四元数乘法 及其可易性

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四元数乘法 及其可易性 自动控制 欧拉角 坐标轴
第2期 肖尚彬:四元数矩阵的乘法及其可易性 三、四元数矩阵乘法的可易性 关系式(27)表明两个四元数相乘的次序可以颠倒: (P)g=M(o+P 其中P,Q表为列矩阵,它们的结构相同;但M(P)是四元数矩阵,而M(Q)'是蜕变矩阵 两个方阵结构不同.这种可易性我们称为形式可易 现在研究两个以上四元数的乘法规则.设有三个连续转动四元数P,9,S,其合成 转动四元数可以通过依次应用式(24)和(26)而得到,对于三个四元数,有下列两种结 合形式: 1.取结合式 A=POS=[]S (32) 先将[PQ]看成一个四元数,应用(26)得 A=M(S)*[PQ] 再将[PQ]看成两个四元数的乘积应用(24)与(26)得 Pe=M(P)Q=M(QtP 于是得到 A= M(S)+M(P)g=M(s)*tM(o)*P 2取结合式 A=Pgs=PIgS 34) 先将[QS]看成一个四元数,应用(24)得 A=M(P[OS 再将[QS]看成两个四元数的乘积,应用(24)与(2.6)得 ps=M(S=M(S)+g 于是得到 A-M(P)M(OS=M(P)M(S)+o (35) 对于四个四元数,仍取两种结合形式 A- PQSR=P[OSR]=M(P)M(OM(SR M(P)M(OM(R+S M(P)M(R)*M(O)S M(P)M(R*M(S)+g (36) A- POSR=[POSIR= M(R)*M(P)M(OS M(R)*M(P)M(S+o - M(R)+M(S)+M(P)g M(R)+M(S)+M(9)+P (37) 以此类推,对于n个四元数相乘的情形,也只能采用将首尾两个因子各自独立的两种 结合形式,因为这种乘法的依据是两个四元数相乘的规则(24)和(26)式.由此可见, 采用四元数矩阵乘法可将相乘因子中任何一个移至最后,这样一来就可以将变化最大的 C1994-2012ChinaAcademicJournalelEctronicPublishingHouseAllrightsreservedhttp://www.cnki.net 162 力 学 学 报 (1984年)第16卷 因子与其它不变化或变化较小的因子相隔离.同时可以得出下列的一般规则: 1.同名矩阵(均带“+”号或均不带“+”号)相乘,其次序不可改变,即 M(PM(Q)≠M(Q)M(P) M(P)+M(g)**M(o*M(P) (38) 2异名矩阵(一带“+”号一不带“+”号)相乘,其次序可以改变,即 M(P)M(O+= M(o)*M(P) (39) 如前指出,这种可易性实质土是形式的,也称为条件可易 3两个因子相乘有两种形式的结果,以后每增加一个因子,结果数目成倍增加,亦即 从n≡2开始,因子数如按等差级数增加,公差是1:结果数则按等比级数增加,公比是 4任何数目因子相乘,由于只能采用将首尾两个因子各自独立的两种结合形式,因此 在结果中首尾两个因子只能分别被隔离一次 5.蜕变矩阵的出现表示有限转轴的位置已经发生变化,它不再代表绕固联于惯性空 间的轴的有限转动,而是代表绕经过旋转变换后的动轴的有限转动.但在计算中不须寻 求被变换后新的有限转轴的位置,而只须以蜕变矩阵代替对应的四元数矩阵 四、四元数矩阵变换算子 设有规范化四元数A,其共轭四元数为A3,将它作为变换算子,对矢量r进行变换, 从r到r的变换式为 r'= ArA*=M(AM(A)r=M(A)+M(Ar 式中四元数矩阵M()的共轭四元数矩阵M(A*)及其蜕变矩阵M(A*)+具有下列形 式 λ。λx223 λ12 M(A*)= (42) M(A*)+= (43) 将M(A)和(13)代人(41),便得所求的变换式,其中变换矩阵为 W=M(AM(A+ 0 0 02-42-232(1l2-03) 2(4213+x2) (44) 02(x12+礼0l3)2+a2-2-232(23-4031) 02(433-02)2(23+λ1)2+一-42 这个变换矩阵也可以用四元数其它形式的乘法运算求得,但没有四元数矩阵方法简捷直 观 C1994-2012ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouseAllrightsreservedhttp://www.cnki.net 第2期 肖尚彬:四元数矩阵的乘法及其可易性 163 五、有限转动定理的证明 刚体的有限转动定理陈述如下:设刚体绕过定点的相交轴作连续的有限转动,其合 成转动的数值与各个连续转动的次序无关:但刚体的最终姿态则与连续转动的次序有关, 合成转动的转轴位置随连续转动的次序而改变,J.S. Beggs用欧拉参数法证明了它,但 证法很繁,这里我们用四元数矩阵乘法加以证明 设刚体绕过定点的相交轴作两次连续转动,转动四元数用列矩阵表示为 P。p1,p2P3」 Q=[q,;q2q3]2 (5 其顺序合成与逆序合成转动分别用顺乘与逆乘四元数表为如下形式 A=[0,孔 1;儿2 λ3] A=[λ,λ1,2,43] (52) 按四元数矩阵乘法规则,得顺序合成转动为 A=Pg=M(P)g (53) 逆序合成转动为 A'=QP= M(P)+g (54) M(P),M(P)的第一行分别乘以列矩阵9=[,,2,q],决定合成转动四元 数A,A的标量部分,它们并不改变,即有等式 p242一P393 (55) 于是得出两个合成转动的转角数值相等:6=0 合成转动的转轴位置决定于M(P)与M(P)+的矢量子阵,显然它们是不相同的。亦 即,当有限转动的次序改变后刚体的最终姿态亦随之而改变 以上就是有限转动定理的四元数证法 刚体最终姿态的改变我们用两个合成转动的偏差四元数△AA-A表示,这种 偏差称为交换误差,可按下式计算 △A=A-A=[M(P)一M(P)]Q (56) 实例设x,y,z为三根互相垂直的轴,两个连续转动为:绕x轴转过90°,再绕y 轴转过90°.求交换误差. 解:首先将两个连续转动表为四元数列矩阵,即 P=[√2/2,√2/2,0,0 Q=Iy2/2,0,√2/2,0]T 顺乘四元数等于 A-Pg=M(P)g 2/20 √2/2 √2/2√2/2 0 0 1/2 0 /211√2/ 逆乘四元数等于 C1994-2012ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouseAllrightsreservedhttp://www.cnki.net 164 力 学 学 报 (1984年)第16卷 A= OP=M(P)+Q 2/2 √2/2 1/2 √2/2√2/2 2 1/2 0 √2/2√2/2 交换误差由最终姿态的偏差四元数确定,即 △A=[1/2,1/2,1/2,1/21-[1/2,1/2,1/2,-1/2]T [0,0,0,1 可见,△A的标量部分为零,即合成转动的数值不变;而△A矢量部分的三个分量为0,0 1,即合成转轴的位置发生了变化 六、有限转动的合成 设刚体从初始位置到最终位置的有限转动,是通过三次连续转动达到的:先绕达尔 布三面体abc的棱边a转过角a,再绕棱边b转过角β,最后绕棱边c转过角.a,B,7 称为克雷洛夫角,可表为四元数矩阵式 2 F,0,sB,0 (61) R 式中采用了省写符号c〓cos,s=sin 总转动由P,Q,R的乘积确定,即 A=POR=M(P)M(OR (62) 或 202 0 0 0 (63) 最后求得总转动四元数分量的克雷洛夫角表式为 C1994-2012ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouseAllrightsreservedhttp://www.cnki.net 第2期 肖尚彬:四元数矩阵的乘法及其可易性 165 222 十c 2 2 64) s 282 2 222 设三个连续转动为:先绕达尔布三面体abc的棱边c转过角ψ,再绕棱边a转过角 θ,最后又绕棱边c转过角q.ψ,0,q称为古典欧拉角,可表为四元数矩阵式: 29} s 中202g2 s,0,0 (6.5 0 099 总转动四元数为 A=POR= M(P)M(OR 或 0 0 0 2 2 2 c 0 0 2 2 0 0 2 0 s 2 (66) 最后求得总转动四元数分量的古典欧拉角表式为 q cos e l+ 2 222 ds0 p 十 0-q n Cos 222 2 2 (67) y一q n SIn 22 φq 十 cos 0 +op Sin 2 参学文献 1] Ickes, B. P, A New Method for Performing Digital Control System Attitude Computation using C1994-2012ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouseAllrightsreservedhttp://www.cnki.net l66 力 学 报 (1984年)第16卷 Quaternios. AIAA 8, 1(1970) 2]张光枢刚体有限转动合成的可交换性力学学报4(1982),363-368 1 Beggs, J. S, Pestel's Theorem on Finite Rotations, ACT'A Mechanica, 20, 1-2,(1974) [4] Harding, C. F, Solution to Euler'g Gyrodynamics, Applied Mechanics, Paper No. 63-WA-60 [5]勃拉涅茨,B.H,什梅格列夫斯基,H.江,四元数在刚体定位问题中的应用,架振和译国防工业出版社 (1977) MULTIPLICATION OF QUATERNION MATRIXES AND ITS COMMUTATIVITY Xiao Shangbin (Northwest Polytechnical University) Abstract In this paper, the multiplication of quaternion matrixes is discussed, and general rule for commutativity of quaternion matrixes multiplication is obtained. Moreover, this method is conveniently used to prove the theorem for finite rotations of a rigid body and to com pose the finite rotations of a rigid body. This method developed the conclusion in referen- ce [1], and it possesses practical value in strapdown attitude computations C1994-2012ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouseAllrightsreservedhttp://www.cnki.net

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