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采用抽象化和公理化的方法的结果使得所得到的理论具有普遗 性。其次还使得论证确切和严格,从而结果是精确肯定的。不过也 会带来不利的一面,这就是给读者增加了一定的困难特别是由于缺 乏一定的直观性,而感到不习惯,不过这是可以克服的。当你克服了 这个困难,你就前进了一大步,你的能力也就提高了。 应该注意的是,在近世代数学中,是严格地遵从概念所规定的含 义和公理的形式进行推理和运算的,概念和公理是出发点。不能利 用初等代数中的已知概念、公式、娜则。当你从这个方法时,你会 发现,你己有的初等代数的知识中的某些,只是知道如何运算,而不 知道为什么这样算,为什么它是真的。逐渐你会猎楚它们的理论基 础,从丽大大地加深了你对它们的认识一本质的认识。于是,你会 爱上它,发现它的内在之美。 另外,还妥注意,近世代数学中的一幽名词术语,是从算术、初等 代数、初等数论中惜用过来并加以推广,它既有原来的含义也有与之 不同之处。因此,为了学好这门学科,我们提出以下几点意见 1°必须清楚地掌握每个概念。对每个概念既要清楚地掌握它 的合义,又要掌握引人它时的实际背景既要了解正画定义,又要正 确理解其否定。 2°掌握基本的推理方法学会运用概念和公理进行正确的逻辑 推理。能正确地运用概念和已知的事实进行正确的推理这实际上 就是训练分析问藏和解决问题的能力。 任何问题都包含知识的积螺和能力的训练两个方面。在数学 土能力的训练比起单纯的知识的积累,要重得多。 3°学会把抽象的理论和方法运用到具体和实际问题中去。 最后我们引用华罗康先生在其名著《数论导引》序中的一段话 来结束本节: 从具体到抽象是数学发展的一条重要大道。因此,具体的例子 往往是抽象概念的源泉,而所用的方法也往往是高深数学里所用的 方法的依据。仅仅熟读了抽象的定义和方法而不知具体来源的数学 333 工作者,是没有发展前途的,这样的人要搞深刻研究是可能会遇到无 法克服的难关。数学史上也见不鲜地刊载着实际中来的问题和方 法促进了数学发展的事实。” 11.2若于基本概念 既然近世代数学是代数系的理论,主要研究代数系中代数运算 的规律和性质,并且是在最纯粹的形式下研究代嫩运算。那么对什 么是运算、各种运算律等一系列概念就应给以严格的抽象定义,它们 有怎样的初等性质,也是首先要讨论的问题。其中有些概念已在 27节讲过,为了完整起见,在这也作简要地重复。 定义112.1设X是个集合,一个从XxX到X的映射中称 为X上的一个二元代数运算。 常用符号“"、““等表示X上的抽象的二元代数运算,并且称 为乘法。如果x,y∈X,则x与y在“”下的象·(xy)常记成x·y, 并且把x°y叫做x与y的积。 定义1122一个从集合X到集合Y的映射称为X到Y的 个一元运算。当X=Y时,则称此一元代数运算为X上的一元代数运 算 我们消用的是x上的一元代数运算。 注意,由定义11.2.1和1122知,X上的二元和一元代数运算, 对X中的任两个元素x和y,所算得的结果必在中,这个性质称为 运算的封闭性。按定义,运算的封闭性已蕴含在定义中。 定义11.23设“.”是X上的一个二元代数运算。如果a,b c∈X,恒有 (a·b〉·c=a(bc) 则称二元代数运算“a”适合结合律。如果对X的任两元素a与b恒有 b=b。a 则称代数运算“·”适合交换律。 334 定义1124设“”是非空集合S上的一个二元代数运算,则 称二元组(S,)为一个(有一个代数运算的)代数系。 类似地可以有具有两个代数运算的代数系,具有三个代数运算 的代数系,等等。在代数系(S,·)中,二元代数运算“。”賦以S的元素 间一种代数结构。 定理112.1设(S,°)是一个代数系。如果二元代数运算“。” 适合结合律,则ya4∈S,i=1,2,…,n,n个元素a1,a2……,a的乘 积仅与这n个元素及其数序有关而唯一决定。 〔证】应用数学归纳法证明施归纳于m: 当孔=12时结论显然成立。而n=3时,由代数运算通合结合 律保证结论成立。 假设对S中k个元素结论成立,k<n今证对S中任n个元翥 a1,a2,…,an定理之结论也成立对这n个元素按a1,a2…,,an的 次序不论用什么方法加括号确定计算方案,最后一步必是两个元的 乘积,不妨设为bb20其中b1必为前k≥1个元紊a1…,a之积, 而b为后n-k个元素ak+1;…,an之积。内归纳假设 2 +1盘+2 =(《°a2…·a)。( 2 这表明对a1,a2,…,an这n个元素按此次序不论用什么方法(加括 号),计算的绪果都等于 因此,对S的任意n个元素a1,a2,…,an,它们的乘积仅与这n个元 素及其顺序有关并唯一确定。 由数学归纳法原理,定理I1.2,1成立。 〔证毕〕 定理t22设(S,是一个代数系。如果二元代数运算“a” 适合结合律和交换律则va;∈S,=1,2,…,n,n个元素ata2 an的乘积仅与这n个元素有关而与它们的序无关。 证〕对n施行归纳来证明,其细节由读者自行补上。〔证毕〕 335· 当研究具有两个二元代数运算的代数系时,这两个代数运算往 往有一定的联系。分配律就是反驶两种二元代数运算之间的联系的 一种代数运算律。 定义1125设(S,,+)是具有两个二元代数运算“”和“+ 的代数系。如果Ⅴa,b,c∈S,恒有 a·(b+c)=(g°b)+(aac) 则称“.”对“十"满足左分配律。如果Va,b,c∈S,总有 (b+c)·a=(b·a)+(ca) 则“”对“+”满足右配律。 显然,如果二元代数运算“”蒲足交换律,则左分配律与右分徉 合而为一,这时便说“。”对“+”满足分配律。 用数学归纳法可以证明 定理1123设(S,·,+)是具有两个二元代数运算的代数系。 如果加法“+"满足结合律乘法对加法满足左(右)分配律则a, ∈S,=1,2,,n,有 aa(a1+a2↓…+an)=(a·1)+(aaa2)+…↓(a°an) 〔a1+a+…+a)·a=(a1·a)+(a2°a)+…+(an·a)) 定义1126设(S,0是一个代数系,如朵存在一个元素at∈ s,使得a∈S有 则称a为乘法“”的左单位元素;如果存在元素an∈S使得!a∈ s有 则称a为乘法“”的右单位元素;如果存在一个元素e∈S使得Ⅴa ∈S有 ec三e〓暴g 则称e为“·”的单位元素。 显然,如果乘法有单位元e,则e既是左单位元又是右单位元。 336 定理1124设(S,)是一个代数系。如果二元代数运算。既 有左单位元吗又有右单位元a,则a=ar从而有单位元 诳〕由a为左单位元,所以a°a=每同样地由于a为 右单位元,所以ar=a于是, 〔证毕〕 在近世代数中,如果代数系中的二元代数运算。满足交换律则 习惯上常用加号“+"代替“a,并称为加法。这时如果加法有单位元 素,则单位元素常用“0表示。俱在代数系中乘法的零元意是如下 定义的: 定义1127设(S,)是一个代数系如果存在一个元素z∈ S使得va∈S有 〓 列称z是“。"的零元素。 类似地也可以定义左零元亲、右零元亲不过本书中几乎未涉况 这些概念。 以后,在研究代数系及其应用时,有时妥考虑某些子集,并借勐 于代数系中的代数运算来定义子集间的代数运算。如果(S,)是一 个具有二元代数运算“"的代数系,而A,BS,则定义 A。B{aaba∈A且b∈B 根据上下文,如不会发生误会,也常把A·B记为AB而把a6写成 ab特别是,当A={a时,AB={a}B简记为aB。于是, aB={a·bb∈B}, Ba={boa|b∈, 注意,一艇说来aB≠B。即使aB=时,ax也未必与z相 等,其中x∈B。 11.3半群与幺半群的概念 首先研究的代数系是半群和幺半群。在形式语言和自动机的理 337 论中可以找到幺半群的应用。 定义113.1设“。”是非空集合S上的一个二元代数运算,称 为乘法。如渠!a,b,c∈S,有 a0(b。c) 则称集合S对乘法。形成一个半群( setout)并记为(s,) 于是,半群就是具有满足结合律的二元代数运算的代数系。在平 群中的乘法,只要求它满足结合律,并未要求它必须满足交换律。但 是,如果半群中的二元代数运算一乘法,还满足交换律,则称此半 群为交换半群或可换半群。 例113.1整数集合Z对通常的加法构成的代数系是一个半 群,它还是一个换半群。全体实数集R对通常的加法+、乘法,分 别构成可换半群(R,+)、(R,)由此可见,同一个集合R,对不同的 代数运算构成的半群应看成是不同的半群。 # 例1132设M为所有nxn实矩阵构成的集合,矩阵的乘法 是Mn上的二元代数运算并且满足结合律。从而Mn对矩阵乘法构 成一个半群(Mn,)由于矩阵乘法不满足交换律,所以(Mn,)是 个不可交换的半群。 例1.33所有m次置换构成的集合Sn对置换的乘法形成 个半群(Sn,,它也是一个不可交换半群。由于1Sn|=n!,所以半 群(Sn,)中仅有n!个元素。 # 只含有有限个元的半群称为有限半群否则称为无限半群于 是,例113.3中的半群(Sn,)是有限半群,而例11.3.1及例1.3.2 中的半群都是无限半群。 般地对任何一个正整数n,必有一个恰好含有n个元素的半 群 例外1.34令n=[0,〔1〕,…,〔n-1)为整数集E上在 模a的同余关系下等价类之集,即 〔门={m|m∈z且m=imdn)。 在z上定义加法运算“+"如下:i,〔门∈Zn, 338 〔i〕+[门=[i+j 今证“+”是Zn上的二元代数运算实际上,如果k∈氐i,L∈ 〔〕,则(k〕=[a〕,〔l=〔门〕,〔k+=〔i〕+〔j〕按定义〔]+ 〔〕=[k+),(i+〔j=〔i+je所以,只须证明k+]=[+ j,即加法的定义是不依赖于〔、小的表示即可由于n(k-i), n1(l-j所以(k-i)+(l-j)=(k+)-〔i+j也能被r整 除故k+l=i+j(mndn),因此,k+l∈〔t;门,这表明“+"的定 义与〔i)〔的具体表示无关故“+"是Z中的代数运算。又因为 y〔i〕,jk∈Zn, 〔计+[z〕)+[k〕=〔i+j+k, 〔i〕+(〕+〔k〕)=〔i+j+k〕, 所以 (〔订+〔j)+〔k〕=〔〕+(〔j+〔) 于是,加法满足结合律,从而(Z,+)是一个半群,它恰有n个元素。 # 上述四个例中的半群槨有单位元素。0是(Z,+)中单位元,(R, +)中单位元为0,(R,)中单位元为1,(Sn,)中单位元为n次恒等 置换(Zn,+)中的单位元为〔0〕。 例13.5全体偶整数之集E对通常的乘法构成一个可交换 ￥群(E,·),它没有单元。 # 有单位元素并不是半群的固有性质在没有单位元素的半群中 可能有左单位元亲,或有右单位元素,而且左(右)单位元素也可能 不只一个,甚至可能有无穷多个。 例11.3.6设S为一切形如 0a,a,b∈N 的2x2矩阵之集不难验证,S对矩阵的乘法构成一个不可交换半 群。容易验证:vd∈N,2ⅹ2矩阵 339 00 是左单位元素。于是,(S,)有无穷多个左单位元素。然而它却没有 右单位元素 由定理11.24便立即得到 定理113.1如果半群(S,中既有左单位元亲又有右单位 元意,则左单位元素与右单位元素相等,从而有单位元素且单位元素 是唯一的。 定义113.2有单位元的半群(S,)称为独异点( monoid) 或称为幺半群。 在抽象地讨论幺半群时,其单位元素常记为e为了」突出么半群 S,中有单位元素e就把幺半群记为(S,,e)。 例11.3.1-11.34中各半群都是幺半群,而例113.5及例 1.36的半群都不是幺半群。 例1137令S是任一非空集合,则(28,U,距和(2,∩,S) 都是公半群。 # 例1138设S是一个非空集合,f:S→S是一个特定的映 射,则P=l,f1=f,f2=f°f,…,f+=∫厂,…都是S到S的 映射。令 k∈{0,1,2,…} 则(对映射的合成构成了一个以=l为单位元的幺半群(《f # 例1139设S为非空集,M(S)a/f:S→S},则M(S)对 映射的合成构成了一个以l为单位元的幺半群(M(S),°l),它是 不可交换幺半群。 幺半群(S,°e)称为有限幺半群,如果S是有限集。通常我们把 S的基数称为么半群(S,°,e)的阶。 么半群在形式语言和自动机理论中找到了应用。 定理1.32有限半群(S,为一个幺半群当且仅当彐,t∈ 340