数字信号处理第三版

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课后答案网w.khaw.com 数字借号处理(第二版)》学习指导 x(n)无定义,但不能理解为零。当xin)=xn(nT)时,这一点容易理解。当n=整数时, x(n1=x2(n27),为x()在t=7时刻的采样值,非整数倍!时刻未采样,而并非为零,在 学习连续信号的采样与恢复时会看到,x(n)经过低通滤波后,相邻的n7~(n+1)7之间的 xa(t)的值就得到恢复。 例如,x(n)为一序列,取y(n)=x(n/2),n为整数是不正确的,因为当n=奇数时 y(n)无定义(无确定的值)。 2.常用序列 为了学习后面的内容,必须熟悉·些用序列,以便讨论其傅里叶变换和Z变换及其 基本性质筝。常用序列有六种:⑩单位脉冲序列8(m),矩形序列R(n),③指数字列 a"a(n),④止弦序列eos(am),sin(om),⑤复指数序列e",⑥周期序列。由于前三种序列 非常简单,而后面三种与相应的模拟信号的特点大不相同,所以下面仅对后三种序列的定 义及特点进行小结 1)正弦序列和复指数序列 正弦字列指oe(am)和sin(amn)。复指数序列指e-cos(amn)-isin(m),其实邮和虚部 为正弦序列。由此可见,正弦序列和复指数序列的特性相同.所以放在一起讨论 为数字域频率,单位为孤度,表示两个相邻x之间上弦的相位、复指数序列的 相角的变化量,所以∞表示正弦序列的变牝快慢。如果将x(n)=cs(cm)看作对连续正孩 倍号x(t}=cCs()的等间隔采样,即 xt(n) 了)=cos(Mmr 则=mr,数字频率u与模拟角频率减线性关系,D的位为ad/s,所以的单位应为 rad(采样间隔T以秒为单位),e表示在 采样河隔!上正弦波相位的变化量 要点正弦序列cos(an)与模拟正弦信号cos()唯一不同点为n只能取离散整数, 且无量纲。而为连续时间变量,以秒为单位。由此不同点引起正弦序列随a的变化规律 与连续正弦函数随的变化规律有很大差别,这—点造成数字徳波器颁域特性与模拟滤波 器的频域特性也有很大差别(见滤波没计)。 1)e Cos( 4r )=0s((+2xm)n),但是,e“≠叶,c()≠ cos(2-2rm))。正弦序列和复指数序列对a变化呈以2π为期,所以,在数字频城考虑 叶分析中,而后者适用于离散傳里叶变换(前者用于时域离散信号与系统的博甲 (2)当如=G时,cos(mn)变化最慢(变化);当=m时,es(um)变光最快。F以在序 列的頻谱分析和数字滤渡器描述中,在值区上,将一0附近称为数字低频,而将a-r 附近称为数字高频。容易证明,当满足时域采样定理1T≥2f时,模拟信号的最高频率 对应的数字頻率ω=2π「≤π。当取奈奎斯特采样速率∫=2f时,c=2xT 丌/f=n。 这一特点与模拟正弦信号x(t)=coes()截然不同,2越大,cs!k)变化越快.只原 因是连续取值,而n只取整数 〔3〉由以上两点可以推知,数字德波器(时域离散系流》的频率嗚应函数H(e)必须以 2π为周期。后面会证明,频率响应函数H(e")就是激励信号e的响应加权函数,即 课后答案网w.khaw.com 第一覃时域离截信号与系统理论分析基础 3 )-L[H(c":-ym)=(e")e 已知ex=e"",所以,如果H(e2m)≠H(e-),即系统对eam的响应输出与 系统对e""的响应不相同,产生物理矛盾:“间-系统对相同的激励信号的响应不同。” 2)周期序列 如果x(n)=x(n+mN),m和N为整数,N>0,则称x(n)为期序列,周期为N,记 为x 期序列的定义只有点与模拟周期信号定义不同,即周期序列的自变量n和周期 只能取整数。正是这一区别,使得某些模拟周期信号,离散化后就不一定是周期序列。 2 例如,c一定是周期函数,周期,而e是否是周期序列,取决于数字频率的 取值。为了说明这个问题,我们假设e以N为周期,导出e"为周期序列的条件 由以玩假设及周期序列的定义可知,e应满足 em=e,k和N为整数,N>0 所以必须满足 f北N=2n 为整数 当k=-1时,ωN=2rm所以,只有当N/m=2x/a为有理数时,N和m才有整数解, e"才是周期序列。此时只要将2xm化城最简分数(分了分母化为整数),则分子就是周 期N 例如,z1(n)=cos((x/7n),x2(n)=Cs(n;7。对x1(n),山=/7,2丌/=2r/m/7) 14,所以x1(n)为周期序列,周期N2=14;对x2n,=1/7,N21m=2π/a=2x/(1/7) l4π,为无理数,眼N2和m无整数解所以x()不是周期应列,因此,正弦序列和复指数 序列忄一定是周期序列,当=aπ(a为有理数〕时,它们一定是周期序列 1.1,2序列的傅里叶变换(FT 1,序列傅里叶变换定义 以下两式 X(ciu)=FTLr(ni,def 卩) (1.1 r(n)=IFTLX(e) Xeel dc 2.1c (1,2 称为傅里叶变换对。 X(e)=FT[x(n)]存在的冬件为 (1.3 2.周期序列的傅里叶变换 周期字列不满足(1.3)式,但为了将傅里叶变换分妡法用于周期信号,引入奇异函数 6(),可定义周期序列的傅里叶变换 设c(n)表示以N为周期的周期序列,则其傅里叶交换为 课后答案网w.khaw.com 数字信号处唑(第二版学指好 x(e)=FT[2()]=∑R.(k 2nt k 其中,6(a)为单位冲激函数,叉(k)称为xy(n)的离散傅里叶级数(DFS)系数,计算公式为 x、(k)一> 其屮,以接示在任意一个周期区间上求和。(k也是以N为周期。 由于x(z)不满足(1.3)式,因此按(1.1)式不能直接计算出FIL(n)]。以,对 期序列进行傅里叶变换时,应先按式(1,5)求得X(,再套用(1.4)式得到x(e")= FTi xx(n 3.序列的碍里叶变换具有唯一性 序列的傅里叶变换具有的唯一性可用下式表示 X( a(r1 4傅里叶变换的基本性质 序列傅里叶变换的基本性质列于表1 下面议对#常重要的共轭对称性进行小 结,以便读者掌握。 表1.1序列傅里叶变换的基本性质 序列 傅里叶变换 Xe d次()+by(?) aXe")-HYe),a、b为常数 (P) X A Re「x(n)1 aLe Xie ,(P In xie) e I rLn i' dde k 课后答案网w.khaw.com 第--_吋域离散信号与系统哩论办析基仙 序列傅里叶变换的共轭对称性的基本内容有如下两种情况 Jr, im 1.6) x(e")=x(e)+X(e") (2) (n) C(〕 ( Xe")=(e")+x 式屮,符号*表示两端为傅里叶变换关系,x(n)=ReLx(n)为x(n)实部,x(n) 1m1x(n)为x(n)的虚部,x,(n)=1[x()+x·(-n)和(n)=1-x(n)-x·(-m分别 表示x(n)的共轭对称序列和共轭反对称序列;X(e)=Re[Xe)],x;e ImX(e)l;X,e")=[X(e")x'(e-)]/2和X,(e")=X(e")(e“门]/2分别表 示X(e)的共轭对称函数和具轭反对函数 共轭对称函数f〈x)和共轭反对称函数f(n)分别定义为满足如下关系式的函数: 疒(x}三 f:(-x) 式(1.6)和(1.7)完仝为时域和频戒的对偶关系:(1.6)式将时域x(n)写实部与虚部之 和,频谱(e)写成共轭对称分量与共轭反对称分量和;而(1.7)式将时域x(n)写成共 轭对称分量与共轭反对称分量之和,频谱X(e-写成实部与虚部之和。所以很容易记忆 这里特别提请读者注意,实序列傅里吁变换的共轭对称性可曲(1.6)式和(1.7)式得 出,不用死记硬背 x(n)可分为以下4种情况 (1)x(n)为实序列,则由(16)式中x(n)=0可得到X()=X,(些冫共轭对称函数, 即X(e)满 3=X 2)若x(n)为实偶序列,即x(n)=x(-n),则日(1.6)式中xn)=0及(1.7)式中 x,(7)=0可知,X(e)为实偶函数,非 X(e=xte (3)若x(n)为实奇序列,郎x(m)=-x(),则由(1,6)式中x,(n》=及(1.7)式中 x(n)=0可知,X(e")为纯虚奇对称函数,郎 X(e)=X rie (4)若x(n)为实因果序列,且x(x)麦示为 x(n〕 则 72) x(n)=3x,(n) 0 1. n<0 课后答案网w.khaw.com 6 《数子信号处理第二版)学指导 ?(M ) 1.9) D 所以说,对实因果序列,只要知道 RelAte")},则可求得r(n)及x(e)=FT[x(n)],过程 已知 FT RelX(el>]=FT, (n)*x,in +X(e 只要已知Im[X(e)和a0),则 IFT FT Im[X(em)] 由上达可见,对实因果序列x(n),其傅里叶变换X(e")的实部包含了X(e")或x(n)的 全部佶息,即Xe)中有冗余信息。 1.1,3序列的Z变换(ZT) Z变换定义 7变换定义如下: X(E)=ZTLr(n) (1.10 det rtn=IZT X(z R)R (1.11) 其中,c是一条在X(z)的收敛域卜,并包含原点的逆时针闭合围线,显然,如果不知道 X(z)的收敛或,则c不能确定·ZTx(n)则无法计算。由此可看出E变换的收敛域的重 要性 2,X(z)=ZT[x(n)存在的条件与X(z)的收敛域 ∠变存在的条件指能使X(x)<的条件,为计论方便,将z写戒极坐标形式 则 X 2(n Z变换存在的条件对 X( (n)re (n) 即X(z)存在的充分条件为 1,12) X(x)存在的条件比x(e)存在的条件宽得多。只费x(n)的增长速度小干r,则ZT[x(m门 就存在 Ⅹ(x)=zTx(n)]的收敛域定义为满足(1.12)式的”的取值域。换言之,使(z 的|z|的取值域称为X()的枚敛域。显然,X(z)的收敛域与x(n)有关 要点x(n)←→[X(z),收敛域],也就是说,对一个确定的x(n),其Z变换X(z)的 课后答案网w.khaw.com 第-章时减离散倌号与系统埋沦分析是他 7 表达式及其收敛减是一个整体,二者共同噍一确定x(n) 例如 (1) r:(n)=a"(n) X, (z)=>a3= (2}x:(n)=-a"a(-n--) X2(x)=∑a2z 这两个序列截然不同,但X1(z)与X2(z)表达式完全相同,只能华收敛域的区别来唯 确定X1z)与X2(2)tzT 3.典型序列Z变换的收敛域 1)双辽序列的Z变换收敛域为—环域 X(xy r(n)z R<! 2)因果序列的Z变换收敛域为某圆外,包括无穷远处 X(x R 双边序列和因果序列是时城离散线性非移变系统分析与设计中最常用的序列,在ET 的计算中,以上概念很有用。其亡类型的序列,根据具体情况,确定其Z变换的收敛域 4.逆Z变换(IZT)的计算 逆Z变换的计算方法有幂级数法(长除法),部分分式法和留数法。下面仅对较通用 的留数法进行介绍。 IZTLX(z)]的原始计算公式为(].1)式的用线积分 X(z 可根据图数定理计算该围线积分。为了方便,令F(x)=X(2)gx"2,并设 F(x)在c内的极点集 bn}—F(x)在c外的极点集 则 n)=∑ResF(z),a 或 ∑ResF(x),b 使用(1.14)武的条件为≤N-M-1,其中N和M分别为X(x)的分母和分子x的正次 )多项式的次数。Res[F(z),z4表示F(z)在极点z处的留数 (1.13)和(:.14)式说明,x(n)-ETX(x)]等干F(x)在c肉的所有极点的留数之和, 或等于F(z)在c外的所有极点的留数之和并取负号 留数计算公式 将F(z)化为z的正次暮有理分式设x为F(x)的个m阶极点,则P(z)可表示成 F (e-2 (x)在z,处无极点 课后答案网w.khaw.com 8 数字信号理第版)》学习指早 Respec C( )!d 当m=1时 ReEf(z) y() F(2(z 由此可见,一阶极点的留数计箅非常筒单。而数字信号处理课中,大多数情况下为 阶极点 5.Z变换的主要性员与定理 为了便于读者查阅,将Z变换的主要性质与定理外在表1.2中,表中, X(2)=ZTLr(n)]. R Y(2)=ZTy(n)J, R,<|2< R 表12Z变换的主要性质与定理 序号!名称 性质与定理内容 备注 1线性 TTLar(n)+by'n-aXs)+EY( R ==max[R,-, A R <R R=min(R._,R 2时域移位 ZTLx(n-n1)=g”X(),R 对某些特殊序列,收 R 敗域有变化 3乘指数序列ax(n)=x(x-x),14R 4序列棄 ZTInt(n) dx R z 5|初值定理 rto=lim x( x(n!为因果序列 n)为因果序列X(z) 6终值定理 Lim u(z)-liuiz-i)X 的改点,院一个可以在 单位圆上外,其余全位 于单位圆内 7时域卷积定理ZT[x()*y:n)]=x(z)·Y(z),R KR.R问1 6.傅里叶变换与Z变换的关急 比较:(e)与X(z)的定义公式: def X(2)=ZTLr(n) (n) X()=FT「(n (n)e 容易得到者的关系为 X(e")=X(z)! 这说明,序列x(n)的傅里叶变换X(e)是x(n)的Z变换X(z)在平面单位圆上的取值 即傅里叶变换是Z变换的特例(x=e")。只有当X(x)的收敛域包含单位圆时,x(n)才存在 傅里叶变换X(e)。 课后答案网w.khaw.com 第一章时域两散信号与系统哩论介析基 y 1.1.4时域离散线性时不变系统的描述与分析 1.糸统模型 时域离散系统可以用图1.2表示。 y(n)=TLr(n) T[*表示系统对输人信号的处理变换函数,这和变 in ylr 换函数可以是线性时不变的,也可以是非线性时不变 F·] 线性时变或非线性时变的。对于线性时不变系统 民1.:叶成离歆牟终到 T[·]应满足以下约束条件 (1)T!·]具有线忙特性。即满足齐次性和可加性共数学描述如下 如果 ),7x2(n)1·-y:(n 则 Tan,(z)+hx2(n)=Lx.(n)]一价x:()灬av(n)+by2(n) 其中a和b为常数 2)Tˉ·有时不交性。 如果 Tx(n一n, 系统对输入信号的处理特性不随时间变化。 2.时城离散线性时不变糸统的描述 时域离散线性时不变系统可以在时蠍或频域述 1)时域描述 ①单位咏炐晌应序列:h(n-T「δ(n)表示系统对合(n)的响应输出,它可以将输出输 人信号联系起来(y(n)=h(n)×x(n),所以可用h(n)表示系统对输入信号的处理功能。 ②差分方程 ypp 黑=5 实质上,系统特性完仝由差分方程的系数决定,山于讨论的是线性时不变系统,浙以 和b均为常数(不随n变化)。 )斯域道述 ①系统函数 H fi(P? (1.18 ②频率响应函数 H(el)ftth(n)

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