平面向量是高中数学中的重要概念，涉及到向量的夹角、数量积以及它们在几何问题中的应用。这里我们将深入探讨这些知识点。
向量的夹角是两个非零向量之间的角度，通常用θ表示。根据定义，向量a和b的夹角θ的取值范围是0°到180°。当两向量同向时，夹角θ为0°；反向时，夹角θ为180°。若两向量垂直，即它们的夹角为90°，记作a⊥b。
平面向量的数量积，也称为点积或内积，是向量a和b的一种运算，它结合了向量的长度和方向信息。对于两个非零向量a=(x1, y1)和b=(x2, y2)，它们的数量积定义为a·b=x1x2+y1y2。数量积具有交换律，即a·b=b·a，并且满足分配律，如(λa)·b=λ(a·b)和(a+b)·c=a·c+b·c。此外，向量a在向量b方向上的投影等于|a|cosθ，其中θ是a和b的夹角。
数量积的几何意义是向量a的长度|a|与向量b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积。由此，我们可以计算两个向量的夹角，公式为cosθ=a·b/|a||b|。如果a·b=0，那么a和b垂直，反之亦然。此外，数量积的绝对值|a·b|小于等于向量a和b的模的乘积，即|a·b|≤|a||b|。
证明两个向量a和b平行的充分必要条件是a·b=±|a||b|。这是因为平行意味着它们的夹角为0°或180°，对应的cosθ为1或-1。
利用向量的方法解决几何问题通常包括三个步骤：建立几何图形与向量之间的联系，用向量表示几何元素，然后通过向量运算研究几何关系。
在实际问题中，例如高考题型，我们可以运用这些知识来解决夹角计算、向量垂直和平行的判断，以及向量表达式的求解。例如，题目中给出的向量a和b的模长和数量积，可以用来计算它们的夹角。同样，通过计算a·(b·c)或(2a－b)·b，我们可以找到特定数值或者判断向量是否垂直。
平面向量的数量积是高中数学中的核心内容，它不仅用于计算向量间的夹角，还广泛应用于几何问题的求解。熟练掌握这一部分知识，对于理解和解决复杂几何问题至关重要。
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