"灰色预测模型"
灰色预测模型是一种高级预测方法，能够对含有已知信息和不确定信息的系统进行预测。该模型的优点是能够利用较少的历史观测数据进行较精确的预测，但其缺点是只适合短期预测。
一、定义和特点
灰色预测模型是指对既含有已知信息，又含有不确定信息的系统进行预测的方法。该模型的定义是：对在一定变化范围内变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。灰色预测模型的特点是能够利用较少的历史观测数据进行较精确的预测，但其缺点是只适合短期预测。
二、模型建立
原始时间序列为：X(0)=[X(0)(1),X(0)(2),……，X(0)(n)]
为了弱化原始时间序列的随机性，在建立灰色预测模型前，需要对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理后的时间序列称为生成列，主要有累加生成列和累减生成列。生成列为：X(1)=[X(1)(1),X(1)(2),……，X(1)(n)]。
累加生成列公式为：X(1)(k)=∑i=1-kX(0)(i)=X(1)(k-1)+X(0)(k)
即生成列的第 k 项等于原始序列前 k 项的求和。
累减生成列公式为：X(1)(1)=X(0)(1)，X(1)(k)=X(0)(k)+X(0)(k-1)
即生成列的第 k 项等于原始序列第 k 项减去前一项。
我们采用累加生成列来介绍该模型。
令 Z(1)为 X(1)的紧邻均值生成序列，Z(1)=[Z(1)(2),Z(1)(3),……Z(1)(n)]，计算公式为：Z(1)(k)={X(1)(k-1)+X(1)(k)}/2
GM(1,1)的灰微分方程模型为：X(0)(k)+a*Z(1)(k)=b，其中 a 称为发展灰数，b 称为内生控制灰数。利用最小二乘求解估计参数 a,b，我们使用矩阵形式直接计算出待估参数值。
其中：得到生成列预测值为：
累减后原始序列预测值为：
得到原始序列的预测值后，计算残差序列，。
如果存在 i,当 k>i 时，Delta(i)的符号一致并且 n-i>=4，那么就可以进行模型修正，提高预测精度，否则，直接进行模型检验。
模型修正：取残差序列的一部分进行类似于原始时间序列的处理，得到参数估计值。
取出的残差：Delta0=[|Delta(i)|,|Delta(i+1)|,…，|Delta(n)|]
表示为：Delta0=[Delta0(1),Delta0(2),…，Delta(n-i+1)]
对这 n-i+1 个数据预处理得到残差生成列：Delta1=[Delta1(1),Delta1(2),…，Delta(m)]
计算公式为：Delta1(k)=Delta1(k-1)+Delta0(k)
紧邻均值生成序列为：Z(2)(k)={Delta1(k-1)+Delta1(k)}/2
计算公式为：Z(2)(k)={Delta1(k-1)+Delta1(k)}/2
通过最小二乘估计估计参数 a1,b1的值・・・
三、模型检验
模型检验分为残差检验、关联度检验、后验差检验。一般当三个检验均通过时，认为模型拟合较好。
（1）残差检验
残差检验是对模型预测还原值与实际值的残差进行逐点检验。
绝对残差序列：△(0)(k)=|X(0)(k)-X(0)(k)’| (k=1,2,……，n)
相对残差序列：φk=△(0)(k)/X(0)(k)
平均相对残差：φ=1/n∑k=1-nφk
给定 α，当 φ<α 且 φn<α 成立时，成称模型为残差合格模型，α 为 0.01 、 0.05、0.1 所对应的模型分别为优、合格、勉强合格。
（2）关联度检验
通过考察模型值曲线与建模序列曲线的相似程度进行检验。
其中取原始序列为参考序列即建模序列，预测模型得到的序列为比较序列即模型值曲线
ηk=(min(△(0)(i)+λ*max(△(0)(i)))/(△(0)(k)+λ*max(△(0)(i)))
其中 min(△(0)(i)代表所有绝对残差中的最小值，max(△(0)(i))代表所有绝对残差中的最大值，△(0)(k)代表第 k点的绝对残差。
关联度 r=1/n∑k=1-nηk,λ 为分辨率，0<λ<1,一般取 0.5,当 r>0.6 时我们认为关联度满足校验准则
（3）后验差检验
对残差分布的统计特征进行检验。
计算原始序列的标准差：S1=√∑[X(0)(k)-X(0)’]²/(n-1)
计算模型预测值的标准差：S2=√∑[X(0)’-X(0)(k)]²/(n-1)
当 S1>S2 时，我们认为模型预测值的精度高于实际值的精度。
