2019年张宇强化班概率统计讲义

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2019年张宇强化班概率统计讲义,可用于2019年考研复习使用
张宇考研数学概率论与数埋统计强化讲义 二、几何概型求概率 若Ω是一个可度量的几何区域,且样本点落入Ω中的某一可度量子区域A的可能性 大小与A的儿何度量成正比,而与A的位置与形状无关,称为几何概型 →P(A) A的度量(长度、面积 Ω的度量(长度、面积 【例】某舟桥连接到命令要赶到某河岸为某部队架桥,设舟桥连将于7点到7:30之间 到达河岸,架桥需20分钟.部队将于7:30到8:00之间到达河岸,求部队到达河岸时可立 即过河的概率 【分析】 三、重要公式求概率 1.对立P(A)=1-P(A)思想方法 2.减法P(AB)=P(A-B)=P(A)-P(AB) 3.加法(1)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB); (2)P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC) 【例卫取自《张宇考研数学闭关修炼一百题·习题分册》3,82] 为了寻找《张宇高等数学18讲》,一个学生决定到3个图书馆去试一试每一个图书 馆有这本书的概率为50%,如果有这本书,则已借出的概为50%,若已知各图书馆藏书 是相互独立的,求这个学生能借到这本书的概率 【分析】 张宇考研数学概率论与数理统计强化讲义 【注】超过三个的事件和的概率一般附加“互斥”、“独立”条件. ①若A1,A2,…,An(n>3)两两互斥,则 P(UA)=∑P(A); ②设A1,A2,…,A2,若对其中任意有限个A1,A,,…,A(k≥2),都有 P(A;,A;,…,A,)=P(A;)P(A)…P(A1), 则称A1,A2,…,An相互独立且“夫唱妇随”,即 n个事件相互独立它们中任意一部分事件换成各自的对立事件,所得n个新事件 相互独立 如A,B独立A,B独立 A,B独立 A,B独立 于是,若A1,A2,…,An(n>3)相互独立,则 P∪A,)=1-P(UA1) 1-P( A, II P(A 1-I[-P(A ③常考n=3时的情形,A1,A2,A3 P(A1A2)=P(A1)P(A2); P(A1A3)=P(A1)P(A3); P(A2A3)=P(A2)P(A3); A1,A2,A3相互独立 P(A1A,As)=P(A)P(A,)P(As).( 【注】若只满足①②③,称A1,A2,A3两两独立. 【例】取自《张宇概率论与数理统计9讲》P23,例1.33] 将一枚硬币独立地掷两次,引进事件:A1{掷第一次出现正面},A2={掷第二次山 现正面},A3={正反面各出现一次},A4={正面出现两次},则事件(). (A)A1,A2,A3相互独立 (B)A2,A3,A相互独立 (C)A1,A2,A3两两独立 (D)A2,A3,A两两独立 张宇考研数学概率论与数埋统计强化讲义 【分析】 4.条件P(A|B) P(AB) P(B), P(B)>O. 5.乘法P(AB)=P(B)P(AB)=P(A)P(BA), P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) 6.全集分解公式(全概公式) (1)引例一个试验可以人为分成两个阶段: (I)小张(A1)小政(A2)小英(A3) (Ⅱ1)失窃=B P(B3) 【分析】 张宇考研数学概率论与数理统计强化讲义 【例1】中国人血型分布为 血型 B AB 比例 28 0,24 现随机抽2人,问甲能给乙输血的概率 分析:记A={甲能给乙输血},B1,B2,B3,B1分别为{甲为O,A,B,AB}型号. ()B1,B2,B3,B (Ⅱ)A 【分析】 【例2】[取自《张宇考研数学闭关修炼一百题·习题分册》42,81] 要验收一批乐器,共100件,从中随机地取3件来测试(设3件乐器的测试是相互独立 的),如果3件中任意一件经测试被认为音色不纯,这批乐器就被拒绝接收.设一件音色不 纯的乐器经测试被查出的概率为0.95,而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概 率为0.01.如果已知这100件乐器中有4件是音色不纯的,问这批乐器被接收的概率是 多少? 【分析】 张宇考研数学概率论与数埋统计强化讲义 7.贝叶斯公式(逆概公式) 承接6,若已知B发生了,执果索因 P(A B)-PCAB)- P(A,)P(BA,) P(B) ∑P(A)P(B|A) 【例】取自《张宇概率论与数理统计9讲》22,例1.30 甲袋中有3个白球2个黑球,乙袋中有4个白球4个黑球,先从甲袋中任取2球放 入乙袋,再从乙袋中任取一球,求取出的球是白球的概率p;如果已知从乙袋中取出的 球是白球,求从甲袋中取出的球是1白1黑的概率q 【分析】 张宇考研数学概率论与数理统计强化讲义 第二讲一维随机变量及其分布 综述 1.八个重要分布 2,一维X与Fx(x) 3.Y-g(X)与F(y) 、概念与八个分布 1.X与F(x (1)随机变量(r.v.)定义在Ω一{}上,取值在实数轴的变量, X=X(x),∈2,y=y(x),r∈R. (2)分布函数F(x)=P{X≤x},-∞<r<+ x取遍一∞到+∞ 2.离散型随机变量 (1)定义X取有限个或无穷可列个,0,1,2… (2)分布律X~ P1p2…p;… (3)F(x)=PX≤x},离散型r以与步步高阶梯型F(x) 3.连续型随机变量 若存在非负可积函数f(x),使得Vx∈(-∞,+∞)有 FOr) f(t)dr 则称X为连续型,f(x)叫作X的概率密度函数 张宇考研数学概率论与数埋统计强化讲义 【注】 F(x)=P1X≤x}=P{-∞≤X≤x f()d(连) ∑p.(离) P→分布律 4.X~F(x)< ∫(x)→概率密度 ①单调不减; (1)F(x)是某个x的分布函数台{②F(-∞)=0,F(+∞)=1; 右连续 ①p≥0 (2){p}是分布律 ②∑D=1(归一性) ①f(x) (3)f(x)是概率密度函数 fn)d=1(B1-性) 5.八个分布 (1)01分布. (Ber-E1)X(伯努利计数变量)~ p 1-p (2)二项分布 ①独立 (BerE)②P(A)-p; ③只有A,A 记X为A发生的次数,则 P{X=k}=(p(1-p“,k=0,1,2,…,n (3)几何分布 (Ber-E)首中即停止(等待型分布),记Ⅹ为试验次数,则 PX=k)=p·(1-p)1,k=1,2,… (4)超几何分布 N件产品,M件正品,无放回取n次,则取到k个正品的概率 PiX=ky ,k为整数,mx10,n-N+M}≤k≤min{n,M} 张宇考研数学概率论与数理统计强化讲义 5)泊松分布 某单位时间段,某场合下,源源不断的质点流的个数,也常用于描述稀有事件的概 率 P{X=Ak!C,~强度(FX=) (6)均匀分布 几何概型”<<U(a,b) ≤x≤b(正概率区间) 若X~f(x) 则X~Ua,b 0,其他 【注】高档次说法:“X在Ⅰ上的任一子区间取值的概率与该子区间长度成正比 →X~U(D) (7)指数分布 等待型分布(寿命分布)(连续) Ae 若X~f(x)= 则X~E(A)(A>0).A~失效率,EX 0 ≤0 FCr) f(tdz de d d(-x) 0 0, <0 【注】①P{X≥+§X≥t}=P{X≥s}无记忆性 e,x≥0 ②F( (记,爱考) 几何分布→离散型条件分布 无记忆性 指数分布→连续型条件分布 8)正态分布 若Ⅹ~f(x) e 20 【注】=0,d=1,则X~g(x) X g(x g(t)d(标准正态专用符号) X~N(0,1). 10

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