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型,以便研究电池的寿命和及时了解电池的使用状态.鉴于此目的,针对本文具体的三 个问题,给出以下分析: 问题1的分析: 根据附录1中的采样数据,画出它的散点图,分析不论电流强度为多少,得出放 电曲线都是一个向上凸的减数.我们可以用初等函数对它进行拟合,得出放电曲线 再从样本中选岀231个样本点,根据拟合的放电曲线,计算出MRE.对于电流强度较大时, 若两个样本点之间的电压问隔超过0.005V时,我们在两个样本点中间插入电压和时间 的中值.当电压为9.8伏时,利用拟合的放电曲线容易求出各种电流强度的放电时间, 进而求出剩余放电时间. 问题2的分析: 为了衡量电流强度为20A到100A之问的电压随时间变化关系,我们想到以放电时 间与电流强度为自变量,电压为因变量,用 MATLAB软件绘制出三维空间曲线图.观察分 析曲线图,进一步想到用二元多项式曲线拟合方法,以此得到一个二元函数,从而得到 区间中任意电流强度所对应的放电曲线方程.同理,用问题1中筛选出的样本点,对应 求出所建模型的MRE.在得到的二元函数中,带入55A的电流强度,得出所求放电出线 问题3的分析: 由于铅酸电池放电机理未知,我们考虑对放电时问进行差分运算,既在同一电压下 新电池的状态所放电时间减去衰减状态1所放电时间数,新电池状态所放电时间减去衰 减状态2所放电时间,以此类推,对所得结果用SPSS进行线性回归分析.然后利用衰减 状态3的已知数据去检验拟合的曲线,如果检验发现误差较小,平均相对误差也较小, 就采用多元回归分析 三、问题假设 、假设铅酸电池放电开始时为充满电状态; 2、假设铅酸电泡额定的最低保护电压为9; 3、假设附件1和附件2的采样数据真实有效; 4、铅酸电池放电时不考虐除电流、时间外的其他因素 5、铅酸电池哀减时不考虑除较长时间使用或放置的其他因素 6、假设铅酸电池的每次放电过程是个连续的过程. 四、符号说明 t:铅酸电池的放电时间 i=1…,n预测模型的已放电时间 p:多项式系数 电池放电额定最低保护电压 电泡放电的电流强度 Tu):新电池状念电池放电时间 V(t):电池在固定电流强度放电时的电压Tu):衰减状态1电池放电时间 (t,1D):电池在电流强度为I,t分钟的放T2(u):衰减状态2电池放电时间 电电压 T3a):衰减状态3电池放电时间 MRE:平均相对误差 五、模型的建立和求解 5.1问题1模型的建立与求解 在用初等函数进行拟合时,我们比较了二次、三次、四次多项式和指数进行拟合, 发现指数拟合较差,多项式拟合R- square随着次数的增大而增加,都很大程度上更接 近于1.为了计算的合理性,我们选择四次多项式进行拟合.在建立模型的过程中,我们 使用 matlab2014a中的曲线拟合工具箱,利用最小二乘法估计出多项式系数得到9 组放电曲线,函数为 V(t)=p,t+p,t'+p3 t+P4t+ps 其中各多项式系数如表1所示: 表120A100A拟合曲线的多项式系数 电流 强度 多项式系数D1:P2,P3,P4,P square 20AB=22410,12141310,1=3457×107,P2=602310,=10570.99 30AB=124510°,2=49010,乃=687410,2=442k10,3=1060.994 40AA=457×10,A2=124210,=12230,=981410,=1056.968 50AB=-1328×102,2=273210,n2=202×10,=118×10°,乃=1052 0.9947 60AB1=-294k1012,n,=473×10,n=-273×10,n=2108104,p=1049 0.9926 704n=608101=78k10,=367610,2=309k0=1043 0.9896 4 804=985910,n2=10130,1=387510,n=55910,=10410.95 90An=157610,p2=12410,乃3=3610,1=90310,B2=10390.904 104B=203×10,2=13810,2=200×10,p=1416×10·=10370.9739 上表的R- square都较为接近1,说明拟合的相合性较好.而且从20A到100A, R- square呈递减特征,说明当放电电流强度越小时,拟合的程度越好.同时,为了吏好 的展现放电山线的拟合效果,现将20A到100A的9条预测放电山线与原始放电山线对 比图如下图所示. 原应 桃纯 一得练 电时到n 204001201010200 放电时间m 图1.电流为20A的放电曲线图2.电流为30A的放电曲线图3.电流为40A的放电曲线 0原如 棋电H 建 35 录电时目m 放电时mn 放电间加 图4.电流为50A的放电曲线图5.电流为60A的放电曲线图6.电流为70A的放电曲线 厚电蓝 前电曲 电时 叔电时同m 放中时mi 图7.电流为80A的放电曲线图8电流为90A的放电由线图9.电流为100A的放电曲线 运用 MATLAB2014a编程(具体程序见本文附录1),根据问题1分析的方法从所给 数据中选择出n=231个电压采样点,我们按照MRE的定义将这些电压样本点代入预测出 的放电曲线中,得到预测模型的己放电时间t,i=1,…,n,利用平均相对误差的计算 式(1), MRE=∑ (1) 求出其与采样已放电时间t,i=1…,n的MRE,如表2所示 表2问题1模型对应的MRE 电流 强度20 50 60 80 100 MRE0.76%0.19%0.71%0.47‰%0.31%0.92%0.44%0.62%1.12% 从上表,我们不难发现,我们预测的放电曲线的MRE都比较小,也说明了我们预测 放电曲线的合理性 剩余放电时间即到总放电时间与已放电时间之差,总放电时间为达到额定最低保护 电压9时的放电时间.由此可得电流强度为30A、40A、50A、60A、70A,测得电压为9.8V 时的剩余放电时间见表3所示 表3问题1中304-70A对应电压9.8V时的剩余放电时间 电流(A)/放电时间(min) 电压(V) 30A 50A 60A 70A 9.8V 1872 776 613 2520 1824 1347 1077 剩余放电时间 648 399 358 301 265 5.2问题2模型的建立与求解 根据附件1的数据,给我们的是在恒定电流强度下、不同放电时间所对应的电压, 共6531个离散样本点.问题要求任意电流强度对应的放电曲线,为此,我们考虑以放电 时间与电流强度为自变量,以电压为因变量,廾展多元回归的拟合.在 Matlab201a中 利用曲线拟合工具箱用二元多项式曲线拟合,得到一个二元函数.至此得到此区间中任 意电流强度所对应的放电曲线方程为 (,1)=pmo+pn1+p01+p22+p1+po212+p203+p2t21 +p212+po213+p42+p2t+p2t212+p143+pol 其中各系数值为, =1003 o=9838×10 o1=5012×102 P20=-1.128×10 P1=-6.408×103,pa2=-1428×103,P20=3138×100,p1=5597×103 p2=7896×10,p03=1577×103,P0=2007×10,p1=9.503×10 P2=6.848×100,B13=2.78×10°,P24=6.278×103 为了更好的显示拟合效果,将画出的散点图与拟合的曲面图显示在图10中 °电压AY成电时间mm电A 5001001500200 m 电流 放电时间in 图1020A100A任意电流强度放电曲面拟合图 同理,利用问题1中笳选出的样本点,结合(2)式,对应求出所建模型的MRE如 表4. 表4.问题2所建模型的9个MRE 电流 强度20 30 40 50 60 70 80 90 100 MRE1.19%1.22%0.23%2.74%3.50%0.78%2.56%5.39%4.00% 把这里的MRE与第一问中的MRE相比较,我们发现后者的误差加大,说明我们的 模型有进一步改进的空间, 在得刭的二元函数(2)中,代入55A的电流强度,得出所求放电曲线如图11所 7 10 92 1210 时间 图11.电池电流强度为55A时的放电曲线 有关电流强度为55A时,用表格形式的放电曲线,在最后的附录4中 5.3问题3模型的建立与求解 通过对附录2数据的整理,我们绘制出散点如图12 14D.D 新电池状态 衰减状态1 2000.0 衰减状态2 衰减状态3 80Q0 600.0 田 20 电压 图12电池在各种状态下的放电曲线 通过观察图12,我们发现铅酸电池充满屯刚开始工作吋放屯吋冋岀现不稳定现象 为了便于研究,我们把附录2中前面20个数据剔除,研究处理后面的数据.铅酸电池的 放电过程是一个较为复杂的化学变化过程,文章中所给信息较少.我们考虑采用差分的 形式,研究新电池状态的放电时间减去衰减状态的放电吋间,即考虑这样几种数据:放 电时间、新电池状态-衰减状态1、新电池状态一衰减状态2、新电池状态衰减状态3. 也即考虑:(u,T(mn)-T(u,(n)-72(m),T,n)-T3(u),图像如下: 200.0 新电池状态衰 35 减新态意 新电池状态 减状态2 250.C 新电地状态-悬 拭态3 200.0 田15u 5D0 0.0 tTummmmmmmm 第8 电压 图13电池在不同衰减状态下放电时间的差分 通过图像我们不难发现,可以采用多元回归的方法表示新电池状态衰减状态3,即 T(a)-T(an),利用SPSs17.0,我们得出 A73(l)=0.240×AT1()+1388×A72()+1.262×Ar3()-13871 从而 73(n)=0()-0.240×△T(t)+1.388×△72(u)+1.262×△T3(u)-13.871」, (3) 我们把回归方程(3)得岀的数据,与已知数据进行 Person检验,结果如表5 表5回归数据与已知数据的相关性 衰减状态3原始回归预测的衰减 数据 状态3数据 Pearson相关性 1.000 衰减状态3原始数据显著性(双侧) 000 N 108 Pearson相关性1.000* 回归预测的哀减状态3数据显著性(双侧) 000 N 108 108 **.在.01水平(双侧)上显著相关. 我们发现芮纠数据的显著性水平为0,说明这两组数据显著相关.同时,算出模拟数值的 平均相对误差为0.80%,这是一个非常小的数值,说明上述回归方程是一个很好的预测. 因此,根据函数(3),已知最低保护电压为9,代入△T1()=1763、△T2u)=3021, 求得新电池状态与哀减状态3的差值为459.1138,即求得哀减状态3剩余放电时间为 225.7862分钟 六、模型的评价与推广 模型运用 MATLAB等数学软件构建模型,所得误差小,数据准确;运用最小二乘多 项式拟合方法构建函数模型,建模过程生动明了,便于理解.在建模过程中我们针对给 出的样木点画出的散点图.在观察散点图时我们发现20A至100A的9条放电曲线均在初 始一小段时间区间上存在一个‘突变’情况,即为“陡降复升”③现象.鉴于这个初始的 突变’状态对后面的电压随时间变化的趋势并无很大影响. 6.1优点: 本文模型与实际结合,充分大量旳样本数据基础使模型更贴近实际,易于推广 运用多种数学软件降低了运算误差,过程淸晰结果更准确;我们通过査阅大量文献, 对电池放电原理进行对比分析,进一步确定研宄事物的真实可靠性.该模型所设变量之 间关系明确,详尽的分析与图形搭配令解答更简单直观,使更多人理解 6.2不足之处: 题中所给铅酸电池类型单一,缺乏相应对比检验对象,无法排除偶然性.文中数据 为真实数据,但运算过程中简化了大量次要因素,存在一定误差.根据建立的预测模型, 我们解决了文中所提出的问题 6.3推广: 硏究对象与日常生活息息相关,涉及到能源与环保领域,以小见大,对于能源与环 保被全民关注的今天,从实际中出发,所建立的模型具备较好的普遍性、实用性.例如: 通过模型可较高准确度的预估电池剩余时间,便于检测设备运行状态,根据电池的哀减 状态,可预测铅酸电池的使用寿命.根据模型能准确的预测电池剩余电量,对蓄电池的 使用,保养和维护冇检测作用,此外,该模型不仅解决剩余吋间预测问题,也对新型产 品的使用命预测具冇较大的指导性价值. 七、模型的改进 在问题1中,本文建立的初等函数模型较为单一,或许可以老虑用分段函数拟合放 电曲线.我们针对给出的样本点画出的散点图.选取最适合的初等函数建模求解,使预测 更准确.建模预测过程中,条件限定了最低额定保护电压等次要因素,但在实际问题中

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