数学物理方程学习指导与习题解答-陈才生

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《数学物理方程学习指导与习题解答》是与《数学物理方程》(陈才生等编,科学出版社,2008)配套的学习辅导书。   《数学物理方程学习指导与习题解答》共分11章。前九章每章括基本内容提要、习题解答和补充习题解答三部分。   《数学物理方程学习指导与习题解答》基本内容提要是相关内容的精讲,供学生复习参考之用;《数学物理方程学习指导与习题解答》提供了《数学物理方程学习指导与习题解答》中绝大部分习题的解答,供使用《数学物理方程学习指导与习题解答》的学生和老师参考;补充习题解答是为了使部分的学生灵活使用数学物理方程有关方法和拓宽视野之用。   后两章只括基本内容提要和习题解答两部分,因为进一步的补充内容
普通高等教育“十一五”规划教材配套辅导 数学物理方程 学习指导与习题解答 陈才生编著 钭学出版社 北京 内容简介 本书是与《数学物理方程》(陈才生等编,科学出版社,2008)配套的学习 辅导书全书共分11章.前九章每章包括基本内容提要、习题解答和补充习 题解答三部分.基本内容提要是相关内容的精讲,供学生复习参考之用;本书 提供了该教材中绝大部分习题的解答,供使用该教材的学生和老师参考;补 充习题解答是为了使部分优秀的学生灵活使用数学物理方程有关方法和拓宽 视野之用.最后两章只包括基本内容提要和习题解答两部分,因为进步的 补充内容已经超出本课程要求.阅读本书,可以帮助学生学习数学物理方程 中各类定解问题的解题方法和技巧,了解丰富多彩的各种题型,从而加深对 这门课程的理解和掌握 本书可作为普通高等院校数学类本科生、工科专业本科生或研究生学习 数学物理方程课程的学习辅导书,也可作为相关教师和科研人员的参考用书 图书在版编目(c|P数据 数学物理方程学习指导与习题解答/陈才生编著.一北京:科学出版社 2010 普通高等教育“十一五”规划教材配套辅导 ISBN978-7-03-029396-1 I.①数…Ⅱ.①陈…Ⅲ.①数学物理方程高等学校-教学参考资料 Ⅳ.①O175.24 中国版本图书馆CP数据核字(2010)第212298号 责任编辑:姚莉丽/责任校对:朱光兰 责任印制:张克忠/封面设计:耕者设计工作室 舞學☆服出版 北京东黄城根北街16号 邮政编码:100717 http://www.sciencecom 此袁市秦仰刷厂印刷 科学出版社发行各地新华书店经销 2010年11月第 版开本:B5(720×1000) 2010年11月第一次印刷印张:141/2 印数:1-3500 字数:290000 定价:28.00元 (如有印装质量问题,我社负责调换) 前言 数学物理方程是大学教育中的一门重要数学课程,它不仅仅是数学类本科生重 要的专业基础课,而且也是许多工科专业本科生和研究生不可缺少的专业基础课 在学习该课程的过程中,学生普遍感觉做习题是一件困难事情.做偏微分方程的习 题,一方面计算量大,容易出错;另一方面涉及面广,难度大,技巧性强.因此编写 本该课程的学习指导和习题解答参考书,供同学们学习时参考,是非常必要的.但 是需要指出的是,我们不主张学生在自己动手做题之前先看答案或解答.为了学好 数学物理方程这门课,学生应该独立地完成教师布置的作业,不能抄袭本书的解答, 本书仅供学习时参考.一个偏微分方程问题的求解方法通常是多种的,千万不要受 本书解答的束缚. 本书共分11章.第1~9章,每章分为基本内容提要、习题解答和补充习题解 答三部分.基本内容提要是相关内容的精讲,供学生复习参考之用;本书提供了陈 才生等编的《数学物理方程》中绝大部分习题的解答,供使用该教材的学生和老师 参考;补充习题解答是为了使部分优秀学生灵活使用《数学物理方程》有关方法和 拓宽视野之用.第10章和第11章只提供基本内容提要和习题解答,因为进一步的 补充内容已经超出本课程要求 本书的部分内容参考了国内外出版的一些教材,请参考所附的参考文献.在 本书即将出版之际,感谢我在河海大学教过的历届研究生和本科生同学们,是他们 不断地提出问题,激励我不断努力,对许多问题进行进一步思考.特别要感谢我的 2008级几位研究生,他们对部分习题的解答提出了宝贵的修改意见 本书的初衷是帮助学习“数学物理方程”课程的同学们学好这门比较难学的课 程,同时也给讲授该课程的老师们提供一些有益的参考.但由于编者水平有限,书 中难免有不足之处,敬请各位读者批评指正 编者 2010年6月 目录 前言 第1章绪论 11基本内容提要 12习题解答 1.3补充习题解答 134 第2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型……………………14 21基本内容提要 14 22习题解答 ∴……17 23补充习题解答 28 第3章波动方程的初值(柯西)问题与行波法…1 31基本内容提要 31 32习题解答∴………………………………33 33补充习题解答 45 第4章分离变量法 53 4.1基本内容提要 53 4.2习题解答 ∴…………………57 43补充习题解答 92 第5章 Fourier变换方法 .……………102 51基本内容提要 …102 5.2习题解答 105 53补充习题解答 116 第6章 Laplace变换方法 128 6.1基本内容提要………………………………128 6.,2习题解答…… ……………131 6.3补充习题解答………………………………………………143 第7章 Green函数方法和基本解方法 ……146 71基本内容提要 ,………………146 7.2习题解答 ,( ……152 7.3补充习题解答 ,..,,,………165 IV 目录 第8章极值原理和应用 169 81基本内容提要 ………169 8.2习题解答 ,,,··,,,,,,,,,,、日.·,,着 …174 83补充习题解答 …∴…∴∴…·180 第9章能量积分方法和应用 ……186 91基本内容提要 ……………186 9.2习题解答 …186 9.3补充习题解答 ………∴∴194 第10章 Bessel函数和 Legendre函数及应用 196 10.1基本内容提要…………………196 10.2习题解答 200 第11章一阶拟线性偏微分方程………………………214 111基本内容提要 214 112习题解答……………………………………………219 参考文献… 225 第1章绪论 1.1基本内容提要 11.1用数学物理方程研究物理问题的步骤 (1)导出或者写出定解问题,包括方程和定解条件两部分; (2)求解已经导出或者写出的定解问题; (3)对求得的解讨论其适定性并且作适当的物理解释 112求解数学物理方程的方法 常见方法有行波法(又称 D'Alembert解法)、分离变量法、积分变换法、 Green 函数法、能量积分方法、变分方法等.本书主要使用前面五种方法 113数学物理方程的导出 1.建立(导出)方程的步骤 (1)从所研究的系统中划出一部分,分析邻近部分与这一小部分的相互作用; (2)根据物理学的规律,比如 Newton第二定律、能量守恒定律等,以数学式子 表达这个作用; (3)化简整理即得所研究问题的偏微分方程 2.建立(导出)方程时常用到的物理学定律 (1) Newton第二定律(F=ma) (2) Fourier实验定律(即热传导定律) 当物体内存在温差时,会产生热量的流动热流强度q(即单位时间内流过单 位横截面的热量)与温度的下降率成正比,即 g=-kvu 其中k为热传导系数,负号表示热量的流向和温度梯度方向相反.写成分量的形式 qe=-kur, qy=-kwu, q2 =-kuz. (3) Newton冷却定律 物体冷却时放出的热量-AVu与物体和外界的温度差叫边-20成正比,其中 uo为周围介质的温度 2 第1章绪论 (4)热量(质量)守恒定律 物体内部温度升高所需要的热量(浓度增加所需要的质量)等于流入物体内部 的净流热量(质量)与物体内部的源所产生的热量(质量)之和 (5)费克(Fick)定律(即扩散定律) 般地说,由于浓度的不均匀,物质从浓度高的地方向浓度低的地方转移.这 种现象叫扩散.在气体、液体、固体中都有扩散现象. 粒子流强度q(即单位时间内流过单位面积的粒子数)与浓度的下降率成正比, 即 KV 其中K为扩散系数,负号表示浓度减少的方向.写成分量的形式为 Ku Ku K 6)Gas定律 通过一个任意闭合曲面的电通量,等于这个闭曲面所包围的自由电荷的电量的 -1倍,即 E·dS 12 其中ε为介电常数,p为电荷密度 (7)胡克( Hooke)定律 在弹性限度内,弹性体的弹力和弹性体的形变量成正比,即f=一kx,其中k 为弹性体的劲度(倔强)系数,倔强系数在数值上等于弹性体伸长(或缩短)单位长 度时的弹力,负号表示弹力的方向和形变量的方向相反 另外,有 应力=杨氏模量×相对伸长 3.定解条件和定解问题的写出(导出) 要想将一个具体的物理过程完整地翻译成数学语言,必须写出它的定解问题: 包括泛定方程和定解条件(初始条件、边界条件、相容性条件).泛定方程只能反映 和描绘同一类现象的共同规律对于一个具体的物理问题,还必须通过定解条件来 反映而要正确写出定解条件,必须注意以下几方面的问题: (1)正确理解题意,正确区分外源条件、初始条件、边界条件; (2)正确理解并且应用物理定律和定理 (3)注意初始条件和边界条件的个数,以保证解的适定性 1.1,4定解问题的适定性 如果一个定解问题的解存在、唯一,且连续依赖于定解条件中的初始数据和边 12习题解答 界数据,则称该定解问题是适定的,否则称它是不适定的 1.2习题解答 11长为L的均匀细杆,侧面绝缘,一端温度为0,另一端有恒定热源q进入 (即单位时间内通过单位截面积流入的热量),杆的初始温度分布为a(L-a),试写 出相应的定解问题 解杆的初始温度分布是x(L-x),即初始条件为 由杆的一端温度为零,得边界条件 a(0,t)=0, 杆的另一端有恒定热流强度q,即 ku(L, t)=q 故定解问题为 Ut = a lrr, 0<x<L,t>0, (L-x) 0≤x≤L (0,t) (L,t) ≥0 k 12设有一根长为L的均匀柔软的弦做微小横振动,其平衡位置是x轴的 区间10,D.让u表示横位移,弦的线密度为p,张力大小为T.在振动过程中,受到 一阻力,阻力的大小与位移速度成正比,比例系数为k.设初始位移为(x),初始速 度为0.在x=0端固定,在x=L端有一弹性支撑,弹性强度为k.试写出弦的位 移u(x,t)所满足的定解问题 解在=L端有一弹性支撑,弹性强度为k,这表明 ka rL =L 即 (Tux+ku)l-L =0 又因为在振动过程中,受到一阻力,阻力的大小与位移速度成正比,比例系数为k 所以阻力F(x,t)=-ku,那么由文献(中例11的推导可以得到该弦做微小横 振动的方程为

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