概率论与数理统计答案(重庆大学)

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2.设ABC为三事件,用AB,C的运算关系表示下列各件 5)若AcB,则Bc才 不发生 6)若AB=②且CCA,则BC=② 1)A发生,B与C 解:1)(AB)B=(4-A)心B=A∽B,故成立 2)A与B都发生,而C不发生 )AB=B一ABR2AC,故不成立 3)A,B,C少有一个发生 3)不成立 4)A.B、C都不发生 5)48.C 5)我立 w: 1) ABC: 2) APC: 3) AvBUC: 4) ARC: 5) ABC: 6) ABUACU2C. 5.从1,2,3,45.∈这六个数字随机取二个数字,以两种抽取方式:(1)无放回:(2) 有放回:求下列事件的概率 3.设AB,C为三个事件,试化简下列事件 1)A-“最大的是4 2)B=“有2” 1 4Bu1UR) 3)C=“恰有丙个小于4":4)D=“没有4 1) ABU ARUA8 解:(1)无放回:1)qC:2)C3C3)CCC:4)CC ( te BXA∽BX 3)3 4) AlvBCu B 6.某人有5把识匙.其中有两把房门匙,但是忘记了开房门的是哪两把,只好随机试开 N: 12 AB(U B)=AB(0-4#)=0 问:用下列两种方式试开,此人在三次内能打开房门的概率是多少? )试开的钥影不放杠 2)试开后的放 2) A8U ANU AB=.As ABU ANUA=BU4 解:1)恰好在第一次打于 3)( tv cobIa∽B)=(AB( .taBB.∽BB) 第二次打开(在第一次没有打开的基础323.1 -(UB(ABU AB=AB 第三次打开(在前两次都没有打开的基础上)3 4)ABBC≌B=AB、B=B 最后是把这几次的数相加 +19 4.按出下利胜中保京,哪些不成立 1如:3+a+5-10 D) AUB=(AB)UBI 2)恰好在第一次打开 2) 48=Ava 第二次打开(在第一次没有打开的基陆上326 1) du BC.aBc 第三次打开(在前两次部没有打开的基础上33 4)(84B)-o 最后是把这几次的数相加 7在40台空调中有3白次品,现不放回从中随机取3台,求下列事件的概率 1)3台中恰有一是次品 2)3台中全是次是 3)3台中至多有两台是次品:4)3分中至少有一台的次品 2)1B=3=5 解:1)GCCa+02 3)P1C)= C33 2)cC=1/Cc=001 11.一袋中有m个黑球与n个它球,现从中不放回摸k个球,求摸出的k个求中三少有一 1)1减去三台都是次品的,1-C3/C0-0990 个黑球的极率 4)1减去全部都是正晶的:1-C3/C=21306 解:设A=“一个黑球都没自,B=“k个球口至少盲一个黑球”则P(4=1-P(B) .有10只晶体管,其中有4只次是,b只正品,现不放回地逐个测试,直到4只次品都找 因为P(B) 政P(4)=1-C 到为止,求最后一只次品在第1)5次抽试时被发现;2)1C次拍试时被发现 、D)4次中有三个次G次诗定是次品,se1 2.在区可[0,1中随机地取两个数,求事件“两数之和小于二”的概 解:样本空间为:9={x,y)0≤x≤10≤y1} 2)最后一次诗定是次品二,(即10次中某一次抽到次品的概率肯定是 9.将4个球机入5只杯子中,每只杯子容纳球数不限,求5只杯中最大球数为k的概 牛4表示为,4-{(xy)x+y 率,k=1.2,3,4 画出几叫区城,根据1个的义,可计算事件A的率P(4)=12 ,k=1,23.4,则 13梅长为L的棒随积应一段,求一段能构或三角形的概率 解:设棒的三段长度分别为x,y,L一x=y P(4) 样本空为:2={(x)0<y<L 即-{2y)0<ycL locity r(4)= 事件A表示为:4={(x,)x+y>L-x-只,1-yy,L-x>对 叫41-P(A)-(4)-P( 面出几何区城,根据几个率的定义,可计算事件A的樵率F(A) 10一个民内有10个人,求下列事件的概事 1)A=“没有两人生日相同” 14没随机事件A,,A心B的概率分别为0401.0求AB),P4AB)-PA 2)B=”他们的生日是同一天 解,图为PA面=P()-P(AB)=P(A-P,+P)-PA明 3)C=“恰有3个人的生日是十月一日”(一年按365天计) 所以PAB)=P(AB)-P(B)=0.5-4 :1)P小) 15设P(O=FB)=05,证明:PAB)-PAB,PCAB)=BHB-P(40 R3)2P6) 证明:P(AB)=P(2-AB)=1-P(AUB) 1-1P(4+P(B)-P(AB 次取出的是2新1旧的球”,A4=“第一次取出的全是旧球”,B=“第二次取出的全是 1-P(A)-P(B)+P(AB) 新球”则 =1-0.5-05+P(AB)=PY(AB) 6甲,乙两工厂共生产1000个零仁,其中300个零件是由乙厂生产的,并且300个零件 21将两信息分别漏码为A和B传递出去,日于传输过程中受到一定的十扰。接牧站收到信 中有189个是标准品。现从1(0个零件中年取一个 总时,信息A误收为B的0D2倍息B误次为A的概率为001,两信息A,B传进 1)求该零件是乙厂生产的标准品的框率 的集繁程度共21,若接收站收到的信息是A,求原发送信息为A的概率 2)如果已初该零件是已厂主产的,求它是标准品的概率 解:设A=“发进信息为A”,B=“收到信息A”,则 PB/A4)=公 解1)D=1m0×00189 汽A-3P-3P9=0,PBx=0 PCBA)=tie 由贝叶斯公式 t小=09,P时=09B1-085,求PA1B).PB、= H)P(B1 A) ,AB)=0m,AD=0,P=气=(=085,)=08,区平 (48PAA1AAB109=3:01 19=0995 12设某人从外地赶来参加紧急会议,他火车、轮相、汽车或飞来的概率分别是1 放汽A) 4=上A4B2上=A-PB)+PCAB 拟)+P3 P8 -PADB) 如果包雨飞机来,不会迟到:而火车。轮册或汽车来 因到的概率分别是 1-08-093+006008=0829 PcAD 现此人运到,试性断他乘哪一和交通工具的可能性最大? 1.某厂产品中有是品,而在C件合格品中有75件一等品,求仁取一什产品的等(O 钟,设A=“火车”,42““轮船”,A=“乘汽车”,A4=“乘飞机 品的概率 100-4 072 4)=104)=,ADR=2 110个行牛有3个次品,一次数一个要件,不放回地连取4洗,求第4次才取得次品的 P(BIA P(B|A)=0 由全概率公式 解:设A“第1次取到正品°,(=1234,则第4次才取到次品的概率为 PAAA乙)=2,,2 P(B)-2P(B1A)P(A)4103527028350192 20后球盒中有15只球,其中当只是没有用过的新球,第一次比赛时任取3只使用,用 P41B)=24B)3/40 P4,/).A448 120-3 后放回。第二次比赛时也任取3只,求此3只球都是新的概率 解:设A一“第一次取出的全是球”,4“第一改取出的是1新2旧的球,A=“路 x 23.设甲,乙、丙三校导弹向间一数机射击,甲,乙、丙击中敌机的概率分别为)400.7 如果只育一导弹击中,飞机坠的率为02如果有两权导弹击中,飞机坠的概 :5.设1>F(4>D.1>P(B)>0,证调 率为D.5;如果有三枚导弹击中,飞机坠型的概率为391求 )4与B相互独立→P(AB)=P(4B) 1)飞机验的概率 2)如只事AB发生导效事件C发生,证明P(A)+P(B)-P(C)s 飞机验毁,求是两枚导弹击中的概 解:设,一“甲乙丙均来中”,A=“甲中、乙润米中,A=“乙中、甲丙未中,A=”因 )P(AB)>P(A)曰PBA)>°(B) A-“甲乙中,丙来中”4=“日丙中、乙 均中,B=“飞机坠没” (1)PB)=( F (0.4x0.5x0.3+04xC.5×0.7+06×05×0.7×0.6+ P(AB)E AB) PLA4-P(BI P(8) 04×0.5×07)x09 (2)(04x05×03414x05×01-0605×00×069=0s4 P(ABzRAPS P(8) 即只A的=P(AP(B),所以A与B相互独立 4世有两装有同号的零件,第一箱内簧50只,其中10只一等品:第二箱内装30只 2)已如ABcC 中1只一等品,现从两箱中随机选一箱,然后从该箱中先后两次随机取两只零作(每 PC)2PA)-P(A+PB只B)2P(A+P(B)-1 取一几,不的),试求1)第一次取到的零件的一等品的概率:2)已知第一次取到 >/(A PEAB)2[TA(BI 一等品,第一次出的也是一等品的些率 解,设A““中第一超°,A“这中第二箱“,B=“第一次双到的零件是一等品’,则 P(AB)、PDP(B :8A PL PO-F(B) PA-5 P4= P(814)==, P(BL4,) “=”同理司证 (1)由全原率公式 26.在四次重短独立试验中,事件A在每次试验中出现的概率曰导,如果已如A在试 PA)-P18147A4)+P(B14, )P(A)=0xL+ 18 轴中至少比现一次的概率为一,求A在一次试验中出现的率 (2)设C=”第二次取到的学件是一等品”,则 解:设A在一次试验中出现约概苹为P,由题意知,A在次试敌中都米出现的概丰为 0.486 少要进行多 击才使至少音中 解:设A=“进球数均“,=01,23,则所求概率为 于09 ,设A=“射击中目标,A一“第(次独立射击合中日标”(=12,,n P=03042+C2:03207×C3042.06+CC3.032xC04C62 A44…)=1-P(A…A)209,即1-08209721032,故 03 51.在下图1所示电落中,开卖a,b,c,d接通或断开的概苹都是5,各开关接通断 28.甲,乙两选手比,假定每局比赛甲胜的概率为0.6,乙胜的概率为0.4那么采阳3 开相互独立,在三知灯的条件下,求开关a与b同时接通的概 局2胜制正是5用3胜制对甲更为 H,采用3局2胜制,甲最终获肚,其胜局的情况是,“甲甲“或“乙甲甲”或“甲乙甲” 而这三种结局互不相容,于是由強立性海甲最终获胜的概率为 62+20620-0.6)=0.648 采用5周3胜制,甲最终获胜,里少需要比3同(可能赛3局、也可能赛4局或5 图1 局),且最后一必需是甲胜,而面甲需胜2周,例如,共赛4局,测甲的胜局情况 解:没E=“灯亮” 是“甲乙甲甲“或“乙甲平甲”或“甲甲乙甲”而这二种姑同互不相享,白使立性得 DEy=Pahvcudy 在5)胜制下甲最终跃胜的概率为 P(ab)+Plek+P(d-P(abe-Plabd)-Pedy+ Planed P2=062+C1063(-0.6+C10.63(0-0.6)2=065255>C.648 =a52+05+05-05302-053+05 胜采用5周3胜对甲望为有程 29.一个人的望为O2AB.AB的既分别为04604.01100.,现在随机地挑选5人 .8125 下列事件的极率 P{ab=Pab正/P(E=0.530.8125=0.3077 1)两人为O型,其他三人分别为A,B,AB 32.如下图2所示,CD系填中各元件正常工作的概率均为P,且各元件是否正二作互 三人为O型血,再人为A型血 独立,求CD统正常工作的能率 5)没有人为AB型 解,设上述求解问题分别为事作A,B、C 汽0=C0462G104c10日00=00168 的=104 解:P系CD正常工的 图2 )C==(AB)y=0-00)2=0.8587 四(U4,, 5.设甲,乙两运动拉造鱼中分别为(3,06,若每人投3次,求两人进球数相 =P{a1吗2}P向1a 等的据事 P}+P问21-F(a2)Pa a)}+P问}一P(向,吗过 (2p-p2)g2+p2-p) rd) 4p3-2p2-2p3+p 5.在单位圆的圆周上任取三点,求三点构成钝角三角形的概率 解:取单位周的三没弧长分别为1x、y,2n-x-y,则样本空间表示为 将n个“0°与n个“1”随机排列,求没有两个1”连在一起的概率? 0<x<27 解:8共m个位置,选出n个取0.剩下个放1,故样本总数是C3故 12=1(x)10<y<27),即0=(xy)10y<271 0≤2-x-y<2丌 设A=“三点构成钝角三角形”,A一“三点构成试角三角形” 2.5个人在第一层进入十一层楼的电梯,假如每个人以相同的概率走出任一层楼(从第二 0<x 0<x< 层开始),求这5个人在不同楼层走出的概率 4=(x.y)10<y< 即A=1(xy)10<y<r styer 解,古典概率问题,因每个人都有可能在十层楼的任一层定出,的样本总数为103,而每层 Pra 棱里多有一个人建出为,故:P=-03024 面几仰区域图形如下 3从10不同号码的中随机取只,求下列事件的概率 1)A=“没有两只配对 134199 2)汽B) 2 21 有一类有奖售 为一套,收离 而 齐一套可获大奖。求购买k(>n)设食品收集产一套券的概率 中有2个球3个白球,规有放回从中摸球,求4次顶到黑球是在第6次损 解:设B=”购买的k袋食品收集一套赠券”,A=“购买的旋食品收到第(张增 则B=A A1…x) P)=(2-y.:=12…-n 2 P=A)A==(=112 A有x)=(2二)y,(=kk12… 则 P可…)=(”)=0 (第一份相到女生表第份抽到男)50=610323 9.要验收100件产品,如果从中生取3件(不放回).这3件中有一件次品就拒地接受这批 产品,一件次品被检查出概率为295,而一件正品被识为次品的概末为0C1,如果 Ab)=2xc"2,c"ny-+(c: 这1(0件产品中有4件是次品,求这批产品被接受的概率 解1:设A=“有个次品”=C12,3、B=“被接受 PIRI=PA 8)+P(A B)+P(4 8)+P(, B) 故P的=1-R面)=1-(-0cy Co092+-::005-092+ Cn0509,S 005 7.假设一厂家生产的每台机器,以概率0.7可以直接出厂:以概率03需要进一多调试,经 解2,设A为“一件产品为次品,B=“被检测出次品 调式后以照率D8可以出厂以概率02定为不含格品不能出厂,现该厂新生产了m(n22) P B)=P(4)P(B A)+ P(A)P(B 1A) 台仪器(假设各台仅器的生产过程相互独立),求 095+0.01 1)全能出厂的概率a1 =00470 2)其中恰有两件不能出厂的概P: P(B)=0.9524 3)其中至少有两件不能出厂的概率y 没C“这批广品掀接受”等价于“检测出3产品全大正品 Da=(07+03×08)°=094 耳:PC)=0.9524)≈0.5659(注意:此结果用到了立性) 1C.假定莫种病菌在某区的人口中带苗率为10%,又在测时,带菌者呈阳性,阴性反 2)B=C0002-0942 的概率为095和005.而不带蓝者显阳性,阴性反应的概丰为001和09,某人被独立 3)y=1-094°-C:0060944 地检测3次,发现2次呈阳性反,1次呈阴性反应。司该人为带菌者的率是多少? 设有宋自三个地区的各10名,15名和25名听生的报名表,其中女主的报名表分别为3, 解设A=“带菌者,B=“呈阳性,则 7.5份,机地取一个池区,从中先后出2份,求 P(0=C.1,P(A)=09,B(B14=095,BB|4)=005,PBA)=001 1)地到的一份是女生表的概率 2)已知后抽到的一份的勇生表,求光抽到的一份是女生表的概率 P(B1A)=099 解D)P选油到的一价是女生表3,12,1,5,129032 C=“2次呈阳性反应,1次呈阴性及应 10315 2)由P(第二份轴到男生表) 252390 P(C)=P(A)P(CIA)+P(a)PC.) P第一二份均抽到男生表)P(第一份到生表,第二份油到男生表 =ex01x0.9s5×0.05-09×0012×0.9 00 P(AC) 所求概率为P(AOP(OC3x[01×095×0.05+0.9×001×0.99 0.9806 习题二 A组 1,一批产品中有13件正品2件次品,现从中不放回抽取3件,求抽到次品数X的分布函数 X的所有可能取值为0、1、2 P{x=0} 22 P{x=1 P{X=2}= ,0≤x<1 22 2.一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5,从袋中同时取出3只,以X表示取出的3只 球中的最大号码,试求:1)X的分布律:2)X的分布函数,并面图 解:1)X的可能取值为345 P{X=3}=P{X≤3}-P(Xs2 P[X=4=PX≤4}-P{x≤3 C31010 P(x=5=P{X≤5}-Px≤4 6 1010 0,3 0.6 0 0.1,3 F(x)=P{X≤x 0.4,4 5 3.设一学生用同一台机床接连独立地制造3个同种零件,第i个为不合格品的概率为 Pi (=12,3),以X表示3个零件中的合格品数,求X的分布律 解:X的可能取值:0,1,2,3 设AG=123)表示第个零件是合特品 4 x=0)=P4)=了424 (2)P(x>3)=1 +=0.5666 11112111 Px=D=PA+R2)+P4)=234234-24 7,设X-P12),且PX一1=PX=2)},求P{X=4 121123.1 Px=2)=PA4)+P424)+汽A4 423423424 解 4),Px=1=Px=2),所以 x=3)=44=方4=24 4.设机变量X的分有律为Px=对一B,k=12…且P(x>1=,试确定参数 又儿>0,所以A=2,即 5.有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车遗过,设母辆汽车在一天的某段时间内出事故的概 解:因为∑B2=1PCX=1)= 率为0001,在某天的该段时闭内有1000辆汽车语过,问出事故的次数不小于的概是多 利用几问级数,即 解:因为X-B(1000,0.0001),所以 m1.R=-解出:B=3,A P22}=1-P(=01=1-09999-10×C.01×09994 5.某建筑工地装有5个同类型的供水设备,设在同一时刘设备被使用的概率为0.2,各设备 ≈1-e0-01×e=0.0047 是否被使用相互独立,求在同一时斜下列事件的概率 9.学校垂汽车到父站的有4个交通岗,设在各个文通岗遇到红灯的事件是相互丝 (1)最多2个设备被使用 (2)至少有2个设备被使 立的,且概都是2,以X表示汽本学下时道过的交岗个数,求X的分在 解,设X为同一时到用的设备数,可能取值为:0,1.2,3,+,5 则X-B(502) )Pxs2-∑PX=)=∑C×02x082=09421 Y的可能取值0.1.2,3.4 (2)P(x22)=1-PX=0,1=1-0.83-5×02×0.8=02627 6.一电话总机恒分钟收到可唤次数X服从参数为4的自松分布,求(1)某一分钟恰有3次 X=D-g2)= 呼确的吸军:(2)某一分钟的可映次数大于3的概率 x=2)=( 解:(1x-P4 Px=3)=()= 鬥x=8)=2c Rx+}2与宁 随机变量X的分 为F(x)=A (1)求常数A与B (1)求X的分布数:并画f(x)F(x)的图形:(2)求概率P{Xs1.5 (2)求P(xc(-1,1) (3)求X的密度函数f(x) x<0 解,(1)由分布函数的性质有 B F 1=P(+∞)=A+Ba( 0=F(-∞)=A+Bar A-1,a= P(x1s=(xo+(2-)h=085 3.设随变量X具有密度函数 11 Px(-1B)=FD=F(=1=+x artel) 1 0)=F1)a+x5, (1)求苦数A:(2)求P;<≤2}:(3)求X的分布通数 1.,设随机变量x的分布函数为 解:(1)由密度函数的性虑有 F(liNx, Isse 1=()a-f 24可csn)-mm(-=4r (1)求概率PX<1S),P2<x≤3 (2)X的出度函数f(x) 解:(1PX<1S)=F15)=la.5)=ln3-ln2 P12<X53=F(3)-F(2)=1-102 (3)当x≤+1时 F(a)=PIrex)=I/(r r=[ Out=0 (2)f(x) 1≤x<g 当<1时 其它 12.机变量x的密度函数为 F()=Px=,(0)上一mx订:2 srel f(x)=2-x 当1时 其它 (<对=()=(一乙a=1 f(x)={8 x2,0<x<2 以X的分布函数为 Fal-I,aesir t, -Isr< 解:因为X与y同分布,所以A)=P(B),因A与B独立,所以P(AB)=P(APB,于 RE3 4=F(AU B=P(A)+ P(B)-PLA)F(B) 14、设随机变量X具百密度函数 含:=F(A=P(B),则 f() (1)求常数Ax -2+=0 所以t12或32.显然t=32不合题意,含去,于是 3)宋X的分布函数 =0=Px>=[1()a=-=1 解:(1)由出度函数的性质育 1=(1)h=上4“a=2了A”b=24 日a=4 N(3,4), (1)求P2<X≤5},P(4<x<10l,F(xp2} rx1=f()“=门=036 (2)确定常数c,使得Px>}=PX≤e 3)当x0时,有 当0时,有 P2<X≤5-d ()=(1)-1+(0.5)=0.5328 Pt 所以X的分布函数为 叫x2Px=3+Px2=023+202129m 0 g,x20 mx4=13= 设抗变量工与下用分布,X具有密度函数 ()=05 17.设一工厂生产的电子元的寿命X-N060.02),求P20sx<2002队3,允 字最大为多 40X-16040 0.1×020-220000x02102)-4 08=P120sx<200=P 23月1+02×1-4(240-22 =0.201×0.5+0.0991-①(08)≈0D641 4)=09,.查表得=1238,于是=3125 18.没X~N(0.4且P(X-10<a}=09,试确定a 2=PCA1B)=242=901x(202-1a09 PBy 00541 解:0.9=P x,03=0-=(2=202- 21.设X一N(31),现对X的值进行四次独立观测,求至少有两次观测到的值大于3的概率 所以()=095,查表得二=164,于是a=3.28 解:P{x>3=1-)=0 19.设X一N(60.9,求分点而,使X分别落在(一x),(而,=,(不,+∞)的概率之比为3 了表示四次独立残测中事件>3}出现的数,则Y~B(4,C.5), 4:5 w::X-N(605) PF≥2}=1-PP=01=1-0.54×0.54-06875 PX≤}P<x≤x2}Px2x2}=3+:5 2设x一M(24Y=10F=B习0)的分布律:3占 5-0)=3=025.a(=60)=7-0583 解:P区X∈(13)=中()-中(-)-210.5)-1=0383 所以n1=57975 30.,在电源电压不题过200优伏,200-240和超过240伏三种情况下,某电子元性损不的概 06172383 率分别为01、0和02,假设电源电压服从正态分布N(220,25),试求 1》该电子元件词坏的 0 E(y)=F<y-10.617,0cys1 (2)当该电子元件描坏时,电子电压在200-240伏的概率B 解:设电国电压为X,副A={x≤200,.42=1200<x5240),4={x>240) F(5)-0.6 设B表示某电子元件损环,x~N020,252) 23.投X具有分布律: x212 己知nB1A)=0L,PB4 PB14)=02 P (1)a=PB)=∑門APBA) 求(1)x+2:(2)-X+1(1)x的分市律 12 x+1 32

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