抽屉原则及其他 常庚哲.pdf

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经典的数学科普小丛书,这本书对组合数学抽屉原则做很简单的阐述。 组合数学入门,可以读读。
前言 “把%+1个或者更多的物体放到个集合之中,那术,至 少有一个集合里要放进两个或者更多的物体”,这就是抽屉原 则的最筒单的形式.抽屉原则又叫重迭原则,虽然它的正确 性十分明显,很容易被不具备多少数学知识的人所接受,但 是,加以灵活运用,可能得到一些意想不到的结果。各种形式 的抽屉原则,在初等数学乃至高等数学中,经常地被采用着 本书以抽屉原则为主题,着重介绍了它在初等数论中的 一些应用.因此,书中不得不引进“初等数论”中的一些基本 知识,例如:同余式,用有理数来逼近无理数,不定方程,数的 几何等等,但并不对这些作进一步的讨论.作者其所以作出 这种安排,是希望读者不单单知道什么是“抽屉原则”—一这 本来是不难做到的,还能接他到一些在中学数学教材中读不 到的内容,以扩大他们的知识面,增强他们学习数学的兴趣 1978年4月,在全国部分省市中学生数学竞赛举行的前 夕,作者曾以《抽屉愿则》为题,在安徽省儿个城市对中学生作 过讲演,本书就是在当时讲病的基础上扩充而成的.在编写 本书第七节佩尔方程的时侠,征得士使同志的同意,吸收了 他发表在《数学通报》197年第7期上的一篇文章的部分内 容,特此志谢.冯克勤、单增、杨劲根和李克正同忘给作者提供 了一些有趣的例题和习题,单增同志还详细阔读了第七节的 初稿,提出了若干有益的建议,作者对他们表示衷心的感谢! 由于作者水平的展制,错误和不妥之处,恐难避免,切望 读者批评指正 作者 于1978年7月 彐录 前言 第一堂算术课 dp·····合····s·;日··s。d·q····◆s··◆··s:·◆··· 抽屉原则 ···e 124 三、一些例子 四、剩余类 4·ψ■·■ψ喜會∮·鲁●··●■··鲁b●最D·自··ψ●●引音·「普晕D···自甲p●●···咖 14 五、有理数和无理数 20 六、不定方程 ●D●●鲁 七、佩尔方程 p。●爵D●●命●·●● 单·音即●中。申p日营·P伊即■●● 30 八、面积的重迭原则… ………38 练习题 q···↓···◆···◆······4···4·········4···“·····“·········口··。····4 45 练习题解答概要… ■●鲁4·p●··鲁p會·◆◆●●·●◆自····●●●··自··鲁◆tD 48 第一堂算术课 新学年开始了 开学的那一天,红基小学一年级一班第一堂就是算术课 任课的张老师,是一位很有经验很有水平的老教师。她讲课 深入浅出,活泼生动,凡是长期听张老师讲课的同学,总是不 知不觉地对数学发生了浓厚的兴趣. 张老师走进课堂,全班同学起立,向这位辛勤的园丁致 敬。环视那几十张陌生而可爱的小脸,张老师心里充满了无 限的喜悦,她用償单而诚挚的语言向新同学表示祝贺和欢 迎,嵌看说道“我校今年招收了三百七十名一年级新生,他们 都年满六岁但还不到七岁.我说呀,这么多的新同学中间 定有两个人是同年、同月、同日出生的小同学们,你们说对 不对?” 对于这个新奇的结论,大家感到有趣而又惊讶.同学们 低声地互相议论起来了 “张老师知道我们每一个人的生日了吗?” “不会的.她今天同我们才头一次见面连我们的名字恐 怕都叫不上来.” 张老师一定查看过我们的报名登记表了!” 这一句话恰巧被张老师听见了,她笑着说:“我没有看过 你们的登记表而且,完全不必要看这些表,就可以得出这个 1 结论” 同学们更惊奇了! 张老师接着说:同学们想想看,把十只苹果放到九个抽 屉中去,无论怎么放,这九个抽屉中一定有一个抽屉里放了两 只或两只以上的苹果.你们说对吗? “对!对!”同学们齐声回答.小朋友所具备的常识,就足 以使他们明白:要是每个抽屉中最多只有一只苹果的话,那 么九个抽屉至多才装着九个苹果 :“好:!我们把一年中的三百方十五天间年三百六士方 天)的每一天,看成一个抽屉,而把三百七十个新同学中的每 个人看成一只苹果”接照苹果”出生的日子,把他们放 到对应的抽量中去.由于“苹果”数目多于“抽屉”数目,就能 知道:一定有一个“抽屉”中,至少放着两只F苹果”:这就是 说x至少有两个同学的生日相同.再根据同学俱的钾龄的差 别不超过岁,所以,这两个同学一定是同年同月、同目出生 的了” 小朋友们恍然大悟,会心地微笑了 二、抽屉原 运用第一节中采用过的推理方法,我们还可以证明如下 的更加令人惊讶的结论 根据常识,一个人的头发的根数不会超过二十万.因此, 在一个拥有二十多万人口的城市中,一定有那么两个人,他们 的头发的根数相同 推理方法如下:我们设置二十万零一个“抽屉”并且对 如·P 每一个抽屉依次树£从0,12,3,…直20000中的 个号码.按各人头上头发的根数归入相应的一个抽屉” 比郊说,姐果张乐平同志画的三毛生活在这个城市,那么他就 被归为标有号码“8”的那个“抽屉”;我们没有理由排除这个 城市中有留着光头的人,所以必须设置“0”号抽屉”,由于 人的数目多于“抽屉”的数目,可以断定,一定至少有两个人与 同一“抽屉相对应,这两个人自然就有同样多根头发了, 容易看到,这从本质上来说,仍然是前节中“十只苹果”利 九个抽屉的推理方法.这种推理的正确性,“显然”到了连 小学一年级的学生也能完全接受,如果把这种推理推广到更 加一般的形式,其正确性也完全可以被不具备多少数学知识 款所认识 怎样把这种推理推广到一般形式呢?我们来注意以下两 j点 2泊王∴如果将萍果:换成“皮球”、“铅笔'或“数”,同时将“抽 屉相应地换成“袋子”、“文具盒或“数的集合”,那么仍可 以得出相同的结论 这就是说:推理的正确性与具体的对象没有关系。我们 把一切可以同“苹果互换的对象称之为元素”而把一切可 以同“抽屉”互换的对象称之为“集合”,从而得知:十个元素 以任意的方式归入九个集合之中,那么其中一定有一个集合 中至少包含两个元素 2.“苹果”和“抽屉”的具体数目是无关紧要的,只要苹果 (元素)的个数比抽屉(集合)的个数多,那么推理照样成立 于是,我们就可以把“十只苹果”和“九个抽屈”的推理方 法,推广到下述一般形式 原期一把多于个的元素按任一确定的方式分成%个 集合,那么一定有一个集合中含有两个或两个以上的元素 原则一还有以下更加一般的形式 原则二把多于m×%个的元素按任一确定的方式分成 个集合那么一定有一个集合中含有m+1个或m+1个以 上的元素 这是很明显的,因为若每个集合中所含元素的数目均不 超过m,那么这%个集合所含元素个数就不会超过m× 原则三把无穷个元素按任一确定的方式分成有穷个集 合那么至少有一个集合中仍含无穷多个元素 这也是很显然的,这是因为,如果每个集合中只含有穷多 个元素,那么有穷个集合只能包含有穿个元素 以上三个原则都称为抽屉原则.看上去,它们都是非常 筒单的可是,正是这样一些很简单的原则,在初等数学乃至 高等数学中,有着许多应用.巧妙地运用这些原则,可以很顺 地解铤一些看上去相当复杂、甚至党得简直无从下手的数 律趣預。 三、一些例子 在本节我们运用抽屉原则,来证明初等数学中的一些题 [例1]在边长为1的正方形内任意放置五个点;求证: 其中必有两点这两点之间的距离不大于2 证明将这个正方形的两对对边上的中点连接起来,把 它分成四个大小相等的小正方形(图1),在大正方形里任放 五个点,就相当于把五个点以任一确定的方 式投放在这四个小正方形中。这里,我们把 每一个小正方形看成一个“抽屉”,于是间题 就归绪为把五个元素(点)放入四个“抽屉(小 正方形).根据前节的原则一,必有一个小正 方形,其中包含两个或两个以上的点,对于其 图:1 中的两点,它们间的距离不会超过小正方形对角线的长度(即 大正方形对角线长度的一半),即不大于 例2]空间中有六个点,其中任何三点都不共线,任何 四点都不共面.在每两点之间连起直线段之后,将每一条这 样的线段或涂上红色,或涂上蓝色.求证:不论如何涂色,一 定存在一个三角形,它的三边有相同的颜色 证明从任一点出发,到其余五个点,共可联五条线段 由于这五条线段已被红蓝两种颜色所涂染,如果把红线段分 入一个轴屉”,蓝线段分入另一个抽屉”,于是问题就归结为 五个元素线段),即多于2×2个元素分到2个“抽屉”(蓝色或 红色,按照原则二,其中至少有三条线段被分入同-“抽屉 即染有相同的颜色例如说是红色(图2中 的实线).我们来考察这三条由同一点出 发,具有相同颜色的线段,把这三条线段的 另外三个端点两两联接起来,就构成了图 2所示的虚线三角形.如果有一条虚线被 图 涂成红色,那么它就与两条实线组成一个 红边三角形;如果这三条虚线中一条红边也没有,那么它们本 身就组成一个蓝边三角形了 [例3]在边长为1的正方形中,任意放入9个点,证 5 明:在以这些点为顶点的许许多多三角形中,必有一个三角 形,它的面积不超过.(968年北京市数学竞赛试题) 证明用三条平行于上下底边的直线,抱正方形分成四 个大小相等的长方形.九个点任意放入这四个长方形中,根 据原则二,即多于2×4个点放入四个长方形中,则至少有 241个点(即三个点)落在某一个长方形之内.现在,特别取 出这个长方形来加以讨论(图3 二邮 4 图3 把落在这长方形中的三点记为A、B、0,通过这三点分 容1△ABC的面积△AB的面积+△AAO的面积 作平行于底边的直线由图8显然可见 2 X/+ 2 4 1,工 2 48 这样就得到了需要证明的结论 [例4一个正方形被分成了16×1=225个大小相同 的小方格(图4).在每一个小方格中,任意填写↓,23,… 66,6中的一个数.求证:一定能够找到四个小方格;它们 的中心构成一个平行四边形的四个顶点,并且这平行四形 各条对角线两端的两个小方格中的数字之和相等

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