矩阵论千题习题解答，非常好的教材题解，清晰度很高，推荐给大家
Ⅳ>矩阵论千题习题详解 附录模拟考试自测题(共15套)……… 256 白测题一 ·····….······中 ……………256 白测题二∴ 261 自测题三 264 自测题四………………………………………………………………………………267 自测题五……………………………………………………………………………272 自测题六…… …275 白测题七……………………………………………………………………………278 测题八…………………………………………………………………………………282 自测题九 ……………286 自测题十 自测题十 ……294 自测题十二… ……分 白测题十三… …302 自测题十四 308 白测题十五…………………………………………………………………………311 第 章 矩阵的几何理论 习题1(1) 1.有没有一个向量的线性空间,有没有两个向量的线性空间,有没有m个向量的线性 空间? 解除了由一个零向量构成的集合{6}可以构成线性空间外,没有两个和有限(m)个向 量构成的线性空间,因为数乘不封闭(k有无限多个,k∈P数域) 2.在几何空间R3中,按通常的向量加法和数乘的运算,下列集合是否是实数域R上的 线件空间? (1)过原点的平面H上的所有向量集合; (2)位于第一象限,以原点为始点的向量集合; (3)位于第一、三象限,以原点为始点的向量集合; (4)x轴上的向量集合; (5)平面H上,不平行于某向量的集合 解(1)是;(2)不是,因为没有负向量;(3)不是,因为存在两向量的和向量处在第二或 第四象限,即加法不封闭;(4)是;(5)不是,因为存在两个不平行某向量的和却平行于某向 量,即加法不封闭 3.按通常的数的加法和数乘,下列数集是否构成有理数域Q上的线性空间?是否构成 实数域R上的线性空间? (1)整数集Z;(2)有理数集Q;(3)实数集R:(4)复数集C:(5)单个数的集合{0};(6)n 个数的集合N={a1,a2,…,an} 解(1)不是,因为当k∈Q或R时,数乘kα不封闭;(2)有理域上是,实数域上不是,因 为当k∈R时,数乘kx不封闭;(3)是;(4)是;(5)是;(6)不是,因为加法与数乘均不封闭 4.齐次线性方程组 2.x1+.x2+xg+x4=0 +2x2+x3+ 的全部解是否构成线性空间? 解是,因为全部解即为通解集合,它由基础解系列向量乘以相应常数组成,显然对解 的加法与数乘运算满足两个封闭性和八条公理 2>矩阵论千题习遐详解 5.在n维向量空间P中,下列n维向量的集合V,是否构成数域P上的线性空间? (1)V=(a,b,a,b,…,a,b)a,b∈P} 2)V 解(1)是线性空间;(2)不是线性空间(加法不封闭;或因无零向量) 6.检验以下集合对于矩阵的加法和实数与矩阵的乘法,是否构成实数域上的线性空间? (1)n阶实数矩阵A的实系数多项式的全体; (2)n阶实对称(或上三角)矩阵的全体; (3)形如 的二阶方阵的全体 解(1)设A的实系数多项式f(A)的全体为 f(A)=aI+a1A+…+amA|a;∈R,m为正整数} 显然,它满足两个封闭性和八条公理,故是线性空间 (2)与(3)也都是线性空间 7.设V={x|x=c1sint+c2sin2t+…+ Casing,c;∈R,0≤t≤2x},V中元素对于通常 三角多项式的加法和数乘运算,是否构成实数域上的线性空间?并证明{sint,sin2t,…, sinn!}是V的一组基,试提出确定c的方法 解是线性空间.不难验证sint,sin2t,…, sinn是线性无关的,且任一个形如题中的三 角多项式都可由它们唯一地线性表示,所以它们是V中的一个组基.由高等数学中傅里叶 Fourier系数知,=1「:sid 7T Jo 8.设Ⅴ是有序实数对的集合:V={(a,b)a,b∈R},规定如下的加法与数乘运算 (1)(a, b)(e,d)=(a+c,b+d)5 ko(a, b)=(ka,b) (2)(a,b)①(c,d)=(a,b)与k(a,b)=(ka,); (3)(a,b)(e, d)=(a+c, btd)5 ko(a, b)=(k2ak2b (4)(a,b)(c,d)=(a+e,b++ac)与k(a,b)=(ka,b/(k-1 那么.V关于运算⊕,是否构成E上的线性空间? 解(1)不是,因为性质(6)不成立:设r=1,s=2,a=(3,4),则(r+s)o(3,4)=(9,4), 而r(3,4)s(3.4)=(3,4)(6,4)=(9,8),所以(r+)°ax≠r°asam (2)不是,因为性质(1)不成立:设a=(1,2),=(3,4),则a○B=(1,2)(3,4)=(1, 2)Ba=(3,4)④(1,2)=(3,4),所以α⊕β≠Ba (3)不是,因为性质(5)不成立:设r=1,s=2,g=(3,4),则(r+s)g=3o(3,4)=(27 6),而 r°aGs。g=1。(3,4)分2。(3,4)=(3,4)(12,16)=(15,20) 于是(r+s)a≠r°a○sa (4)是 9.证明:线性空间定义中,加法的交换率a+/=Ba不是独立的,即它可由其余7条 公理推出 第1章矩阵的几何理论 证明若a,B∈V,则 2(a+阝)=20+2B=(1+1)+(1+1)阝=(1a+10)+(1阝+1B =(a+ax)+(B+β)=a+(a+B)+β 另一方面,2(a+B)=(1+1)(a+B)=(1a+1B)+1(a+) (a+B)+(a+B)=a+(p-a)+F 因此 a+(a+p)十卩=a+(p+a)+ 从而有 (-a)+a-(a+阝)+阝+(-B)=(-a)+a-(阝+a)十+(-B 于是得ax+阝=B+a 10.求线性方程组 9 的解空间V的维数与基 解先求齐次方程组的基础解系 5=(3,3,2,0) 即为解空间V的一组基,所以dimV=2. 11.证明:x2+x,x2-x,x+1是线性空间P[x]2的基,并求出2x2+7x+3在此基 下的坐标 解考察齐次式 k1(x2-x)+k2(x3-x)+k3(x+1)=0 (k1+k2)x2+(k1一k,+k3)x+k3=0 得线性方程组 k1+k2=0 k1-k2+k3=0 由于系数行列式不等于零,那么只有k1=k2=k3=0时,上述齐次式才成立,所以x2-x, x2-xx+1线性无关,且任二次多项式ax2+bx-c都可唯一地用它们来表示(因为相应的 非齐次方程组有唯一解),故为基 +7x+3=(k1-k2)x2-(k1-k2+k3)x+k 得k1=3,k2=-1,k3=3,即坐标为(3,-1,3) 12.在R中有两组基 1 (0,1,C,0) ax3=(0),(0,1.0),a1=(0,C,C,1) 阝1=(2,1,-1,1),卩2=(C,3,1,0) :=(5,3,2,1),=6,6,1,3) 4>矩阵论千题习懸详解 (1)求由基a1,a2,30x4到基B1,B2,B2,B1的过渡矩阵; (2)求向量a=(,2,5,4)在基阝,,34下的坐标; 3)求对两组基有相同坐标的非零向量 解(1)因(历阝2B,1)=(a1,2,ax3,a:)C,所以 10( 2( C=(a1,a,3,.)-1(0,,B,)≈/0100 1336 0)010 1121 000 013 205 1121 1013 (2)显然,向量a在基a1,m2,3,m1下的坐标为X一(,点,点,),设a在基B1,B2B3, 1下的坐标为Y=(,m,,列),则 5321 6 Y= C 41 =BX 26 27 (3)如果X=Y,则有X=BX,即得齐次方程组(I一B)X=0,求得非零解为 X=k(-1,-1,-1,1),k∈R,即为所求 13.求下列线性空间的维数与一组基: (1)第6题(2)中的空间; (2)教材例1.1.5中的空间R+; (3)实数域R上由矩阵A的实系数多项式的全体组成的空间,其中 1+/3i A ,c2=a l 00a 解(1)对k=1,2.…n;l=k,k+1,…,n,令Fk=(a)nx,其中aA=1.其余的ti 0.则{F}为上三角矩阵空间的一组基,维数为n(n+1). (2)R+中任意非零元素都可作R+的基,dimR+=1. (3)I,A,A2为所述线性空间的一组基,其维数为3 第1章矩阵的几何理论 14.设线性空间V的基(I)ax1,m2,a3,a4和基(Ⅱ,,,B满足 a+202=队 x2+20:1=阝1 阝1+2B2=x B2+2B3 (1)求由基(Ⅰ)变到基(Ⅱ)的过渡矩阵; (2)求向量a=2月-2+B3+4在基(I)下的坐标; (3)判断是否存在非零元素∝∈V,使得α在基(Ⅰ)和基(Ⅱ)下的坐标相同 解(1)由已知关系式求得 B1=4a1+8a2-a-2a4 阝2 B 3 a3 4-210 于是,由基(I)到基(Ⅱ)的过渡矩阵为C (2)g在基()下的坐标为(2,-1,1,1),冉由坐标变换公式计算g在基(⊥)下的坐 标为 C(2,-1,1,1)=(11,23,4,-5) (3)不难计算得det(1·Ⅰ-C)-0,所以1是C的特征值.不妨取过渡矩阵C的对应于 特征值1的一个特征向量为,则有Cn=1·,那么a=(B1B2B3B1)≠0,再由坐标变换 公式知a在基()下的坐标为=C=n,即存在非零∈V,使得a在基(I)和基(Ⅱ)下 有相同的坐标 15.在R中,求由基(I): C 21 A,= 到基(Ⅱ) B 10. 的过渡矩阵 解不难看出,由简单基E1,E12,E21,E22改变为基(Ⅰ)和基(Ⅱ)的过渡矩阵分别为 C,= 0111 则有 (B1,B2,B3,B1)=(E1,E2,E21,E2)C2=(A1,A2,A3,A4,)C1C2 故由基(I)改变到基(Ⅱ)的过渡矩阵为 6>矩阵论千题习题详解 0)0 C=CC2= 0)00 16.设P_x]3的两基为 I):f1(x)=1, f2 f3(x)=1-x+ f4(x)=1+x+x2-x3 (Ⅱ):g1(x) g2(x)=x+x2-x3, g3(x)=1-x+x2, g4(x)=1+x+x3 (1)求由基(I)到基(Ⅱ)的过渡矩阵 (2)求P_x]中在基(I)和基(Ⅱ)下有相同坐标的仝体多项式 解(1)由简单基1,x,x2,3改变到基(I)和基(Ⅱ)的过渡矩阵为 111 0111 故由基(I)改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵为 10 1001 001 110 (2)设f(x)∈PLx3在基(I)和基(Ⅱ)下的坐标分别为a=(51,23,5),B=(n 7,和),则有a=C卩且a=,即有(IC)阝=0,该齐次方程组的通解为阝=k(0,C,1 0),k∈R.丁是,在基(I)和基(Ⅱ)下有相同坐标的全体多项式为 f(x)=(g1(), g2(x), 3(),()B=kg3()=k+kx + kx 17.设非齐次线性方程组AX=b有解,其通解表达式为 +k1a1-k2a2+…+k 其中k1,k2……,k-为任意数.试证:向量组ξ,ξ|a1,兰|a2,…|an-是方程组AX=b所 有解的极大线性无关组,但是AX=b的所有解集合不构成线性空间 证明首先按照定义证明,5+a1·2+α2…2+αn-是方程组AX=b所有解的极大 无关组 事实上,令 十A1(2+a1) An(2+an)=0 (A2+A1+…+An+)号-A10x1-…+ Arar=0 (3+A1+…+Ax)4+A1Aa1+…+An4axn=0 由于Aa;=0,A2=b,可得 十A1+…一An=, 再由b≠0,有 第1章矩阵的几何理论 0+A1 将②式代入①式得 A1a1+A202+……十An,Cn,=0 因∝1,α2∴…,an-,是AX=0的基础解系,所以a1,ax2∴…,an-线性无关,故有A1=k2=…=入n-=0 代入②式可得A=0,从而说明ξ,+a1,…,+∝n线性无关 另一方面,设卩为AX=b的解,则 阝=5+k10x1+k20x2+…+kn,0n (1-k1 k)号+k1(-ax1)+…十knx(号+axn) 这表明B可由,+ax1,…,+an线性表示,因此ξ,+a1,…,-axn-是AX=b解集合的 极大无关组 由于AX-b的解之和、解的常数倍都不是AX-b的解,这说明AX-b的解集合对加法 与数乘不封闭,所以它不构成线性空间 本题结论说明,一个无限多个向量的集合可以有极大无关组,但此集合并不一定构成线 性空间.线性空间的基一定是极大线性无关组,但一个极大线性无关组(即使是无限多个向 量集合中的极大线性无关组)并不一定是基.换言之,极大线性无关组与基的概念并不等价 18.证明线性空间的替换定理:设J-{ax1,a2,…,ax}与K-{B1,B2,…B}是n维线性 空间V的两个向量组,其中J线性无关,如果每个;∈J都可由K线性表示,则s≤,且可 将K中的某s个向量换成a1,ax2,…,a,使得新的向量组生成的子空间与K生成的子空间 相同 证明设:-a1B1+…+a2,1≤t≤,则 (m1,…,a1)=(阝1,…,)A(即J=K4) 其中A=(a#)x,∈P,由于J线性无关,故Jx=0只有零解,即KAx=0,从而Ax=0只有 零解,因此s≤t. 进一步,考虑集合L={m,…α1·B,…).在L中按顺序删除前s个与a1,…,a,线性 相关的阝即可使得新的向量组生成的子空间与K生成的子空间相同 19.证明有限维线性空间的任意两个基所含向量的个数相同 证明由两个基可以互相线性表示,故本题结论由上题可得. 20.求出教材中例1.1.5所述线性空间R+的一个基与维数 解首先注意到R+中的单位元为1,任取r∈R+,且r≠0设ka=1,那么a=1,于是 k=C.再任取s∈R,设s=r=r2,可得!=lg.这表明R中任何一个非零数都可以作为 R+的基,从而其维数为1. 21.求下列线性空间的基及维数 (1)V1={a=(x1,x2,x3)2x1-x2=0}; (2)V2={XAX=XA,X∈R},A=011; 01 3)V3=AXnA 解(1)Vg=(x1,x2,x3)∈V1且2x1-x2=0,则有 a=(x1,2x1,x3)=x1(1,2,0)+x3(),0,1)