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IE598NH-lecture-18-Stochastic Variational Inequalities.pdf

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IE598NH-lecture-18-Stochastic Variational

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Stochastic Variational Inequalities

Presenter: Peijun Xiao

Department of Industrial and Enterprise Systems Engineering (ISE)

University of Illinois at Urbana-Champaign (UIUC)

IE598 Fall 2020 Course Project

April 2, 2020

Overview

Introduction to Variational Inequalities

Weakly-Convex-Weakly-Concave Saddle-Point Problems

Stochastic Vairational Inequalities for Multi-stages

Stochastic Mirror Prox

2 / 47

Outline

Introduction to Variational Inequalities

Weakly-Convex-Weakly-Concave Saddle-Point Problems

Stochastic Vairational Inequalities for Multi-stages

Stochastic Mirror Prox

Introduction to Variational Inequalities 3 / 47

Start with Optimality Conditions

Consider minimizing a smooth convex function f(x) over a compact set C,

min

x∈C

f(x).

The feasible set at x

∗

is S

feasible

∗

) = {s ∈ R

| s := x

− x

∗

, x

∈ C}

The descent set at x

∗

is S

descent

∗

) = {s ∈ R

| hs, ∇f (x

∗

)i < 0}

A point x

∗

is optimal if x

∗

∈ C and S

feasible

∗

) ∩ S

descent

∗

) = ∅, i.e.

h∇f(x

∗

), x

− x

∗

i ≥ 0, ∀x

∈ C

This is equivalent to say

∇f(x

∗

) ∈ N

∗

) = {h ∈ R

| h

− x

∗

) ≥ 0, ∀x

∈ C}. (1)

Introduction to Variational Inequalities 4 / 47

Start with Optimality Conditions

Consider minimizing a smooth convex function f(x) over a compact set C,

min

x∈C

f(x).

The feasible set at x

∗

is S

feasible

∗

) = {s ∈ R

| s := x

− x

∗

, x

∈ C}

The descent set at x

∗

is S

descent

∗

) = {s ∈ R

| hs, ∇f (x

∗

)i < 0}

A point x

∗

is optimal if x

∗

∈ C and S

feasible

∗

) ∩ S

descent

∗

) = ∅, i.e.

h∇f(x

∗

), x

− x

∗

i ≥ 0, ∀x

∈ C

This is equivalent to say

∇f(x

∗

) ∈ N

∗

) = {h ∈ R

| h

− x

∗

) ≥ 0, ∀x

∈ C}. (1)

Introduction to Variational Inequalities 4 / 47

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