概率论_复旦第二版_应坚刚、何萍_带书签

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概率论 (第二版) 应坚刚何萍缩著 层 博学·数学系列 轴人出版社 www.fudanpress.comcn △ 数据加载失败,请稍后重试! 第二版前言 讲一门课,写一本教材,首先思考的是选取什么内容我作为概率论的专业教 师,自工作以来一直教概率论这门课,送走了一届又一届的学生,但是每次上课的 时候还是不由自主地考虑这门课应该包括哪些内容以及怎么讲这些内容,所以从 第一版出版后,讲义还是在不断地修改补充删减,力求让教材更贴合我对大学概 率论课程的理解.虽然每次改动都不大,但这么多年过去,积少成多,感觉到了该 出一个新版本的时候了 学生在概率论这门课程上主要要学些什么?首先,我们将讲一些直观经典的 例子,以让读者来感受什么是随机现象,什么是概率,也就是说了解这门学科的 背景,这有助于读者理解这门课程为什么要这样来展开.概率论在17世纪中叶产 生到20世纪初建立公理体系而真正成为一个数学分支,经过了约250年历史,在这 段时间里,概率论可以说是自由发展着,每个人都感觉着概率论直观的一面而把 它记录下来,已经积累了丰富的内容.除了古典概率外,还知道各种分布,比如二 项分布、 Poisson分布、几何分布、均匀分布、正态分布、指数分布等现在教科 书上必讲的经典分布,也知道它们怎么作为数学模型用在一些具体的问题上,当 然也知道分布的一些基本的数字特征,比如数学期望和方差、相关系数等,也知 道随机变量独立性应该怎么来描述或者它直观上是什么意思.令人惊讶的是,早 在1713年, Bernoulli航知道频率会趋于概率的称之为大数定律的重要思想,这是 大样本统计学的基石;同样令人惊讶的是在1730年, De moivre进一步精细化了 大数定律,证明了二项分布中心化后的分布趋于正态分布,发现了概率论中最重 要的分布.以上这些内容是每个学完大学概率论的学生应该了解的基本知识 在了解了这些基本知识之后,真正对数学感兴趣的学生必然想要弄清楚这个 学科的理论体系,想要弄清楚每个直观陈述背后的数学含义和逻辑体系,因此我 们将同时介绍概率论的公理体系,让学生们知道尽管概率论本身研究随机现象, 但作为数学的分支,概率论有严密的公理和逻辑作为基础,是一个确定的严格意 义上的学科,没有任何含糊的地方,它能够比较恰当地解释某些随机现象并对实 际的问题有一定的指导意义.读者应该记住,数学通常只是把实际问题简单化,抽 象化,最完美的数学模型也不能完全重现实际问题,换句话说,实际世界和数学模 型之间还有遥远的距离.公理化之后,概率论的研究对象就是概率空间和随机变 量及其分布.这些研究对象都有很好的实际背景,但是其数学意义是来自公理体 系和逻辑推理的,直觉可以帮助解决数学问题,但不能作为解决数学问题的依据 随后我们将介绍概率论中最重要的一些分布类型,它们就如同数学分析中重要的 函数类型一样,概率论中最重要的独立性和条件概率也会在数学上给予定义.接 着,我们会介绍概率研究中的一些数学方法,比如随机序列的收敛性与分布列的 弱收敛性,然后我们就可以理解概率论中最早也是最重要的一个定理: Bernoulli 大数定律,它算是概率这个概念的直观意义所在,也是随机现象中最重要的一个 规律.在这里,我们还补充了作为大数定律序列中最重要的 Kolmogorov强大数定 律及其证明,其方法漂亮得令人惊叹.最后,为了证明概率论另外一个重要定理 中心极限定理,我们详细介绍了分析中的最常用,最重要的方法:特征函数方法 这个方法本身没有多少概率气息,但它在概率论研究中的作用是不可替代的.最 后一章比较抽象,是为概率论理论研究准备的,教师可以视课时和学生情况决定 是否讲授 当然以上两部分内容并不是完全分裂的,在这一版教材中也是交错在一起的 总体说来,本次修订相对于上一版还是有较大的改动,章节的编排和顺序都有所 改变,但是基本的结构内容并没有太多变化.我们把单调类方法和条件数学期望 合在一起把它放在最后一章,这个内容对于读者进一步学习随机过程和随机分析 是绝对重要的.加星号的补充内容不在大纲或者考试范围之内,有兴趣的学生可 以选择阅读.加星号的习题也是相对比较难的.另外参考书目中添加了王梓坤先 生不久前再版的经典教材[13,它也是我大学学概率论时使用的教材,印象深刻」 如果对概率论理论感兴趣且想进一步学习测度化概率论,随机过程和随机分析, 那么可以参考汪嘉冈教授的教材(14和我与合作者编写的研究生教材[15 从课时安排看,本教材的总课时是48个,第一章初等概率论约6个课时,第二 章随机变量及其分布约3个课时,第三章条件概率全概率公式约4个课时,第四章 数学期望内容较多,约需要7个课时,第五第六两章一维与多维随机变量以及常用 分布约10个课时,第七章三种收敛性约4个课时,第八章特征函数约4个课时,第九 章中心极限定理约2个课时,第十章单调类方法独立随机序列存在性与条件期望 约8个课时 尽管讲义着重的是理论,但更重要的是直觉,因为理论可以传承,直觉却只能 自己感悟.本讲义在复旦大学作为数学专业概率论课的教材已经使用多年,虽经 不断的修改补充,但一定还会有错误或者不妥之处,望读者见谅 应坚刚12/21/2013 于南京雍园时光青旅 补充1:感谢本院2013级学生王博文和吴佩学,他们仔细阅读了讲义并提醒 我改正了讲义中的许多错误 补充2:感谢复旦大学出版社编辑范仁梅女士和陆俊杰先生仔细阅读并改正 许多文字表达的错误,为本书新版的出版提供帮助 第一版前言 概率论是大学数学各专业的必修课,作者讲授概率课程多年,选用过多种不 同的概率论教材,但经常有学生反映为他们讲授的概率论不像是数学,作为教师, 我们在教授时也有同样的感觉,因为其中常常有许多概念不能严格地定义,许多 结果不能严格地证明,原因是严格地定义和证明需要测度论的语言,而测度论的 体系又不可能在概率论课程中详细介绍,这促使作者尝试编写现在这本教材,努 力用最简单的语言讲清楚每个概念和严格证明每个结果 本教材分两章,第一章讲授概率空间和数学期望的公理体系与基本理论,大 多数涉及的例子都是离散的和古典的,所用的方法是初等的.第二章讲授连续型 随机变量和分布理论,介绍了收敛的概念及其性质、特征函数及其应用,还简单 介绍了大数定律与中心极限定理.整个内容除了假设均匀分布的存在性外,所涉 及的每个结果都有严格的证明.除最后一节介绍特征函数的内容时需要应用一些 简单的复变函数知识,阅读本教材所需的知识限制在数学分析和线性代数的范围 内,但很好的数学素养会对理解有很大的帮助.我们在编写过程中遵循的宗旨是 简明扼要,期望学生在理解概率的直观与历史背景的同时认识到概率论是严密数 学理论的一个分支.书中还讲述了大量直观的经典例子,它们是教材的重要组成 部分,期望读者通过这些例子来理解概率论的方法.如果读者对经典的概率问题 感兴趣,可以进一步阅读 Feller5l,从直觉和理论两方面来说这都是一部极其经 典的概率参考书教材,较新的(6也是不错的参考书.如果读者对概率的数学理论 有兴趣, Billingsley是一个很好的开始 概率论是历史悠久且直观背景很强的领域,但它成为数学的一个分支却还不 到百年的历史.概率论的严格公理体系是建立在测度论上的,而测度论不能很好 体现概率生动而直观的一面,因此教师在讲授概率论和编写概率论教材时,常常 会陷入注重严格的逻辑体系或者注重直观背景这样两难的选择.本教材的编写过 程也是如此,虽然我们非常努力地尝试把两者自然地连接起来,取得我们所理解 的某种意义上的平衡,但是否能达成这一目标依然需要实践的检验.本教材曾作 为复旦大学数学系三年级第一学期部分专业每周4学时概率论课程的讲义试用过, 反响良好.本教材不是一本通用教材,希望它的特色适用于那些对概率的数学理 论感兴趣的读者,以帮助他们更好地理解概率论.我们要感谢复旦大学数学系,他 们在基金资助和课程安排方面的鼎力支持对于完成教材的编写是至关重要的;感 谢复旦大学出版社的范仁梅女士为本书顺利出版提供的帮助 应坚刚复旦大学 何萍上海财经大学 目录 第二版前言 第一版前言 第一章初等概率论 1.1概率简史 1.2计数 1136 1.3古典概率问题 1.4几何概率问题 21 1.5随机取个自然数(*) 23 第二章概率空间与随机变量 31 21集合 31 2.2概率空间 32 2.3随机变量与分布 第三章条件概率与全概率公式 51 3.1独立性 51 3.2条件概率 55 33全概率公式与 Bayes公式 第四章数学期望 68 41期望的定义和性质 42期望的计算公式 75 4.3方差及其不等式 79 44常见分布的期望 0 4.5大数定律 第五章连续型随机变量 93 5.1可测性 93

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