常用算法介绍

根据给定的信息，本文将详细介绍数论算法与图论算法中的关键知识点，包括具体实现方法与应用场景。 ### 数论算法 #### 1. 求两数的最大公约数 最大公约数(GCD)是指能够同时整除两个或多个整数的最大正整数。在数学与计算机科学中有着广泛的应用。 **算法原理**: 采用欧几里得算法，其基本思想是通过不断取余的方式求解最大公约数。如果\( b = 0 \)，那么\( a \)就是两数的最大公约数；否则，递归地求解\( b \)与\( a\%b \)的最大公约数。 **代码实现**: ```pascal function gcd(a, b: integer): integer; begin if b = 0 then gcd := a else gcd := gcd(b, a mod b); end; ``` #### 2. 求两数的最小公倍数 最小公倍数(LCM)是指能被两个或多个整数共同整除的最小正整数。 **算法原理**: 最小公倍数可以通过最大公约数来计算。如果已知两数的最大公约数\( GCD(a, b) \)，那么它们的最小公倍数\( LCM(a, b) = \frac{a \times b}{GCD(a, b)} \)。 **代码实现**: ```pascal function lcm(a, b: integer): integer; begin if a < b then swap(a, b); lcm := a; while lcm mod b > 0 do inc(lcm, a); end; ``` #### 3. 素数的求法 **算法原理**: - **小范围内判断一个数是否为质数**: 对于一个小范围内的数\( n \)，可以检查从2到\( \sqrt{n} \)之间的所有数是否能整除\( n \)。 - **判断LongInt范围内的数是否为素数**: 可以使用埃拉托斯特尼筛法筛选出一定范围内的所有素数。 **代码实现**: ```pascal function prime(n: integer): Boolean; var i: integer; begin for i := 2 to trunc(sqrt(n)) do if n mod i = 0 then begin prime := false; exit; end; prime := true; end; ``` 对于更大范围的素数判断，可以使用筛法: ```pascal procedure getPrime; var i, j: longint; p: array[1..50000] of boolean; begin fillchar(p, sizeof(p), true); p[1] := false; i := 2; while i < 50000 do begin if p[i] then begin j := i * 2; while j < 50000 do begin p[j] := false; inc(j, i); end; end; inc(i); end; l := 0; for i := 1 to 50000 do if p[i] then begin inc(l); pr[l] := i; end; end; ``` ### 图论算法 #### 1. 最小生成树 最小生成树(MST)是从一个加权无向图中选择一些边，使得形成的子图中没有任何环，并且这些边的权重之和尽可能小。 **Prim算法**: Prim算法是一种贪婪算法，它从任意一个顶点开始，逐渐添加边来构建最小生成树。 **代码实现**: ```pascal procedure prim(v0: integer); var lowcost, closest: array[1..maxn] of integer; i, j, k, min: integer; begin for i := 1 to n do begin lowcost[i] := cost[v0, i]; closest[i] := v0; end; for i := 1 to n - 1 do begin min := maxlongint; for j := 1 to n do if (lowcost[j] < min) and (lowcost[j] <> 0) then begin min := lowcost[j]; k := j; end; lowcost[k] := 0; for j := 1 to n do if cost[k, j] < lwocost[j] then begin lowcost[j] := cost[k, j]; closest[j] := k; end; end; end; ``` **Kruskal算法**: Kruskal算法同样是基于贪心策略，它通过不断地选择最短边加入MST，直到MST包含所有顶点为止。 **代码实现**: ```pascal function find(v: integer): integer; var i: integer; begin i := 1; while (i <= n) and (not vin vset[i]) do inc(i); if i <= n then find := i else find := 0; end; procedure kruskal; var tot, i, j: integer; begin for i := 1 to n do vset[i] := [i]; p := n - 1; q := 1; tot := 0; sort; while p > 0 do begin i := find(e[q].v1); j := find(e[q].v2); if i <> j then begin inc(tot, e[q].len); vset[i] := vset[i] + vset[j]; vset[j] := []; dec(p); end; inc(q); end; writeln(tot); end; ``` #### 2. 最短路径 **标号法求解单源点最短路径**: 这是一种用于求解图中从单一源点到所有其他顶点的最短路径的算法。 **算法原理**: 从源点出发，按照距离递增的顺序依次标记所有可达的顶点，直至所有顶点都被标记。 由于提供的代码片段不完整，这里不再给出具体的代码实现。 以上就是关于数论算法与图论算法的关键知识点介绍。这些算法在实际问题解决中具有重要的作用，理解并掌握它们对于提高编程能力非常有帮助。