数学竞赛辅导书

所需积分/C币:41 2018-09-01 15:42:49 9.85MB PDF
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此书习题种类众多,涵盖竞赛大纲所有知识点,解题方法典型,解题技巧多样化,难易程度适中,如果有想要参加全国大学生数学竞赛的同学可下载此书,本书中计算题已给出答案,较难的证明题也给出提示。旨在使学生进一步深化课本内所学的知识,以提高数学素养。
目录 三、主要方法梳理 P甲q 四、精选备赛练习题………… 205 A组 B组 206 附:解答 …207 第五章多元函数积分学 核心内容提装 、典型例题精解 ■■■■ ………………………………………………………………………228 A组……………… 8 B组 早平司 C组 251 、主要方法梳理 266 四、精选备赛练丬题 271 A组 271 B组… ··日 272 附:解答 国上 274 第六章无穷级数 294 、核心内容提要… +·-·4··+ 典型例题精解 297 A组 ■■■ 297 B组 310 、主要方法梳理… 321 四、精选备赛练习题 A组 …325 B组 ······4·· 326 附:解答 328 第七章微分方程 、核心内容提要… 4晷 347 、典型例题精解…… 348 A组…… B组… ·.自4···· d■哥 358 、主要方法梳理… 377 四、精选备赛练习题 379 A组 ■里· ………379 B组 380 附:解答 附录全国大学生(本科·非数学类)数学竞赛初赛(区赛)、决赛试题及精解………401 A第一届初赛(区赛)试题及精解 401 B第一届决赛试题及精解………… 407 樂二届初赛(区赛)试题及精解……………………………… 中看■t由垂看■导萨■自◆卩■ 414 D第二届决赛试题及精解……… 419 E第三届初赛(区赛)试题精解 ……425 大学生〔木科·非数学类)数学竞赛辅导2014版高等数学精题·精讲·精练 F第三届决赛试题及精解…… 430 G第四屈初赛(区赛)试题及精解 H第四届决赛试题及糈解… ‘4 参考文献… ■「中导· 450 第一章 极限与连续 、核心内容提要 .函数极限运算法则 以下的x→x也可以换为xr,x→>x。,xx∞,x十∞或xx∞ (1)设limf(x)=A,img(x)=B,k为常数,则 lim[f(x)tg(x)J=A+B, limkf(x)=kA, limf(x)g(r)=AB; (2)设lmf(x)=A,lmg(x)=B≠0,则 li A x0(x)B氵 (3设lmf(x)=A>0,limg(x)B,则 limlf(r)23=A (4)设limg(x)=lo,linf(a)=A,且在点x的某个去心邻域内,a-9(x),则 limf((r))=limf(u)=A. 注:数列极限是特殊的函数极限,所以以上运算法则对数列极限也是适合的 2.数列极限存在准则 准则I设数列{xn,如果存在数列:yn},{zn},使得 yn≤xn≤zn(n=1,2 且 limy= lima=A 则 A 准则Ⅱ如果数列{xn}单调不减有上界或单调不增有下界,则lmxn存在 3.施笃兹定理 设数列{xn}与{yn},其中{yn}单调增加且趋于+∞.如果lim5-2存在或为∞,则 r-1 4.重要极限与常用极限 (1)重要极限 >大学生{本科·非数学类)数学竞赛辅导2014版高等数学精题·精讲·精练 limin x-1;推广形式:mink一k(其中,为常数) x0. lm(1+2)=e1i4+1)÷=,推厂形式:m(1+)一“或im(1+kx)=c(其 中,为常数). (2)常用极限 1mln(1+x)-1,im0-1-1以及 (1+x)—1 lIn 5.无穷小与等价无穷小 以下的x-x也可以换为x→x,x+x0,x→∞,x→十∞或x>-∞, (1)无穷小 设lmf(x)-0,则称f(x)是x→xc时的无穷小,它有以下性质: 性质1.有限个无穷小之和或之积为无穷小 性质2.有界函数与无穷小之积为无穷小; 性质3.不恒为零的无穷小的倒数是无穷大量,无穷大量的倒数为无穷小 (2)等价无穷小 设八(x),g(x2)都是x+x时的无穷小,如果mg(ax)=1,则称f(x)与g(x)是xzn时 的等价无穷小,记为f(x)~g(x)(x→*x),等价无穷小有以下性质(以下使用的a(x),B(x), y(x),a1(x),月1(x)都是x→x0时的无穷小) 性质1:如果a(x)~R(x),B(x)~(x)(x→xo),则a(x)~(x)(x→x0) 性质2:如果a(x)~R(x),1(x)~:(x)(x→x),则a(x)a1(x)~R(x)月(x)(x→+x); 性质3:如果a(x)~B(x),a1(x)=o(a(x))(xxx)(这里a1(x)=o(a(x))(xx0) 表示x→x0时,a1(x)是比a(x)的高阶无穷小),则a(x)+a1(x)~(x)(xxo); 性质4:设a(x)~a1(x),(x)~B(x)(x→x),如果lrxB(x 存在或为∞,则li x(z<等价无穷小代替定理) 6。洛必达法则 以下的xx。也可以换为x-x,x→x0,x→∞,x→+∞或x→-∞ (1)型洛必达法则 设 lim f(x)=limg(x)=0,在点x=x的某个去心邻域内f(x),g(x)可导且g'(x)≠0, 则当lm()在或为∞时,lim(x)=1m(x) 58( (2)型洛必达法则 设lmnf(x)=lmg(x)=∞,在点x=x的某个去心邻域内f(x),g(x)可导且g'(x)≠0, TI 第一章极限与连续< 则当1umf(存在或为∞时,(3≠lim(x) r→xcg(x g(r) 7.函数连续性与间断点 (1)函数的连续性 设函数f(x)在点x=x的邻域内有定义,且lmf(x)=f(x),则称f(x)在点x=x0处连 续,称x=x是f(x)的连续点;否则称f(x)在点x-x处间断,称x-x是f(x)的间断点 (2)函数间断点的分类 设x=x是f(x)的间断点.如果limf(x)与linf(x)都存在,则称x=x0是f(x)的第 类间断点,其中当limf(x)=limf(x)时,称x=xo为可去间断点;当limf(x)≠lmf(x)时 称x=x0为跳间断点. 设x=x0是f(x)的间断点,但不是第一类间断点,则称x=x是f(x)的第二类间断点 8.连续函数在闭区间上的性质 性质1.(有界性定理)设函数f(x)在[a,b上连续,则f(x)在[a,b上有界,且有最大值与 最小值 性质2.(介值定理设函数f(x)在[a,b上连续,且A=f(a),B=f(b)则对介于A与B 之问的任一实数C,存在∈(a,b),使得f()=C 特别地,设函数f(x)在[ab]上连续,且M,m分别是它在[a,b]上的最大值与最小值,则 刈任意介于M与m之间的实数C,存在乐∈(a,b),使得f(=C. 性质3.(零点定理)设∫(x)在[a,b上连续,且f(a)f(b)<0,则存在∈(a,b),使得 ()=0. 典型例题精解 组 例11极限m( … 分析将 12+2+…+n的各项分∫加在一起后再计算极限 精解由于 12+(12+22) +(12+22+…+n2) (12+22+…+k2) k(k+1)(2k+1) 0>(2k+3+6)=3>+∑+∑k 3L2n(z+1)+ 2·6n(n+1)(2n+1)+·n(n-1) >大学生(本科·非数学类〕数学竞赛辅导2014版高等数学精题·精讲·精练 [n2(n+1)2+n(n+1)(2n+1)+n(n1)] 所以 12+22 十… 2 lim (n+1)2+n(n+1)(2n+1) n(n 附注计算和的极限lm乙x4时,首先考虑的是将和中各项加在一起,即用一个比较简 单的表达式表示∑x 解题时用到以下公式: (n+1) 1)(2n+1) (n+1) 例1.2设a;>0(i=1,2,…,n),则im(af+a+…+az) 分析本题是1型未定式极限的计算问题 精解 im|(a+a2+…+a2)=imne(41), 其中, ln-(a2+a-…+an) 1 li x→0 -li lit In a 将它代入式(1)得 li t十a2+ n 附注对1型未定式极限m[f(x)】x总是按以下步骤计算: (1)将幂指函数指数化,即 lir g(=Inf(r) lim[f(r)]e(=limeR(In/(r)=egg (2)计算∞·0型未定式极限lmg(x)lnf(x),然后将计算结果代人式(*)的右边 例1.3lm 1 3/Sin r2 SIn 第一章极限与连续< 分析由于x→∞时,sinx2的极限不存在,但却是有界的,所以从考虑lim 3x-5-3|手计算本题 令1 精解由于lim2sin 1,所以 3x-5 3x-5 3 lir 3=lim →)亡 sinl r sin -ln 3x-5 即 3是x→∞时的无穷小,而sinx2是有界函数,所以x∞时 inx2是无穷小,从而有 T sIn lim-sx SIr 附注有界函数与无穷小之积仍为无穷小,是无穷小的重要性质之一,应记住 In /sin+cos 例1.4极限ln x vR sin Os-1x1nx-x+i分别为 与lm 分析第一个极限中令t=sin1+cos-1,第二个极限中令t=x-1,把所给极限都转 换成l->0时的极限 ln,1,1 sin I cOs 令t=sin 精解lim os11,ln(1+2 2 cos lims kiIL +1 (x-1) (x-1冫nx 今 li 401n(1+t)—t lim- tIn(1 +t)=iin(1+t)t 01n(1+t)一tx0 -lit 2. >大学生(本科,非数学类)数学竞赛辅导2014版高等数学精题·精讲·精练 其中,利用ln(]+t)的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式得 ln(1+t)-t=t-2t2+o(2)-t 2+o(t2)~-2( 附注在函数极限计算中往往需施行变量代换使得便于应用重要极限或常用极限,或便 于寻找等价无穷小,或便于应用洛必达法则.根据极限的特点选择适当的变量代换,往往能快 In/sin+cos 捷求得所给极限.如本题中的lim sinr+cs,选择变量代换sin1+1-1使 得问题快捷获解 例1.5设当x→0时, arcsin(sin2x)ln(1+x2)是比(ex-1)sinx"高阶的无穷小,而 sin(√1-x+1-1)是比ln2(em-√1cosx)高阶的无穷小,则正整数n= 分析只要确定x-0时, arcsin(sin2x)ln(1+x2),(e-1)sinx",sin(√1-x1-1)及 ln2(e*'x+√1-cosx)的形如cx的等价尤穷小,即可由题设确定n的值 精解由于x→0时, arcsin(sin2x)In(1+x)sin'x ax2-xt 1 sin(√1-x+-1)~√1-x+-1~1 ln2(e+√1-cosx)=ln2(1+(em2x-1+√1-cox)) ~(emn2x-1+√1-csx)2 1-cosr(因为x→-0时,en-1是比√1cosx高阶的无穷小) 所以,由 arcsin(sin2x)1n(1+x2)是比(e-1) sin r高阶的无穷小知 4>n+1; 由sin(√1-x-1)是比n2(cx+√1-cosx)高阶的无穷小知 +1>2 因此,由式(1)、式(2)得n+1=3,即n=2 附注应熟记以下的x~0时的等价无穷小: sin, tan arcsin vx, arctan rI, In(lx) 上+x)-1 例16使得lim xe2dx成立的 分析计算Im(x 和xe"dx,得到一个关于a的方程解之可得a的值

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