线性代数辅导讲义 扫描版

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前 本书是为准备考研的学生复习线性代数而编写的一本辅导讲义,由编者近年来的辅导班笔记 改写而成。本书也可作为大一新生学习线性代数时的参考书 此次修订,补充、更换编写了一些新题,同时,针对同学们不太好理解或不大注意的地方,也 相应增加了一些新的说明。 全书共分六章及一个附录,每章均由知识结构网络图、基本内容与重要结论、典型例题分析选 讲以及练习题精选四部分组成。为的是方便同学们总结归纳以及更好地掌握知识间的相互渗遷 与转换。 本书力求在较短的时间内,用不多的篇幅,帮助同学们搞清基本概念,掌握基本理论利公式 了解重点和难点并澄清一些常犯的错误与疑惑。一方面,通过对典型例题的分析讲评,帮助同学 们梳理解题的思路,熟悉常用的方法和技巧;另一方面,精编适量的练习题,帮助同学们更好地理 解和掌握基本內容、基本解题方祛,达到巩固、悟新与提高的目的。另外,题后的点评与评注,其目 的在于帮助同学们弄清重点、难点、知识结合点以及解题的基本方法和应注意的问题 在考研数学中,线性代数占5个考题(2个选择,1个填空,2个解答),分值为34分,其平均用 时应当为40分钟左右。因而我们在附录中设计了45分钟的水平测试,希望同学们在复习完本书 之后,用三套自测题及时地进行查漏补缺。线性代数考试大纲对于数学 来说基本上 样,近年来考题也是趋同,本书中除向量空间仅数一考生要准备外,其余部分大家都应复习 另外,为了更好地帮助同学们进行复习,“李永乐考研数学辅导团队”特在新浪微博上开设答 疑专区,同学们在考研数学复习中,如若遇到任何问题,即可在线留言,团队老师将尽心为你解答 请访问weibo.com@清华李永乐考研数学辅导团队 微博 微信公众号 总之,经过修订再版,希望本书能对同学们的复习备考有更大的帮助。由于编者水平有限,疏 漏之处在所难免,欢迎批评指正。 编者 2017年2月 目录 矩阵运算 (39) 第一章行列式 伴随矩阵 (42) 、知识结构网络图 (1) 可逆矩阵 (45) 二、基本内容与重要结论……(3) 初等矩阵 (50) 基础知识 (3) 正交矩阵 …(54) 重要定理 (4) 矩阵方程 (56) 主要公式 (5) 四练习题精选 (58) 方阵的行列式 答案与提示 (59) 克拉默法则 (7) 、典型例题分析选讲 第三章n维向量 …………(9) 数字型行列式 (9) 、知识结构网络图 (61) 抽象行列式 (17 二、基本内容与重要结论 (63) 特征多项式 …………(19) 基础知识 ……(63) 矩阵秩的概念 (21) 重要定理 ………(65) 关于|A|=0 …………(22 、典型例题分析选讲 (69) 代数余子式求和 (23) 线性相关 …(69) 克拉默法则 (24) 线性表出… (77) 四、练习题精选 (26) 向量组的秩 (85) 答案与提示 自·血申备● (28) 矩阵的秩 (88) Schmidt正交化 (91) 第二章矩阵 向量空间 (92) 知识结构网络图 ……(30) 四练习题精选 (96) 二、基本内容与重要结论… (32) 答案与提示 (97 基础知识 32) 第四章线性方程组 重要定理 36) 主要公式 ……………………(36) 知识结构网络图 …(100) 、典型例题分析选讲 ………(39) 、基本内容与重要结论 (102) 基础知识 (102) 反求矩阵A …(155) 主要定理 (103 实对称矩阵 (156) 典型例题分析选讲 (105) 四练习题精选 (162) 基础解系 (105) 答案与提示 …(163) 解方程组Ax=b (110) 第六章二次型 有解判定、解的结构、性质 (118) 公共解、同解 ……(122) 知识结构网络图 ……(165) 方程组的应用 125) 基本内容与重要结论 (167) 四、练习题精选 (129 基础知识 …(167) 答案与提示 (130) 主要定理 (168) 典型例题分析选讲 (170) 第五章特征值与特征向量 二次型基本概念 (170) 知识结构网络图… (132) 二次型的标准形 (171) 基本内容与重要结论 (134) 次型的正定性 基础知识 …(134) 矩阵的等价、相似、合同 (181) 重要定理 (134) 四、练习题精选 (184) 典型例题分析选讲 〈137) 答案与提 (185) 特征值、特征向量 137) 附录45分钟水平测试 相似、相似对角化 (144) 求相似对角化时的可逆矩阵P…(148) 自测(一) (187) 求参数的问题 自测(二) (188) 用相似求A (153) 参考答案与提示 …(189) 第一章斤列式 第一章行列式 知识结构网络图 念/不同行不同列元素乘积的代数和(共n!项) 经转置行列式的值不变,即|A A /性某行有公因数k,可把k提到行列式外特别地,某行元素全为0,则行列式的值为0 质/两行互换行列式变号特别地两行相等,行列式值为0两行成比例,行列式值为0 某行所有元素都是两个数的和,则可写成两个行列式之和 某行的k倍加至另一行,行列式的值不变 A|=anAn+at2A2+…+anAm(按i行展开 1141=1Ay++…+42A。(按列展形)一代数余子武 三角化法 数字型 公式法 递推法 计算 用行列式性质 列 「抽象型 用矩阵性质 用特征值A 2:,相似 Ax=0有非零解 反证法 7(A)< 0是A的特征值 A A Ax=0有非零解 伴随矩阵求逆法 线性相关(无关)判定 可逆的证明 克拉默法则 特征值计算 次正定判定 对于二、三阶行列式有 ad -Ix b1 b2 b3=a1b2C3+a2b3C1+a3b1C2-a3b2Cy-a2b1C3-a1b3 Ca 注意这样的计算方法对4阶及4阶以上行列式不适用 线性代数辅导饼义 学习礼记 评注】(1)对行列式的性质4要理解正确.例如 十b1a2+b2"a3十b3 bi b2 63 2 2 十 d2 d i. dd 对于n阶矩阵A=[a,B=[b],有A+B=[an+b],由于行列式 A+B|中每一行都是两个数的和,所以若用性质4把行列式|A十B拆 开,则|A+B应当是2个n阶行列式之和,因此一般情况下A+B≠ A|+|B 特别地 11 C C a12 21 0 入a3 0 31 12 13 0 L13 0A0| 22 21λ 23. 0:0入 L33 0 33 a120 l 0.0 0 0+ λ0+0-a2:0 0 0 12 0 1 23+ C 瓦 3 a C11a12 11.13 (a1+a22a3)2+ 2l2 32 3 12 13 221 2 (2)要会用行列式的性质及展开定理计算数字型行列式 3)要熟悉抽象型行列式的计算 今年考题 未单独考 第一章亓列式 学习礼记 基本内容与重要结论 基础知识 定义1.1n阶行列式 1112 是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积 的代数和,这里12…是1,2,…,n的一个排列.当j2…n是偶排列时, 该项的前面带正号;当j2…n是奇排列时,该项的前面带负号,即 a11 Ci t21a22 l2i (-1)74a1a2 (1.1) anl a22 2 这里∑表示对所有n阶排列求和式(1.1)称为n阶行列式的完全展 开式 例如,若已知a14a42aa1a42是四阶行列式中的一项,那么根据行列式的 定义,它应是不同行不同列元素的乘积.因此必有j= 由于a14a23a31a42列的逆序数 x(4312)=3+2+0=5 是奇数,所以该项所带符号为负号 【评注】(1)由1,2,…,n组成的有序数组称为一个n阶排列,通常 用 表示n阶排列 (2)一个排列中,如果一个大的数排在小的数之前,就称这两个数构 成一个逆序一个排列的逆序总数称为这个排列的逆序数.用 r(12…jn)表示排列j2n的逆序数 如果个排列的逆序数是偶数,则称这个排列为偶排列,否则称为 奇排列 例如,在5级排列25134中,有逆序21,51,53,54,因此排列25134的 逆序数为4,即x(25134)4.所以排列25134是偶排列 线性代数辅号讲义 学习礼记 定义1.2在n阶行列式 C12 C 中划去元素a;所在的第i行、第j列,由剩下的元素按原来的排法构成一个 n-1阶的行列式 1I 1,j+1 ;1,1 ;-1,j1 C C 观n,1 称其为a;的余子式,记为M;称(1)计M为a的代数余子式,记为A,即 例如,若已知行列式0 1的代数余子式A21=2即已知 345 从而a=3 重要定理 定理1.1n阶行列式 D 等于它的任意一行的所有元素与它们各自对应的代数余子式的乘积之和, 即 D=aAA1+a02Ak2+…+amtA如(k )(1.3) 公式(1.3)称为行列式按第k行的展开公式 定理1.1n阶行列式D等于它的任意一列的所有元素与它们各自对 应的代数余子式的乘积之和,即 D=a1kA1k+a2Aax+…十amA(k=1 公式(1.4)称为行列式按第k列的展开公式

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