随机变量数字特征 数学期望方差与标准差协方差与相关系数矩条件数学期望
在概率论和统计学中，随机变量的数字特征是研究随机变量的重要方面。数学期望、方差、协方差和相关系数是随机变量的四个重要数字特征。
1. 数学期望（Expected Value）
数学期望是随机变量的一个重要数字特征，表示随机变量的平均值。对于离散型随机变量，数学期望可以用公式E(X) = ∑[xP(x)]表示，其中x是随机变量的可能取值，P(x)是x的概率。
例如，对于一个射手的水平，用打出的环数来记，其分布列为：
| 环数 | 概率 |
| --- | --- |
| 1 | 0.1 |
| 2 | 0.3 |
| 3 | 0.4 |
| 4 | 0.2 |
| 5 | 0.1 |
那么，射手的平均环数可以用数学期望来计算，即E(X) = 1×0.1 + 2×0.3 + 3×0.4 + 4×0.2 + 5×0.1 = 2.7。
2. 方差（Variance）
方差是随机变量的另一个重要数字特征，表示随机变量的离散程度。方差可以用公式Var(X) = E[(X - E(X))^2]表示，其中E(X)是数学期望。
例如，对于一个射手的水平，用打出的环数来记，其分布列为：
| 环数 | 概率 |
| --- | --- |
| 1 | 0.1 |
| 2 | 0.3 |
| 3 | 0.4 |
| 4 | 0.2 |
| 5 | 0.1 |
那么，射手的方差可以用公式计算，即Var(X) = [(1-2.7)^2×0.1 + (2-2.7)^2×0.3 + (3-2.7)^2×0.4 + (4-2.7)^2×0.2 + (5-2.7)^2×0.1] = 2.09。
3. 标准差（Standard Deviation）
标准差是方差的平方根，表示随机变量的离散程度。标准差可以用公式σ = √Var(X)表示。
例如，对于一个射手的水平，用打出的环数来记，其分布列为：
| 环数 | 概率 |
| --- | --- |
| 1 | 0.1 |
| 2 | 0.3 |
| 3 | 0.4 |
| 4 | 0.2 |
| 5 | 0.1 |
那么，射手的标准差可以用公式计算，即σ = √2.09 = 1.45。
4. 协方差（Covariance）
协方差是两个随机变量之间的线性关系程度。协方差可以用公式Cov(X,Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))]表示。
例如，对于两个射手的水平，用打出的环数来记，其分布列为：
| 环数 | 概率 |
| --- | --- |
| 1 | 0.1 |
| 2 | 0.3 |
| 3 | 0.4 |
| 4 | 0.2 |
| 5 | 0.1 |
那么，两个射手的协方差可以用公式计算，即Cov(X,Y) = [(1-2.7)(1-2.7)×0.1 + (2-2.7)(2-2.7)×0.3 + (3-2.7)(3-2.7)×0.4 + (4-2.7)(4-2.7)×0.2 + (5-2.7)(5-2.7)×0.1] = 1.51。
5. 相关系数（Correlation Coefficient）
相关系数是两个随机变量之间的线性关系程度。相关系数可以用公式ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / (σ_X * σ_Y)表示。
例如，对于两个射手的水平，用打出的环数来记，其分布列为：
| 环数 | 概率 |
| --- | --- |
| 1 | 0.1 |
| 2 | 0.3 |
| 3 | 0.4 |
| 4 | 0.2 |
| 5 | 0.1 |
那么，两个射手的相关系数可以用公式计算，即ρ(X,Y) = 1.51 / (√2.09 * √2.09) = 0.71。
随机变量的数字特征是研究随机变量的重要方面，数学期望、方差、协方差和相关系数是随机变量的四个重要数字特征。
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