数理统计教材-宗旭平著

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宗旭平著作的数理统计教材,内容简洁明了,注重实践,能够帮助我们快速回顾数理统计知识
验)。作者认为口前这些内容是這宜的、必需的。在实际用本书进行教学时,教师可根据情况作必要的取舍。根据作 者的经验,如果采用教帅在课堂上讲亘点、难点,其余内容由学生课外阅读的方法进行教学,在一个学期中学完全部 内容也是完全可以做到的。 作者在进行本书的撰写时,试图将它写成一本“统计味”较浓的教科书。实际效果究竟如何,有待于教学实践的 检验。作者衷心希望专家学者、教师、学生和各界读者对本书提山批评和建议。限于作者的水平,在本书中不可避免 地存作疏漏之处,希望读者予以指正,以便将米有可能再版时予以纠正。 目录 第章数理统计的基本概念 总体与样本 总体与抽样 随机变量及其分布函数 特征函数和数字特征 经验分布函数与统计图示 经验分布函数 直方图与其它统计图 统计量与顺序统计量的分布 统计量 常用统计量 顺序统计量的分布 常用统计分布 离散型分布 连续型分布 正态抽样分布 样本均值的分布 正态概率图 第章抽样分布与统计量 统计学三大分布 x分布 分布 分布 非中心三大分布 多元分布与关联函数 多元分布 关联函数( 常用的关联函数( 关联涵数与相关度量 充分统计量 充分统计量的定义 因子分解定理 极小充分统计量 统计量的完备性 完备性概念 定理 第章参数估计 点估计 矩估计 极大似然佔计 估计量的评价标准 无偏性 有效性 相合性 致最小方差无偏估计( 定理与充分性原则 不等式 极大似然估计的相合性与渐近止态性 极大似然估计的迭代算法 贝叶斯估计 参数的区间估计 区间估计的基本概念 单个止态总体参数的置信区间 估计与算法 估计 算法 核密度佔计与关联函数的 应用 核密度估计 关联函数的 应用 第章假设检验 假设检验的基本概念 问题的提出 假设检验的基本原理和实现的步骤 两类错误 检验的势函数 样本容量确定 检验的值 理 正态总体均值参数的假设检验 单个正态总体均值参数的检验 两个正态总体均值的比较检验 止态总体方差参数的假设检验 单个正态总体方差参数的检验 正态总体方差的比较性假设检验 似然比检验与分布的拟合优度检验 似然比检验的基本思想 子集参数的似然比检验 x拟合优度检验 列联表的独立性检验 第章非参数假设检验 非参数单总体的假设检验 非参数置信区间 符号检验 符号秩检验 非参数多总体的假设检验 中位数检验 秩和检验 检验与 检验 检验 检验与正态性检验 检验 正态性检验 方差齐性检验 第章方差分析 单因素方差分析 单因素方差分析模型 单因素方差分析方法 单因素方差模型的参数佔计与多重比较 义因素方差分析 无重复观察双因素方差分析 具有重复观察双因素方差分析 第章回归分析 回归的概念 元线性回归 元线性回归的概念 回归参数的确定与最小乘法 相关性检验 可线性化的一元非线性回归问题 多元线性回贝 多元线性回归方法 相关性检验 有线性约束的多元线性回归模型 附录 进行回归分析程序 第章序贯分析 基本概念 序贯概率比检验 序贯概率比检验的基本概念 序贯概率比检验边界的确定 封闭性定理与的平均抽样次数 附表 第章数理统计的基本概念 数理统计学是以概率论为基础,研究如何合理地有效地收集观测数据并釆用合理有效的数学方 法对薮据加以整理与分析从而对随机变量的分布或数字特征作出合理估计和推断的一门学科。经过 多年的研究和发展,统计学已经深入到许多学科中,可以说,凡是实际问题涉及到数据的地方,都 应当用统计学的方法进行分析,统计学也就有了应用的舞台。随着统计学的发展与完善,其研究内 容越来越丰富,且己经形成多个学科分支,如抽样调查,试验设计,回归分析,多元统计分析,时 间序列分析,非参数统计,贝叶斯统计等。 总体与样本 数理统计研究的对象是受随机性影响的数据资料,它所考虑的问题及采用的方法不同于·般的 资料统计,它更侧重」运用随札现象木身的规律性来考虑数据资料的收集、整理和分析从而得到相 应相应随机变量的分布或数字特征。大量重复试骏,也就是进行足够多的观测或试验,随机现象的 规律性就会清楚地显小出来。但是,实际上所允许的观测或试验次数总是有限的,有时甚至是少量 的,因此我们关心的问题是如何有效地攻集有限的观测数据,本节主要介绍 ◆总体与扯样总体与样本的概念;抽样方法:简单随机抽样、系统抽样与分层抽样 ◆随机变量及其分布函数:随机变量的类型、分布函数及其性质以及分位数的概念与性质 ◆特征函数和数字特征:介绍特征函数与母函数慨念性质、数学期望、方差与协方差的相关性 质 、总体与抽样 定义在一个统计问题中,把研究对象的全体称为总体 组成总体的每个单元 或元素称为个体 例如研究对象是一批灯泡那么这批灯泡就是一个总体其中的每个灯泡就是个体。如果研 究某一天的气温那么这一天的气温就是一个总体而各个时刻的气温就是个体。若一个总体只有有 限个个体就称该总体为有限总体否则称为无限总体。在上面两例中前者是有限总体而后者是 无限总体当个体数相当多时可以把有限总体近似看成无限总体。 数理统计所研究的某个总体是指总体的数量标忐,即数量标忐是硏究的直接对象。以一批灯 泡这个总体为例考察灯泡的质量灯泡的使用寿命就是这样一个数量标志。如果采取随机抽取的 方法来观测灯泡的使用寿命那么使用寿命可看成一个随机变量Ⅹ,X的分布情况就反映了这批灯 泡使用寿命的整体状况因此在这种意义下以后将直接用随机变(向)量X米表示一个总体。 采用对个体逐个观测来获取总体X的分布往往是不切实际的。·方面在些问题中观测X 取值的试验具有破坏性灲泡寿命的观测即如此一旦某灯泡的使用寿命被测得该灯泡就报废了; 另·方面有些观测要耗费大量的吋间和人力物力,或由于技术条件的限制,不可能逐个观察,因 此只能进行冇限次观测。以灯泡为例随机地从总体中抽取个体其使用寿命值在观测前不叮预知 的。因此每次观测的使用寿命值也可看作是一个随机变量。若观测次则依次对应着个随机 变量 称这组随机变量 为来自总体X的一组样本记为 称为样本容量。的取值表示第次观测所得结果,称 为样本观测值简称样夲值。由于抽样的随机性在个总体中两次抽取相同 容量的样本所得的样本值 及 不一定相同因此样本 是一个维随机变量 抽取样本的目的是根据样本的取值情况来推断总体的信息。由于样本取值的随机性会使推断带 有一定程度的不确定性。因此,应尽可能在有限次观测中所抽取的样本能反映总体的状况。这就要 求样本具有以下两个性质: 代表性样本中的每个随机变量与总体x有相同的分布 独立性) 相互独立即每次观测结果互不影响 满足上述两个条件的样木 称为简单随机样本简称样本由此可以看出 独立同分布,本书讨论的样本是指上述简单随机抽样所得到的样本。 综上所述给出如下定义 定义设随机变量X为总体由总体抽取的个体 是组相互独立且与总体 X具有相同分布的随机变量序列称维随机变量 为来自总体x的组简 单随机样本简称样本()称为样本容量 所有可能 取值的全体称为样本空间;的一个观察值 为样本空间的一个点 由定义易知如果总体Ⅹ的密度函数为 分布函数为 那么维随机变量 的联合密度函数与分布函数就分别为 =II 样本来自总体,我们总是由样本来认识总体的,因此有必要对获得样本的方法即抽样调查方法 进行硏究,这属于抽样调查技术范畴,感兴趣的读者可参考进一步学习了解,这里介绍另外两种 常用的基本抽样方法。 定义(系统抽样)将总体中所有个体排戊一行,随机确定一个起点作为第一个进入样本的 个体,然后每隔相等的间隔抽取个个体进入样本,称用这种抽取样本的方法为系统抽样 直观上看,系统抽样类似于对传送带上的产品进行定时抽样,因此系统抽样又称为等距抽样或 机械抽样。系统抽样适用于大样本情形,其优点是实施方便。如果我们对总体排序的标志有所认识, 知道一些规律并加以应用,采用系统抽样能达到相当好的实际效果。当排序是完仝随机的时候,系 统抽样与简单随机抽样效果相当。例如考察某产品在市场的日销售量,设计一年每周抽取一次样本, 所得到天的日销售量组成的样本就是系统抽样 定义分层抽样将总体中的个体按相似原则分成若干层(组),将每一层(组)视为一个 子总体,对于这些子总体分别进行简单随机抽样或其它抽样,称用这种抽取样本的方法为分层抽样 从上面叙述知,总体为随机变向量巫其分布函数完全描述了它的概率结构。但在实际问题 中分布函数通常是木知的。数理统计的中心任务就是通过样本观察值对总体的分布函数以及由 此产生的问题进行合理的推断。 统计问题的基本提法是:给定样本 ;大多情形为独立同分布(即) 的样本,这时服从未知分布或b未知;如 泊松分 布入等等,统计问题就是从样本 出发,对未知分布或6进行 统计推断诸如参数估计、假设检验、回归分析等。 因此随机变量及其分布函数既是统计推新的目的也是统计推断的基础。一切统计问题都离 不开随机变量及其分布,熟练掌握这方面的知识,对学好数理统计并应用于实践是非常必要和 有益的读者必须十分熟悉,关于概率论的基础知识,读者可参见土梓坤 李贤平 以 及严上健刘秀芳 随机变量及其分布函数 随机变量是关于样木点的实值函数,一元分布凼数定义为 由概率论的知识,分布函数特征性质是 具有非降性,有界性与右连续性,即函 数分布函数的充分必要条件是: ()(非降性) 为上的非降函数,即∨ )有界性< )右连续性 通常分布函数可分为绝对连续型、离散型和奇异型。 例改离散型随机变量的概率分布为为 ()求的分布函数 并画出的图形; ()求{≤}{-≤≤} 解于只可能取 故 时{≤}=0 时{≤} 当 时{≤}={=或}={=U{=} 当≥时 归纳上述结果得 若记单位阶梯函数为 =>则上面的分布函数为 其图形为

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