无穷维线性系统控制理论(郭宝珠,柴树根)

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无穷维线性系统控制理论(郭宝珠,柴树根),PDE,科学出版社
前言 性在线性偏微分方程控制系统中的引入 作者亲身参与并见证了这些理论的发展,但常苦于在研究中需要不时寻找这些 散见于各种文献中的结果,致使在培养研究生的过程中倍感辛劳.目前仅有的几本 专著或者侧重点不同,或者不适合于研究生学习和研究相关前沿问题,于是萌生了 总结这些基本材料的念头.-方面,便于自己随时查找;另一方面,也可以让研究生 有个系统学习的教科书,而不至于难以入门.本书就是在这种思想指导下的结果 幸运的是,本书第一作者得到了“山西省百人计划”的资助,第二作者需要在 山西大学的讨论班上培养青年教师和学生,于是在边教边写的过程中整理出了本书 的基本内容 本书分为两大部分第一部分介绍抽象理论,共7章.第1章是预备知识,主要 介绍有穷维线性系统的一些主要理论,以及无穷维线性系统所必需的理论知识,如 算子理论、连续算子半群理论以及 Soboley空间理论.这里不加证明地列出主要结 果,原因之一是这些理论本身就是非常相关的学科,有大量的相关著作;原因之二 是限于作者的偏好,本书列出的内容基本上局限于作者在推广到无穷维系统时所用 到的结果第2章和第3章介绍允许控制算子、允许观测算子的性质以及时域与频 域表示.第4章讨论适定系统的表示,特别介绍了在偏微分方程控制中主要研究的 两类一阶和二阶系统的适定性.第5章介绍正则系统这类系统是无穷维系统中的 有穷系统,重点是其时域频域表示以及极重要的允许反馈,其中允许的反馈是第6 章引入能稳性和可检性的基础第6章和第7章则转入控制理论的抽象讨论第6 章可控性与可观性的讨论导致了一阶和二阶系统的Rusl原理和开环可控与闭环 指数稳定性的等价性.第7章则是可优性、可估性、实现、极点配置等几个控制间 题的讨论,其中可优性和可估性是第6章能稳性和可检性的推广,它们和无穷维系 统的LQ问题有极大的关系.也导致了系统指数稳定性和输入输出稳定性的关系 表明了系统各个概念之间的有机统一.第二部分是适定、正则系统理论在线性偏微 分方程控制中的应用,这是一个由抽象的理论框架导致的全新的高维线性偏微分方 程控制理论这部分的工作就是要将过去零星的一些线性偏微分方程控制系统纳入 到适定、正则系统理论的框架内,以使这些方程具有系统学上的意义,反映了作者 及其学生、合作者在这个方向上的努力.第8章讨论高维 Schrodinger方程的适定 性.第9章讨论波动方程的适定性与正则性这两章都包括了常系数和变系数的不 同情况.虽然常系数是变系数的特殊情况,但常系数的讨论简单,便于学习,变系数 则需要一些黎曼几何的知识虽然在附录中介绍了一些黎曼几何的基本知识,但对 于不熟悉黎曼几何的读者来说,常系数的讨论可以使他们更快地进入这一研究领域 而不为复杂的数学所迷惑.第10章是关于板方程的适定性与正则性的讨论,也分 为常系数与变系数两种情况.第11章讨论了一般弹性系统的适定性与正则性,这 是一种强耦合的波动方程.第12章讨论了波动方程和板方程在弱耦合情形下的适 言 定性与正则性.这在噪声控制等领域有非常重要的应用.第13章是 Naghdi壳的 适定性与正则性,这部分内容不常见于文献.这些章节所讨论的问题实际上是偏微 分方程控制最早研究的对象,主要的是可控性、可观性和指数稳定性.这里主要讨 论在适定、正则理论框架下的性质.这部分内容相对比较独立,读者可根据自己的 兴趣取舍.特别是在134节,给出了不是适定的高维偏微分方程的例子,目的是要 告诉读者,任何一种抽象框架都不可能包罗万象,事实上也不存在这样的框架.这 正是这门学科还需要不断发展的动力每章的后面都有简单的总结,列出了主要的 文献及其相关的工作,以便读者继续学习参考所用.附录中主要列出了第二部分需 要的相关数学结果,特别是黎曼几何的知识,一是为了结论的完整,二是黎曼几何 不同于第1章的预备知识,并不是无穷维系统控制研究人员常具备的知识 这本讲义性质的著作很难称得上完整,还需要在教学实践中不断地修订、补充 以及简化证明.无穷维系统控制是公认的运用数学最多的控制分支,其研究人员也 以有数学背景的人居多.但本书尽量淡化数学知识的介绍,立足控制理论的基本方 向虽然这是不容易的.无穷是一个非常具有数学味道的概念,没有基本的数学基 础,要讲清楚是很难的,有时是不可能的.事实上,本书仅仅介绍了这个抽象框架的 基本结果,这些结果是任何从事无穷维系统理论研究的研究人员都需要掌握的基础 知识,而过于精细的结果则必须留待不同需求的读者自行浏览相关文献.无论如何, 作者希望本书有自己的特点,即研究人员可以以此作为起点,也可以较轻易地从中 查找到自己需要的内容 作者的观点是抽象的控制理论如同一个房子,而偏微分方程控制的例子如同房 子中的家具.没有家具的房子仅仅是个摆设,但没有房子的家具则难以显出其位置 虽然本书在两个方面都作了努力,但同其他任何一本著作一样,不足之处是难免的 读者的反馈意见是我们的财富 郭宝珠 中国科学院数学与系统科学研究院 柴树根 山西大学 2011年8月 符号说明 7维向量(x1,2,……,xn) 多元函数(x1,x2…,xn) aQ2 区域的边界 u|8s2 函数在边界∂g上的取值 R 全体复数的集合 开区间(a,b)上全体m阶连续可微函数的集合 闭区间{a,b上全体m阶连续可微函数的集合 区域Ω上全体m阶连续可微函数的集合 C(R 实数轴上全体连续函数的集合 Cm (r) 实数轴上全体m阶连续可微函数的集合 Co(R) 实数轴上除有限区间外恒为0的全体m阶连续可微函数的集合 C。(R) 实数轴上除有限区间外恒为0的全体无穷阶可微函数的集合 Hm(92) 区域2上m阶的 Sobolev空间 区域s2上的局部L2可积函数 阳范空间 H 阴范空间 算子A的谱集合 Tp(a) 算子A的点谱集合 or(a) 算子A的剩余谱集合 oc(A) 算子A的连续谱集合 算子A的延拓 A 算子A生成的C-半群 算子C的L延拓 算子C的A延拓 ∑.(A,B 控制系统i(t)=Ax(t)+Bn(t) ∑o(C,A) 观测系统x(t+)=Ax(t),y(t)=Cx(t) C(X, Y) X到Y的所有有界线性算子的集合 更r,更 控制系统Σ(A,B)的输入映射 亚r,业(7) 控制系统∑(C,B)的输出映射 FF(r), Foo 控制系统的输入输出映射 符号说明 9 带有度量g的黎曼流形 x(M)=T(M)=A(M)M上所有向量场 T (M) M上所有张量场 函数f的 Hessian矩阵 二阶张量S的迹 R 曲率算子 R(,…,…,) 曲率张量 Ri Ricci张量 梯度算子 Laplace算子 度量g下的梯度算子 度量g下的 Laplace算子 Hodge- Laplace算子 divx 向量场X的散度 2上平方可积的所有k阶张量场 H^(,A) 2上所有阶数小于k的协变微商都平方可积的1形式的全体 supp(u) u的支集,即u不为零的自变量的集合 目录 前言 符号说明 第一部分适定、正则系统理论 第1章预备知识 11有穷维线性系统 3 1.1.1系统描述 1.1.2可控性 1.3稳定性 11.4能稳性 1,1.5可观性 11.6可检性… 11 1.1.7观测器 12 118时间延迟补偿观测器 15 119最优控制、LQ问题 17 1.2赋范空间及其上的算子 19 12.1赋范空间 19 122线性算子 20 123线性算子的谱 1.24 Gelfand三嵌入 24 13C-半群 25 13.1线性算子半群 132Co-半群的生成 133压缩C-半群 27 134Co-半群扰动 28 13.5发展方程的解… 13.6C-半群的稳定性 14 Sobolev空间 141广义函数和 Sobolev空间…… 31 目录 1.4.2迹定理… 32 1.4.3 Sobolev嵌入定理 33 1.44 Laplace算子的边值问题 34 小结和文献说明 第2章允许控制算子 36 21阳范空间H和阴范空间H1 22解与控制算子的允许性 39 23控制系统的抽象表示 46 24允许性的算子刻画 51 小结和文献说明 58 第3章允许观测算子 9 31观测允许性 3.2抽象观测系统 63 33允许的对偶原理 34一个直接输出反馈的闭环系统 71 小结和文献说明 75 第4章适定系统 41适定系统与传递函数 78 42适定系统的抽象定义 …∴…86 43抽象一阶系统辶=Ax+Bα和二阶系统沱+Ax+Bv=0 7 小结和文献说明 100 第5章正则系统 102 51正则系统的输出表示 102 52正则系统的频域表示和传递函数 I06 5.3一阶系统元=Ax+Bu的正则性 112 54正则系统的反馈 ∴113 小结和文献说明 ………·128 第6章可控性、可观性以及能稳性、可检性 ∴·129 6.1可控性及其性质 129 6.2可观性及其性质 131 6.3-阶系统记=Aπ+Bu可控性和输出反馈稳定性的等价性 64二阶系统觉+Aw+Bu=0可控性和输出反馈稳定性的等价性 143 6.5能稳性与可检性 151 小结和文献说明 154 目录 vIl 第7章可优性、可估性以及几个问题 156 7.1可优性 156 72可估性 162 73实现问题 ∴.172 74极点配置问题 177 小结和文献说明 194 第二部分在偏微分方程控制系统中的应用 第8章 Schrodinger方程边界控制的适定性 197 81常系数 Schrodinger方程边界控制的适定性 197 8.2变系数 Schrodinger方程边界控制的适定性 203 小结和文献说明 212 第9章波动方程边界控制的适定性与正则性 213 9.1常系数波动方程边界控制的适定性 213 92常系数波动方程边界控制的正则性 221 9.3变系数波动方程边界控制的适定性 232 94变系数波动方程边界控制的正则性 233 小结和文献说明 238 第10章 Euler- Bernoulli板方程边界控制的适定性与正则性 239 10.1常系数 Euler- bernoull板方程边界控制的适定性 239 10.2常系数 Euler-Bernoulli板方程边界控制的正则性 248 10.3变系数 Euler- Bernoull板方程边界控制的适定性 254 104变系数 Euler- Bernoull板方程边界控制的正则性 264 小结和文献说明 ·269 第11章线性弹性系统边界控制的适定性与正则性…… …270 111线性弹性系统的适定性 ∴270 112线性弹性系统的正则性 286 小结和文献说明 307 第12章弱耦合波与板方程边界控制的适定性与正则性 121弱耦合波与板方程的适定性 308 122弱耦合波与板方程的正则性 318 小结和文献说明 324 第13章 Naghdi壳的适定性与正则性 326 131 Naghd壳模型 v11 目录 132 Naghd壳的适定性 ……328 13.3 Naghd壳的正则性 134不适定系统的例子 354 小结和文献说明 359 附录A双曲偏微分方程非齐次边值问题 361 A.1波动方程的非齐次边值问题 361 A2线性弹性系统非齐次边值问题 367 A.3弱耦合的波与板方程非齐次边值问题 377 A.4 Naghdi壳方程的非齐次边值问题 383 附录B线性弹性系统与 Naghdi壳方程的微分几何形式表示 91 B1微分几何知识和一些记号 ∴∴391 B2线性弹性系统的几何形式 395 B3方程(B.25)的推导 参考文献 400

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