**指数函数与对数函数是数学中的基本概念，它们在许多科学和技术领域都有广泛应用。**
**分数指数幂**是指数函数的基础。对于正数`a`，正分数指数幂`am/n`（其中`m`和`n`都是正整数，`n > 1`）表示`a`乘以自己`m`次再取`1/n`次方。负分数指数幂`a-m/n`则表示`1`除以`am/n`。对于`0`的正分数指数幂，其值为`0`，而`0`的负分数指数幂是没有定义的。
**指数函数**的定义域是所有实数`R`，值域是正实数`(0, +∞)`。当指数`a > 1`时，函数是严格递增的，图像过点`(0, 1)`，并且在`x > 0`时`y > 1`，在`x < 0`时`0 < y < 1`。相反，当`0 < a < 1`时，函数是递减的，同样过点`(0, 1)`，但`x > 0`时`0 < y < 1`，`x < 0`时`y > 1`。
**对数**是指数的逆运算。对数的定义是如果`N = ab`（其中`a > 0`且`a ≠ 1`），则`b`被称为以`a`为底的`N`的对数，记作`log_a N = b`。常见的对数形式有**一般对数**（底数为`a`），**常用对数**（底数为`10`）和**自然对数**（底数为`e`）。对数具有多个重要性质，如对数恒等式、运算法则和换底公式，这些都是解决涉及对数问题的关键工具。
**对数函数**的定义域是正实数`(0, +∞)`，值域是所有实数`R`。当底数`a > 1`时，函数是递增的，图像过点`(1, 0)`，`x > 1`时`y > 0`，`0 < x < 1`时`y < 0`。而当`0 < a < 1`时，函数是递减的，同样过点`(1, 0)`，但`x > 1`时`y < 0`，`0 < x < 1`时`y > 0`。
**反函数**的概念指出指数函数`y = ax`与对数函数`x = log_a y`是互为反函数，它们的图像关于直线`y = x`对称。
在实际应用中，指数函数和对数函数经常用于解决增长和衰减问题，如复利计算、放射性物质的半衰期以及物理和工程问题。在解题过程中，理解并熟练运用指数和对数的性质和运算法则是至关重要的。
**练习检测**中的题目展示了如何运用这些概念来解决问题。例如，第一题通过将点`(a, 9)`代入`y = 3^x`来求解`a`的值，然后利用三角函数的性质求解`tan(aπ/6)`。第二题要求画出函数`f(x) = 2|x - 1|`的图像，需要分析绝对值函数的性质。第三题考察了函数`f(x) = 1/(2^x + 1)`的单调性。第四题比较了不同底数的对数表达式的大小关系，利用对数函数的性质和单调性来排序。第五题通过指数和对数的运算法则来求解`a`的值以及`a^2 + a^(-2)`的表达式。
题目还给出了两个指数和对数表达式的化简问题，要求根据有理指数幂的运算性质进行简化。
总结起来，指数函数与对数函数是数学中的核心概念，它们的理解和应用对于学习高级数学和解决实际问题至关重要。掌握指数与对数的运算规则、性质以及它们的图像特征，能够帮助我们更好地处理各种复杂的数学问题。
