξ
,使得:
( )
(
)
(
)
a
b
afbf
f
−
−
=
′
ξ
。
证
证证
证明
明明
明:(
:(:(
:(一
一一
一)
))
) 根据“发现”法可证:设
(
)
(
)
k
a
b
afbf
=
−
−
,
(
)
(
)
(
)
abkafbf −=−
,
即
(
)
(
)
kbbfkaaf −=−
。造函数
(
)
(
)
kxxfxF −=
满足条件
(
)
(
)
bFaF =
,于是
(
)
xF
3
满 足 罗 尔 定 理 的 全 部 条 件 。 而 有 :
(
)
(
)
0=−
′
=
′
kxfxF
, 故
(
)
f k
ξ
′
=
, 故
( )
(
)
(
)
f b f a
f
b a
ξ
−
′
=
−
。
证明
证明证明
证明:(
:(:(
:(二
二二
二)
))
)
设
( )
(
)
( )
( )
1
1
1
xfx
bfb
afa
x =φ
因
(
)
xf
在
[
]
ba,
上连续,在
(
)
ba,
内可导,所以
(
)
xφ
在
[
]
ba,
上连续,在
(
)
ba,
内可
导,且
(
)
(
)
0== ba φφ
,故由罗尔定理知,至少存在一点
(
)
ba,∈ξ
,使得
( )
(
)
( )
( )
(
)
( ) ( )
( )
0
01
0
1
01
1
1
=
′
−−=
′
=
′
xf
afbfab
afa
f
bfb
afa
ξ
ξφ
,所以
( )
(
)
(
)
a
b
afbf
f
−
−
=
′
ξ
。
证明
证明证明
证明:(
:(:(
:(三
三三
三)
))
)
作辅助函数
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
( ) ( ) , ,
f b f a
x f x f a x a x a b
b a
ϕ
−
= − − − ∈
−
,
由于函数
(
)
f x
在闭区间
[
]
,
a b
上连续,在开区间
( , )
a b
上可导,因此函数
( )
x
ϕ
也在闭区间
[
]
,
a b
上连续,在开区间
( , )
a b
上可导,并且有
(
)
(
)
0
a bϕ ϕ
= =
,于是
由 Rolle 定理,至少存在一点
( , )
a b
ξ
∈
,使得
'
( ) 0
ϕ ξ
=
。对
( )
x
ϕ
的表达式求导,
并令
'
( ) 0
ϕ ξ
=
,整理后便得到
( )
(
)
(
)
a
b
afbf
f
−
−
=
′
ξ
。
柯西中值定理
柯西中值定理柯西中值定理
柯西中值定理(
((
(定理
定理定理
定理 3)
3)3)
3)设
( )
f x
和
( )
g x
同时满足下述条件:
(1)在闭区间
[
]
ba,
上连续,(2)在开区间
(
)
ba,
内可导,
(3)对任意
( , )
x a b
∈
,
'
( ) 0
g x
≠
,
则在
(
)
ba,
内至少存在一点
ξ
,使得:
(
)
( )
( ) ( )
( ) ( )
f
f b f a
g g b g a
ξ
ξ
′
−
=
′
−
。
证明
证明证明
证明:
::
:预备定理:设函数
(
)
xf
在点
0
x 处可导,若这导数
(
)
(
)
(
)
,00
00
<
′
>
′
xfxf
则当
x
取右方充分接近于
0
x 的数值时,就有
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
00
xfxfxfxf <> 。而当
x
取
4
左方接近于
0
x 的数值时,就有
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0
f x f x f x f x
< > 。
达布定理:若函数 f 在闭区间
[
]
ba,
上可导,且
(
)
(
)
bfaf
′
≠
′
,
k
为介于
(
)
af
′
及
(
)
bf
′
之间的任一实数,则至少存在一点
(
)
ba,∈ξ
,使得
(
)
kf =
′
ξ
。
证明柯西中值定理: 设
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
[
]
agbgxfafbfxgxG −−−=
,
由于
(
)
(
)
xgxf ,
在闭区间
[
]
ba,
上连续,在开区间
(
)
ba,
内可导,可知
(
)
xG
在
[
]
ba,
上
连续,在
(
)
ba,
内可导,且容易得出
(
)
(
)
bGaG =
。
下证:一定有
(
)
ba,∈ξ
,使得
(
)
0=
′
xG
,因若不然,假定在
(
)
ba,
内,
(
)
,0≠
′
xG
则依达布定理,
(
)
xG
′
在
(
)
ba,
内不能异号,因此
(
)
0>
′
xG
或
(
)
0>
′
− xG
,而由预备
定理,在两种情况下都有
(
)
(
)
0≠− bGaG
,这与
(
)
(
)
bGaG =
相矛盾,因此必有
(
)
ba,∈ξ
,使得
(
)
0=
′
xG
,即
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
[
]
afbfgagbgf −
′
=−
′
ξξ
(1)
如果
(
)
0=
′
ξg
,则已知条件对任意
( , )
x a b
∈
,
'
( ) 0
g x
≠
相矛盾,因此
(
)
0≠
′
ξg
。
(1)式两端同除以
(
)
(
)
(
)
[
]
agbgg −
′
ξ
,则得:
(
)
( )
( ) ( )
( ) ( )
f
f b f a
g g b g a
ξ
ξ
′
−
=
′
−
。
二
二二
二.
..
.微分中值定理的应用
微分中值定理的应用微分中值定理的应用
微分中值定理的应用
[
]
3
[
]
4
微分中值定理在讨论方程根的存在性,证明不等式的命题,证明等式的命
题,计算函数的极限, 讨论级数的敛散性等方面有非常广泛的应用。下面就一
些实际例子阐述微分中值定理的应用。
1
1 1
1 讨论方程根的存在性
讨论方程根的存在性讨论方程根的存在性
讨论方程根的存在性
例
例例
例1
11
1、设
, 0
a b
>
,证明:
( , )
a b
ξ
∃ ∈
,使得
(1 ) ( )
b a
ae be e a b
ξ
ξ
− = − −
。
证
证证
证明
明明
明:将上等式变形得:
1
1 1
1
1 1
1 1 1 1
(1 ) ( )
b a
e e e
b a b a
ξ
ξ
− = − −
作辅助函数
1
( )
x
f x xe
=
,则
( )
f x
在
1 1
[ , ]
b a
上连续,在
1 1
( , )
b a
内可导,
由拉格朗日定理得:
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