汤家凤高数基础讲义（很不错）

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⑥文都教育 2018 考研数学 全国硕士研究生招生考试 等数学辅导讲义 文都考研数学命题研究组策划 汤家凤主编 中国原子能出版社 图书在版编目(CP)数据 全国硕士研究生招生考试高等数学辅导讲义/汤家 凤主编.一北京:中国原子能出版社,2016.9 ISBN978-75022-7572-3 I.①仝…Ⅱ.①汤…Ⅲ.①高等数学-研究生-人 学考试-自学参考资料Ⅳ.①O13 中国版本图书馆CP数据核字(2016)第236712号 全国硕士研究生招生考试高等数学辅导讲义 出版发行中国原子能出版社(北京市海淀区阜成路43号100048) 责任编辑刘岩 特约编辑邱晓春李焕 印刷北京市兴城福利印刷厂 经销全国新华书店 开本787mm×l092mm1/16 印张15.5字数386千字 版次2016年9月第1版2016年9月第1次印刷 书号ISBN9787-5022-75723 定价28.00元 网址http://www.aepcom.cn E-mail:atomep123@126.com 发行电话:010468452845 版权所有侵权必究 郑重声明 买正版图书听精品课程 文都考研数学独家师资汤家风老师主编的《全国硕士研究生招生 考试线性代数辅导讲义》《全国硕士研究生招生考试高等数学辅导讲 义》等系列图书因其独特的编写切入点以及对学科命题特点的独到把 握而深受广大考生欢迎。 但当前某些机构和个人非法盗印汤家凤老师的图书,这类图书印 制质量差,错误百出,不仅使考生蒙受金钱与精力的损失,而且误导考 生,甚至毁掉考生的研究生考试前程。 为了保障考生、作者及出版社等多方的利益,文都教育特发如下郑 重声明: 1.对制作、销售盗版图书的网店、个人,一经发现,文都教育将严厉 追究其法律责任; 2.凡文都图书代理商、合作单位参与制作、销售盗版图书的,立即 取消其代理、合作资格,并依法追究其法律和相关经济责任; 3.对为打击盗版图书提供重要线索、证据者,文都图书事业部将给 予奖励;若举报者为参加考研的考生,文都图书事业部将免费提供考研 图书资料和考前预测试卷; 4.全国各地举报电话:010-88820419,13488713672 电子邮箱:touse@wendu.com 为方便考生使用考研数学系列正版图书,特提供网上增值服务,考生登 录文都教育在线(www.wenducom)可听取汤家凤老师的精品课程。 中国原子能出版社 世纪文都教育科技集团股份有限公司 授权律师:北京市安诺律师事务所 刘岩 2016年9月 前言 数学是全国硕士研究生招生考试工程类和经济类考生必考的一门课程,且数 学课程分值为150分,与专业课的分值相同,数学考试的成败直接关系到整个考 试的成败,而高等数学是数学试卷中分值最大的一门课程,其中高等数学在数学 数学三试卷中的分值为82分,占总分的56%,在数学二试卷中的分值为116 分,占总分的78%,所以高等数学的复习是整个考研数学复习的重中之重。 高等数学所涉及的内容非常多,知识体系系统性非常强,题型多,方法技巧性 高,很多同学虽然在复习高等数学上花费了大量的时间,但收效甚微,甚至对数学 产生惧怕心理。高等数学的复习要有正确的方法,抓好复习的几个关键环节,系 统全面掌握高等数学的理论体系和方法体系,善于归纳和总结,通过努力可以很 好地掌握这门课程。本书是根据作者二十来年考研数学辅导的心得和教案精心 总结而成的,使理论更加系统化、通俗化,便于掌握和记忆,对题型和方法进行了 全面总结和概括。认真阅读此书,可使考生分析问题、解决问题的能力得到大幅 度提高,尽快进入最佳学习状态,达到事半功倍的复习效果。 本书的特点有: 1.每章给出考查要求,便于大家了解各个知识点的考查范围和要求达到的 程度。 2.对每章的基本理论都给出了系统的归纳和总结,理论部分包括基本概念、 基本原理、基本公式,同时配备基础题,以加强对所学知识和原理的理解,对重要 的原理给出了新的理论证明,对需要重点掌握的知识点给出了延伸解读。 3.重点题型讲解部分给出每个部分的基本题型和综合题型,通过重点题型的 掌握使大家对考查的重点和形式有非常深入的了解,更加适应考试要求,尤其重 要的是,重点题型部分给出了很多带新视角的新题型,很多新的题型在过去的考 试过程中也被证明是命题者思考的方向。 本书适用于数学一、数学二、数学三,并对不同数学种类考试内容不同的部分 给出了说明。 本书作者在若干年教学过程中,借鉴和参考了若干国内外的优秀著作,得到 很多的收获和启发,在此作者对这些书的作者表示衷心感谢! 由于作者的水平有限,教学过程中及本书中仍然有很多地方需要改进和提 高,恳请读者和广大同仁提出宝贵的批评和建议。 汤家凤 2016年9月于南京 目录 第一章极限与连续· ·;s·······s..············································ 第一节函数 ··●·●·a.·●····p申●看·a·.·······鲁··。.·鲁····· 第二节极限 第三节连续与间断 重点题型讲解 13 题型一极限的概念与性质… ··。·····。·命···..·······音自 13 题型二不定型极限的计算问題 14 题型三n项和或积的极服计算 18 题型四极限存在性问題………………………20 题型五含参数的极限问题… ●·。。鲁。·非·垂 自着着鲁 21 题型六中值定理法求极限问题 22 题型七含变积分限的函数极限问题 ∴23 题型八间断点及其分类 24 题型九闭区间上连续函数性质 第二章导数与微分…… ●·●。●·●●●··。·●···。.· ·“·····.·················· 26 第一节导数与微分的基本概念… 26 第二节求导公式与法则 …28 第三节隐函数与反函数的求导 重点题型讲解 31 题型一导数与微分的基本概念… 31 题型二基本求导类型… 34 题型三导数的几何应用 …38 题型四高阶导数 第三章一元函数微分学的应用 …41 第一节中值定理 …∴…………………………………41 第二节单调性与极值、凹凸性与拐点、函数作图 44 重点题型讲解 ∴…47 题型一证明f()=0 题型二待证结论中只有一个中值,不含其他字母… 题型三结论中含台,含a,b… ∴52 题型四结论中含两个或两个以上中值的问题 54 题型五中值定理中关于θ的问题 题型六拉格朗日中值定理的两种惯性思维 58 题型七泰勒公式的常规证明问题…… .·······●·●····.··●········。●●●··。aa●●a● …59 题型八二阶导数保号性问题 ···········音····●······●··●··非;音·●●●●····s。a··a。a· 61 题型九不等式证明 62 题型十函数的零点或方程根的个数问题… 题型十一函数的单调性与极值、渐近线… 67 第四章不定积分………………………………………70 第一节不定积分的概念与基本性质 ……………………………70 第二节不定积分基本公式与积分法 71 第三节两类重要函数的不定积分 一有理函数与三角有理函数(数学三不要求)…… 重点题型讲解 ●····●·············着······●·····a●·············a·。a●;。●;··s.·a·自●a命·命●··非 75 题型一不定积分的基本概念与性质 题型二换元积分法 55 题型三分部积分法 ················a····· 题型四两类特殊函数的不定积分 有理函数与三角有理函数的不定积分(数学三不要求)… ·鲁自自·●●●●●●·●● 题型五分段函数的积分…… …82 题型六综合型不定积分(数学三不要求) ……82 第五章定积分及其应用 84 第一节定积分的概念与基本性质 …………………84 第二节基本理论∴ ……87 第三节广义积分…… 第四节定积分的应用 92 重点题型讲解 ●·鲁·●·········。···················。·.··●·······。·非。百 95 题型一定积分的概念与性质…………………………………95 题型二变积分限的函数问题 ●······●··●●。鲁●●·●···。·自·●·。·● 题型三定积分的计算… 98 题型四定积分的证明… 101 题型五广义积分… ●·鲁。自D。。●。。 109 题型六定积分的应用……………………………………110 第六章多元函数微分学… 113 第一节多元函数微分学的基本概念… 第二节多元函数基本理论……………………116 第三节多元函数微分学的应用………………121 第四节多元函数微分学的物理与几何应用(数学二、三不要求) 122 重点题型讲解… ·●自·●·●·●·鲁●。●●● 题型一多元函数极限、连续、可偏导、可微等基本概念的问题 ·●自鲁·鲁·●●鲁●●非 ……123 题型二各种偏导数求法 …………………………………125 题型三求偏导的反问题 ……129 题型四偏导数的代数应用 ·.。●·●·.鲁●·看 ∴…129 题型五多元函数微分学在几何上的应用(数学二、三不要求)… 131 题型六场论的概念(数学二、三不要求) .··s·。···.;··············.···· 132 第七章微分方程 ● ·······。..········..···················· 133 第一节微分方程的基本概念… 133 第二节一阶微分方程的种类及解法 133 第三节可降阶的高阶微分方程(数学三不要求) ●。·●a4·。··非命··.·..·······a·· 136 第四节高阶微分方程… 137 重点题型讲解…… 命。·s·s·························..··●····· 139 题型一微分方程的基本概念与性质 139 题型二一阶微分方程的求解… …140 题型三非特定类型微分方程或变换下微分方程的求解…………………141 题型四可降阶的高阶微分方程求解(数学三不要求)… 题型五高阶线性微分方程求解… ●●··.·。音.普。··.·.·音 143 题型六微分方程的应用 b嘉。。。·。● 144 题型七欧拉方程求解(数学二、三不要求)… …146 第八章重积分 …147 第一节二重积分…………………………………………………………147 第二节三重积分(数学二、三不要求) ●······音非··●···身 152 二重积分重点题型讲解… 非●。垂·●。●鲁番鲁。。●·看··看 55 题型一二重积分的概念与性质 155 题型二改变积分次序……………………………………157 题型三二重积分的计算………………………………159 题型四二重积分的综合问题… 164 题型五二重积分的应用(数学二、三不要求) …165 三重积分重点题型讲解(数学二、三不要求) ∴…………166 题型一三重积分的计算 ∴……166 题型二三重积分的应用… ●●··番·。··。●;···吾····音·.··,·······● ……167 第九章级数(数学二不要求)……… 68 第一节常数项级数 168 第二节幂级数……………………176 第三节傅里叶级数(数学三不要求) 180 重点题型讲解… 。。。●鲁。。·4·非 182 题型一常数项级数的基本性质与敛散性判断 182 题型二常数项级数敛散性证明… …185 题型三幂级数的收敛半径与收敛城 187 题型四函数展开成幂级数 …187 题型五幕级数的和函数 ······鲁命·。···,.·垂·····D·.4b· 189 题型六特殊常数项级数求和… ·············.········.:··o···垂 193 题型七傅里叶级数(数学三不要求) ………………………………194 第十章空间解析几何(数学二、三不要求) …195 第一节空间解析几何的理论 …195 第二节向量的应用 …197 重点题型讲解 ·····鲁·········办·非。·.··。●·· …201 题型一向蚤的运算与性质……………………………201 题型二平面方程… ·······音鲁····。········;。。s。·.。·●●··。· 01 题型三直线方程… ………………………202 题型四距离与夹角 ………………………203 题型五旋转曲面 ……204 第十一章曲线积分与曲面积分(数学二、三不要求) ……………205 第一节曲线积分 ············.···················.··.·········a;。··d·;ss·aa.a 205 第二节曲面积分 ………………211 第三节场论初步 b办 216 重点题型讲解… ………·217 题型一对弧长的曲线积分… ……217 题型二二维空间对坐标的曲线积分 ●●··。.垂看● 217 题型三三维空间对坐标的曲线积分… 221 题型四对坐标的曲线积分的应用 ..·······················.······。.··s··。 223 题型五对面积的曲面积分 224 题型六对坐标的曲面积分 ………225 题型七场论初步… ……228 第十二章数学的经济应用(数学一、二不要求) 229 第一节差分方程 ····●··············.·..··········。.。.···t··. 229 第二节边际与弹性… ············..···.·········..·····●· 230 第三节现值与利息… 231 4