GNU Scientific Library
Release 2.6
Mark Galassi
Jim Davies
James Theiler
Brian Gough
Gerard Jungman
Patrick Alken
Michael Booth
Fabrice Rossi
Rhys Ulerich
Aug 21, 2019
CONTENTS
1 Introduction 1
1.1 Routines available in GSL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 GSL is Free Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Obtaining GSL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 No Warranty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.5 Reporting Bugs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.6 Further Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.7 Conventions used in this manual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Using the Library 5
2.1 An Example Program . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Compiling and Linking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Shared Libraries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 ANSI C Compliance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.5 Inline functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.6 Long double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.7 Portability functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.8 Alternative optimized functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.9 Support for different numeric types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.10 Compatibility with C++ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.11 Aliasing of arrays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.12 Thread-safety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.13 Deprecated Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.14 Code Reuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Error Handling 13
3.1 Error Reporting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Error Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3 Error Handlers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.4 Using GSL error reporting in your own functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4 Mathematical Functions 17
4.1 Mathematical Constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2 Infinities and Not-a-number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.3 Elementary Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.4 Small integer powers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.5 Testing the Sign of Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.6 Testing for Odd and Even Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.7 Maximum and Minimum functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
i
4.8 Approximate Comparison of Floating Point Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5 Complex Numbers 21
5.1 Representation of complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.2 Properties of complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.3 Complex arithmetic operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.4 Elementary Complex Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.5 Complex Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.6 Inverse Complex Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.7 Complex Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.8 Inverse Complex Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.9 References and Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6 Polynomials 27
6.1 Polynomial Evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.2 Divided Difference Representation of Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.3 Quadratic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6.4 Cubic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.5 General Polynomial Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.6 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6.7 References and Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7 Special Functions 33
7.1 Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
7.2 The gsl_sf_result struct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
7.3 Modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7.4 Airy Functions and Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7.5 Bessel Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
7.6 Clausen Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.7 Coulomb Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.8 Coupling Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7.9 Dawson Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.10 Debye Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.11 Dilogarithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.12 Elementary Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.13 Elliptic Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.14 Elliptic Functions (Jacobi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.15 Error Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7.16 Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7.17 Exponential Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
7.18 Fermi-Dirac Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7.19 Gamma and Beta Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.20 Gegenbauer Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.21 Hermite Polynomials and Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.22 Hypergeometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.23 Laguerre Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.24 Lambert W Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.25 Legendre Functions and Spherical Harmonics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.26 Logarithm and Related Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.27 Mathieu Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.28 Power Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.29 Psi (Digamma) Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.30 Synchrotron Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.31 Transport Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
ii
7.32 Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.33 Zeta Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.34 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.35 References and Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
8 Vectors and Matrices 75
8.1 Data types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.2 Blocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.3 Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.4 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9 Permutations 97
9.1 The Permutation struct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
9.2 Permutation allocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
9.3 Accessing permutation elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.4 Permutation properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.5 Permutation functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.6 Applying Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
9.7 Reading and writing permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
9.8 Permutations in cyclic form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9.9 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9.10 References and Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
10 Combinations 103
10.1 The Combination struct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
10.2 Combination allocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
10.3 Accessing combination elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
10.4 Combination properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
10.5 Combination functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
10.6 Reading and writing combinations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
10.7 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
10.8 References and Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
11 Multisets 107
11.1 The Multiset struct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
11.2 Multiset allocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
11.3 Accessing multiset elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
11.4 Multiset properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
11.5 Multiset functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
11.6 Reading and writing multisets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
11.7 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
12 Sorting 113
12.1 Sorting objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
12.2 Sorting vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
12.3 Selecting the k smallest or largest elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
12.4 Computing the rank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
12.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
12.6 References and Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
13 BLAS Support 119
13.1 GSL BLAS Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
13.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
13.3 References and Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
iii
