排队论.pdf

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对不同的排队问题进行分析,商店的排队问题,等待的的损失费。
标,这些数量指标通常是 (i)平均队长:指系统内顾客数(包括正被服务的顾客与排队等待服务的顾客)的 数学期望,记作。 (ii)平均排队长:指系统内等待服务的顾客数的数学期望,记作 (ii)平均逗留吋间:顾客在系统内逗留吋间(包括排队等待的吋间和接受服务的 时间)的数学期望,记作 (iv)平均等待时间:指一个顾客在排队系统中排队等待时间的数学期望,记作 (ν)平均忙期:指服务札构连续繁忙时间(顾客到达空閑服务机构起,到服务机 构再次空闲止的时间)长度的数学期望,记为。 还有由」顾客被拒绝而使企业受到损失的损失率以及以后经常遇到的服务强度等, 这些都是很重要的指标 计算这些指标的基础是表达系统状态的概率。所谓系统的状态即指系统中顾客数, 如果系统中有个顾客就说系统的状态是,它的可能值是 (i)队长没有限制时, (ii)队长有限制,最大数为时, (ii)损失制,服务台个数是时, 这些状态的概率一般是随时刻而变化,所以在时刻、系统状态为的概率用 表示。稳态时系统状态为的概率用表示 §2输入过程与服务时间的分布 排队系统中的事件流包括顾客到达流和服务时间流。由于顾客到达的间隔时间和服 务时间不可能是负值,因此,它的分布是非负随机变量的分布。最常用的分布有泊松分 布、硝定型分布,指数分布和爱尔朗分布 2.1泊松流与指数分布 设表示在时间区间到达的顾客数( 令 表示在时间区 >内有≥个顾客到达的概率,即 合于下列三个条件时,我们说顾客的到达形成泊松流。这三个条件是: 1”在不相重叠的时间区间内顾客到达数是相互独立的,我们称这性质为无后效 性。 2对充分小的Δ,在时间区间+△内有一个顾客到达的概率与无关,而 约与区间长A成正比,即 +Δ=A+△ 其中Δ,当Δ→时,是关于Δ的高阶无穷小。2>是常数,它表示单位时间 有一个顾客到达的概率,称为概率强度 3对于充分小的∧,在时间区间+△内有两个或两个以上顾客到达的概率 极小,以致可以忽略,即 +△ 120 在上述条件下,我们研究顾客到达数的概率分布。 由条件2,我们总可以取时间由0算起,并简记 由条件1和2,有 +△=∑ 由条件2和3得 因而有 +△ =-1+ △ +△ 在以上两式中,取△趋于零的极限,当假设所涉及的函数可导时,得到以下微分方程 组: 取初值 …,容易解出 ;再令 可以得到及其它所满足的微分方程组,即 由此容易解得 正如在概率论中所学过的,我们说随机变量 服从泊松分 布。它的数学期望和方差分别是 当输入过程是洎松沇吋,那么顾客相继到达的吋间间隔必服从指数分布。这是 由于 内呼叫次数为苓 那么,以表小的分布函数,则有 而分布密度函数为 对于泊松流,表示单位时间平均到达的顾客数,所以一就表示相继顾客到达平均 间隔时间,而这正和的意义相符。 对一顾客的服务时间也就是在忙期相继离廾系统的两顾客的间隔时间,有时也服从 指数分布。这时设它的分布函数和密度函数分别是 L 我们得到 +△> <<+Δ 这表明,在任何小的时间间隔+Δ内一个顾客被服务完了(离去)的概率是 A+Δ。μ表示单位时间能被服务完成的顾客数,称为平均服务率,而一表示 个顷客的平均服务时间 2.2常用的几种概率分布及其产生 2.2.1常用的连续型概率分布 我们只给出这些分布的参数、记号和通常的应用范围,更详细的内谷参看专门的概 率论书籍。 (i)均匀分布 间的均匀分布记作 。服从 分布的随机变量又称为随机 数,它是产生其它随机变量的基础。如若为 分布,则 服从 (i)正态分布 以H为期塑,为方差的正态分布记作。正态分布的应用|分广泛。 正态分布还可以作为二项分布一定条件下的近似。 (ii)指数分布 指数分布是单参数的非对称分布,记作,概率密度函数为: 它的数学期望为,方差为。指数分布是唯一具有无记忆性的连续型随机变量,即 有 >十 >,在排队论、可靠性分析中有广泛应用 (iv) Gamma分布 Gamma分布是双参数aB的非对称分布,记作aB,期望是af。a=时蜕 化为指数分布。个相互独立、同分布(参数)的指数分布之和是Gama分布 (a=β=λ。Gam分布可用」服务时间,零件寿命等 Gama分布又称爱尔朗分布。 (v) Weibul1分布 Weibul分布是刈参数aB的非对称分布,记作aβ。a=吋蜕化为指数分 布。作为设备、零件的寿命分布在可靠性分析中有着非常广泛的应用。 (vi)Beta分布 122 Beta分布是区间内的参数、非均匀分布,记作aB 2.2.2常用的离散型概率分布 )离散均匀分布 (i) Bernoulli分布(两点分布) Bernoulli分布是 处取值的概率分别是和-的两点分布,记作 用」基木的离散模型 (ii)泊松( Poisson)分布 泊松分布与指数分布有密切的关系。当顾客平均到达率为常数λ的到达间编服从 指数分布时,单位时间内到达的顾客数服从泊松分布,即单位时间内到达位顾客 的概率为 记作 λ。泊松分布在排队服务、产品检验、生物与医学统计、天文、物理等 领域都有广泛应用。 (iv)二项分布 在独立进行的每次试验中,某事件发生的概率为,则次试验中该事件发生的 次数服从二项分布,即发生次的概率为 记作 。二项分布是个独立的 Bernau1li分布之和。它在产品检验、保险、生 物和医学统计等领域有着广泛的应用。 当很大时, 近似」正态分布 当很大、很小, 且约为常数九时, 近似于 §3生灭过程 类非常重要且广泛存在的排队系统是生灭过程排队系统。生灭过程是一类特殊的 随机过程,在生物学、物理学、运筹学中有广泛的应用。在排队论中,如果表 时刻系统中的顾客数,则 就构成了一个随机过程。如果用“生”表示顾 客的到达,“灭”表小顾客的离去,则对许多排队过程来说 ≥就是一类特 殊的随机过程一生灭过程。下面结合排队论的术语给出生灭过程的定义。 定义1 ≥为一个随机过程。若的概率分布具有以下性质: 1)假设 ,则从时刻起到下一个顾客到达时刻止的时间服从参数为 的负指数分布, 普鲁鲁 (2)假设=,则从时刻起到卜一个顾客离去时刻止的时间服从参数为 的负指数分别, (3)同一时刻只有一个顾客到达或离去。 则称 ≥为一个生灭过程 般来说,得到的分布 )是比较困难的 因此通常是求当系统到达平衡后的状态分布,记为 为求平稳分布,考虑系统可能处的任状态。假设记录了段时间内系统进入状 态和离开状态的次数,则因为“进入”和“离开”是交替发生的,所以这两个数要 么相等,要么相差为1。但就这两和事件的平均发生率来说,可以认为是相等的。即当 系统运行相当时间而到达平衡状态后,对任一状态来说,单位时间内进入该状态的平 均次数和单位时问内离廾该状态的平均次数应该相等,这就是系统在统计平衡卜的“流 入=流出”原理。根据这一原理,可得到任一状态下的平衡方程如下: tu (3) 由上述平衡方程,可求得 记 (4) 则平稳状态的分布为 (5) 由概率分布的要求 ∑ 有 ∑ 于是 (6) ∑ 注意:(6)只有当级数∑。收敛时才有意义,即当∑。<∞时,才能由上 12 述公式得到平稳状态的概率分布 §4 等待制排队模型 4.1单服务台模型 单服务台等待制模型 ∞0是指:顾客的相继到达时间服从参数为2的负指 数分布,服务台个数为1,服务时间服从参数为的负指数分布,系统空间无限 允许无限排队,这是一类最简单的排队系统 4.1.1队长的分布 )为系统达到平衡状态后队长的概率分布,则 由式(4)~(6),并注意到A=4 和 并设p<(否则队列将排至无限远),则 故 其中 (7) ∑ 因此 (8) 公式(7)和(8)给出了在平衡条件下系统中顾客数为的概率。由式(7)不难看出, 尸是系统中至少有个顾客的概率,也就是服务台处于忙的状态的概率,因而也称p为 服务强度,它反映了系统繁忙的程度。此外,(8)式只有在ρ=一<的条件下才能得 到,即要求顾客的平均到达率小于系统的平均服务率,才能使系统达到统计平衡 1.1.2几个主要数量指标 对单服务台等待制排队系统,由凵得到的平稳状态下队长的分布,可以得到平均队 长 =P+P+p+…-0+p+P+ (9) p+p+p 平均排队长为 关于顾客在系统中的逗留时间,可说明它服从参数为4-的复指数分布,即 因此,平均逗留时间 (11) 因为,顾客在系统中的逗留时间为等待时问和接受服务时问之和,即 故由 可得平均等待时间为 从式(9)和式(11),可发现平均队长与平均逗留时间具有关系 (14) 同样,从式(10)和式(13),可发现平均排队长与平均等待时间具有关系 (15) 式(141)和式(15)通常称为Lit1e公式,是排队论中一个非常重要的公式。 4.1.3忙期和肉期 在平衡状态下,忙期和闲期般均为随机变量,求它们的分布是比较麻烦的。 因此,我们来求一下平均忙期和平均闲期由于忙期和闲期出现的概率分别为P和 P,所以在一段时间内可以认为忙期和闲期的总长度之比为p-p。又因为忙 期和闲期是交替出现的,所以在充分长的时间甲,它们出现的平均次数应是相同的。于 是,忙期的平均长度和闲期的平均长庋之比也应是p-p,即 (16) 又因为在到达为 Poisson流时,根据负指数分布的无记忆性和到达与服务相互独立的假 设,容易证明从系统空闲时刻起到下一个顾客到达时刻止(即闲期)的时间间隔仍服从 参数为λ的负指数分布,且与到达时间间隔相互独立。因此,平均闲期应为一,这样, 便求得平均忙期为 与式(11)比较,发现平均逗留时间()一平均忙期()。这一结果直观看上去 是显然的,顾客在系统中逗留的时间越长,服务员连续繁忙的时间也就越长。因此, 126 个顾客在系统内的平均逗留时间应等于服务员平均连续忙的时间。 1.2与排队论模型有关的 LINGO函数 (1)@peb(load, S 该函数的返回值是当到达负荷为1oad,服务系统中有S个服务台且允许排队时系 统繁忙的概率,也就是顷客等待的概率。 (2)@pel (load, S) 该函数的返回值是当到达负荷为1oad,服务系统中有S个服务台且不允许排队时 系统损尖慨率,也就是顾客得不到服务离开的概率。 (load, S, K) 该函数的返回值是当到达负荷为load,顾客数为K,平行服务台数量为S时,有限 源的 Poisson服务系统等待或返修顾客数的期望值 例1某修理店只有一个修理工,来修理的顾客到达过程为 Poisson流,平均4人 /h;修理时间服从负指数分布,平均需要6min。试求:(1)修理店空闲的概率;(2) 店内恰有3个顾客的概率:(3)店内至少有1个顾客的概率;(4)在店内的平均顾客数 (5)每位顾客在店内的平均逗留时间:(6)等待服务的平均顾客数;(7)每位顾客平 均等待服务时间;(8)顾客在店内等待时间超过10min的概率。 解木例可看成一个 ∞排队问题,其中 (1)修理店空闲的概率 (2)店内恰有3个顾客的概率 (3)店内至少有1个顾客的概率 (4)在店内的平均顾客数 (人) (5)每位顾客在店内的平均逗留时间 (6)等待服务的平均顾客数 (人) (7)每位顾客平均等待服务时间 (8)顾客在店内逗留时间超过10min的概率 编写 LINGO程序如下:

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