北航数值分析作业第三题

【北航数值分析作业第三题】是一道涉及数值方法的计算实习题目，要求在指定区域D内找到函数f(x,y)的一个近似表达式。在这个过程中，主要运用了两种数值方法：牛顿迭代法和最小二乘法曲面拟合。 1. **牛顿迭代法**：在该问题中，牛顿迭代法被用来求解原题中的方程组。牛顿迭代法是一种优化算法，用于求解多元函数的根。在这个作业中，由于简单的迭代法（可能是直接迭代）未能达到收敛，因此采用了牛顿迭代法。算法首先需要给出初始近似值，然后通过迭代公式不断改进，直到满足一定的精度要求（例如，误差小于EPSL）。在代码中，定义了迭代的最大次数L和精度阈值EPSL，以确保迭代过程的稳定性和准确性。 2. **分片二次代数插值法**：在获得了一组解(x_i, y_j, z_ij)之后，这些点被用来构建一个分片二次多项式，用于插值原函数f(x,y)在区域D内的值。分片二次代数插值是将整个区间划分为多个子区间，每个子区间上使用二次多项式进行插值，这样可以更灵活地近似复杂的函数行为。 3. **最小二乘法曲面拟合**：为了得到更精确的函数近似，采用最小二乘法对之前求得的z=f(x,y)的数值解进行曲面拟合。最小二乘法是一种优化技术，旨在找到最佳拟合曲线或曲面，使得所有数据点到该拟合曲面的垂直距离平方和最小。在这个过程中，定义了一个固定的拟合次数上限K，对z=f(x,y)进行多次拟合，直到残差平方和达到预设的阈值SIGSUM。在代码中，定义了MATLAB中的CRS矩阵来存储拟合参数。 4. **评估拟合效果**：通过计算拟合后的残差和观察其变化，评估逼近的效果。这可以通过比较不同次数k的拟合结果和实际数值解的差异来实现。在代码中，`result_out`函数很可能是用于输出这些结果的。 总结起来，这个作业涵盖了数值分析中的关键概念，包括牛顿迭代法解决非线性方程组、分片二次插值和最小二乘法进行曲面拟合。学生需要理解并实现这些方法，通过编程来求解特定问题。在实践中，数值方法的正确应用不仅需要理论知识，还需要对算法和编程的熟练掌握。