01.抽屉原则及其他-常庚哲 初等数学小丛书(1).pdf

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01.抽屉原则及其他-常庚哲 初等数学小丛书(1).pdf
抽屉乐则孜其他 常庚哲 上海教育出版社出版 C无称永隔路]23号 面学:上海发行所发行上海崇明印刷}印刷 开本7X11限张t65字数800 12月萬照398年月上玄郎 印】85,0本 统一书号:750·196定价:015元 前言 “把牛1个或者更多的物体放到骼个集合之守,那末,至 少有一个集合里要放进两个或者夏多的物体”,这就是抽屉愿 则的最简单的形式。抽屉原则又叫重迭原则,虽然它的正确 性十分明显,很容易被不其备多少数学知识的廴所接受,但 是,加以灵活运用,可能得到一些意想不到的结果。各种形式 的抽屉原则,在初等数学乃至高等数学中,经常地被采用着 本书以抽屉原则为主题,着重介绍了它在初等数论中的 些应用,因此,书中不得不引进“初等数论”中的一些基本 知识,如:同余式,用有理数来逼迸无理数不定方程,数的 儿何等等,但并不对这些作进一步的讨论.作者其所以作出 这种安排,是希望读者不单单知道什么是抽屉原则这 本来是不难做到的,还能接触到一些在中学数学教析中读不 到的内容,以扩大他们的知识面,增强他们学习数学的兴趣 1978年4月,在全部分省市中学生数学竞赛举行的前 夕,作者曾以《抽屉原则》为题,在安徽省几个城市对中学生作 过讲演.本书就是在骂时讲稿的基础上扩充而成的.在编写 本卡第七节佩尔方献时候,征得严士健同志的同意,吸收了 他发表在《数学通报为1957年第7期上的一篇文章的部分内 容,特此忘谢.冯克勤、单撙、杨劲根和乎克正同志作者提供 了一些有趣的例题和习题,单同志还详细阅读了第七节的 初稿,提出了若于有益的建议,作者对他们表示哀心的感谢! 由于作者永乎的限制,错误和不妥之处,恐难避免,切望 演者批评指正。 作者 于1978筇7月 前言 第一堂算术课 ■●■■φ■自■φ山■↓卓·■■q「ψ■d■■ψ“d喜P■ψd■■晷卓■■导 、抽屉原则… 中■■曾■■ 2 三、一些例子 ◆ψ如如■·日“·日4日4↓口冒·日日晋日日◆口日日“:日q14日4山4q日■日卓嚼 4 四、剩余类 鲁■■b『■↓■留【■■■■■■■口■口·■■冒■口■■■晶 14 五、有理数和无理数 …20 六、不楚方程 ◆會■■■■■■■香■_饣■■唯昏『q4■申甲昏■■■甲_■■血■d●凸■■ 七、佩尔方程 ■d■卾■↓■■女■■P■■■■■甲■dq■■■即『■昌▲ ■叶■甲■ 八、面秩的重迭原则 8 练习题 ↓昌ψ··自■郾■↓自昌■↓■■』■■【■』郾』■』晶』4昌■■曝■』■■■↓』b↓昏+〓Jq;■4番 46 练习题解答概要 4昏ψ■鲁4中白冒·鲁ψ旷卓中音音1鲁●■ 48 第一堂算术课 新学年开始了 开学的那一天红星小学一年级一班第一堂就是算术课 任谋的张老师,是一位很有经验、很有水平的老教师.她讲课 深入浅出,活泼生动,凡是长期听张老师讲课的同学,总是不 蜘不端地对数学发生了浓厚的兴憋 张老师走进课堂,全班同学起立,向这位辛勤的园了致 敬.环视那几十张陌生耐可爱的小脸,张老师心里充满了无 限的喜悦.她用简单酝诚擎的语言向新同学表示祝贺和欢 迎接说道:我校今年招收了三百七十名一年级新生,他们 都年满六岁但还不到七岁.我说呀,这么多的新同学中间, 定有两个人是同年、同月、同日出生的.小同学们,你们说对 不对? 对于这个新奇的结论,大家感到有趣而又惊讶.同学们 低声地互相议论起来了 “张老师知道我们爆一个人的生时了吗? 不会的。她今天同我们才头一次见面,连我们的名字 始都叫不上来。” ■即鲁■ 张老师一定查看过我们的报名登记表了 这一句话恰巧被张老师听见了,姻笑着说:“我没有看过 你们的登记裘,而且,完全不必要看这些表,就可以得出这个 结论. 同学们更惊奇了! 张老师接着说:同学们想想看,把十只苹果放到九个抽 遥中去,无论怎么放,这九个抽屁中一定有一个抽底里放了两 只或两只以上的苹果.你们说对吗?”… “对!对!"同学们齐声答.小朋友所其备的学识,就足 以使他们明白:要是每个抽屈中最多只有一只苹果的话,那 么九个抽屉至多装着九个苹杲 好!我们把一年中的三百十五天年三再大于方 )的每一天,看成个抽屉,而把三百七十个新同学中的每 个人看成一只“苹果。孩照“苹果”出生的日子,把他们放 到对应的抽屉中去。由于“苹果”数目多于抽屉”数吕,就能 知道:“定有一个“轴屉中,少放着两只果”这就是 说;至少有个同学的生甘相同.再根据闻学们的钾龄差 不超过一岁,所以,这两个同学一定悬间年、同月、同日出生 的了.” 小朋友们恍然大悟,会心地微笑了 l 二、抽屉原则 运用第一节中采用过的推理方法,我们还可以证明如下 的更加令入惊讶的结论 根据常识,一个人的头发的根数不会超过二十万.因此, 在一个拥有二士多万人可的城市中,一定有那么两个,他们 的头发的根数相同, 捕理方法如下:我们设置二十万零一个“抽照”并且对 2 每一个物屉依次树王从0,1,2,3,…直翔20000之中的 一个号码.按各人头上头发的根数归入相应的→个“抽屉 比鄭说,如果张乐平同志画的三毛生活在这个城市,那么他就 归为标有号码“B”的那个“抽屜”我们没有理由排除这个 城宙中看留若光头的人,所以必须设置“0号抽屉”由于 人的数目多于“抽屈”的数目,可以断定,一定至少有两个人与 同一轴屉”对应这两个人自然就有同样多根头发了 容易看到这从本质来说,仍然是前节中“十只苹果”租 九个抽屉的推理方法.这种推理的正确性,“显然”到了连 小学一年级的学生也能完全接受.如果把这种推狸插广到更 圳一般的形式,其正确性也完全可以被不具备多少数学知识 的认所认识 怎样把这种推理推广到一般形式呢?我们来注意以下两 .如糝“苹果”换成皮球”、“铬笔”或数”,同时将“抽 屉”相应地换成“袋子”“文具盒或“数的集合,那么仍可 以得出相同的结论 这就是说:理的正确性与具体的对象没有关系.我们 把一切可以同苹果”互换的对象称之为元素”,而把一切可 以同“抽屉”互换的对象称之为“集合”,从而得知:十个元索 以任意的方式归入九个集合之中,那么其中一定有一个梟合 中歪少包含两个元素 2.“苹果”和抽屉”的具体数是无关紧要的,只要苹果 元素)的个数比抽屉(集合)的个数多,那么推理照样成立 于是,我们就可以把十只苹果利“九个抽屈”的推理方 法,推广到下述一般形式: 原一把多于个的元索按任一确定的方式分成个 集合,那么一定有一个集合中含有啊个或两个以上的元素。 原则一还有以下更加一数的形式: 原〓把多于m×鶉个的元索按任一确定的方式分或 路个集合,那么一定有-个集合中含有%+1个或m子1个以 上的元素 这是很明显的,因为若每个集合中所含元素的数目均不 超过m,那么这个集合所含元素个数就不会超过m 原期三把无勞个元素按住一确定的方式分成有穷个集 合那么至少有-个集合中仍含无穷多个元藏 这也是很显然的,这是因为,如果每个集合中只含有穷多 元素那么有穿个集合只能包含有穷个元素。 以上三个原则都称为抽屉原则.看上去,它们都是非常 辚单的.可是,正是这操一些很简单的原则,在初等数学乃至 高等数学中有着许多应用.巧妙地运用这些原则,可以很顺 梨地解冖些看上去胡当复杂、甚至觉得简直无从下手的数 徽题。 ++ 些例子 在本节我们运用抽屉原刺,来证明初等数学中的一些题 [例1在边长为1的正方形内任意放置五个点,求证: 其中必有两点,这两点之阔的距离不大于2 证明将这个正方形的两对对边上的中点连接起来, 它分成四个大小相等的小正方形(图1).在大正方形里任放 五个点,就相当于把五个点以任一确定的方 式投放在这四个小正方形中.这里,我们把 每一个小正方形看成一个“抽屈”于是问题 就归绪为把五个元素(点)放入四个“抽屉(小 正方形).根据前节的原则一,必有一个小正 方形,其中包含两个或两个以上的点,对于其 中的两点,它们阔的距离不会超速小王方形对角线的长度即 大业方形对角线长度的一半,即不大于2 例2空间中有六个点,其中任何三点都不共线,任何 四点都不共面.在每两点之间连起直线段之后,将每一条这 样的线段或涂上红色,或涂上蓝色,求证:不论如何涂色 定存在一个三角形,它的三边有相同的颜色 证明从任一点出发,到其余五个点,共可联五条线段 由于这五条线段已被红、蓝两种颜色所涂染,如果把红线段分 入一个“轴屉”,蓝线段分入另一↑“抽屉”2于是间题就归结为 五个元素(线段),即多于2×2个元素,分到2个轴屉”(蓝色或 红色)按照原则二,其中至少有三条线段被分入同一“抽屉, 即染有相同的颜色,例如说是红色(图2中 的实线).我们来者察这三条由同一点出 发,具有相同颜色的线段,把这三条线段的 另外三个端点两两联接超来,就构成了图 2所示的虚线三角形.如果有一条虚线被 涂成红色,那么它就与两条实线组成一个 红边三角形;如果这三条线中一条红边也没有,那么它们本 身就组成一个蓝边三角形了 [例8在边长为1的正方形中,意放入9个点,证

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