五 一 数 学 建 模 竞 赛
题 目： 对无人机定点投放问题的研究
关键词： 牛顿欧拉动力学方程 遗传算法 拉格朗日乘子法 解析法
摘 要：
针对问题一，本文将物资看作质点，首先建立了以无人机的质心为坐标原点的
载体系和以物资抛出点为坐标原点的位置系。然后对抛出后的物资进行运动学以及
动力学的分析，得出其在飞行过程中的运动状态以及受力的变化。
本文认为，物资所受的空气阻力与速度的平方成正比，因此可得物资所受空气
阻力为：
(
)
2 2 2 2
( ,, )
x x zx z z x z
F F F kv v v kv v v+ += =
.然后根据牛顿欧拉动力学方程，求得物
资在 x 轴、z 轴方向上的运动方程。由于此微分方程直接求解存在较大难度，因此，
将该微分方程转变为差分方程，进而得出其位置方程。通过 MATLAB 的编程求解，
解得在无人机飞行方向与风向相同、相反、垂直时，投放距离分别为 650.025m、
590.089m、617.608m.
针对问题二，首先建立了载体系和投掷物坐标系，从而能更好的刻画无人机与
炸弹的运动。然后，对抛出的炸弹进行动力学和运动学上的分析，再结合勾股定理，
可得无人机发射距离
d
，进而利用解析法，求得无人机发射距离与无人机的飞行高
度、无人机的飞行速度、俯冲和发射角度之间的解析关系。
假设风速的方向与无人机的飞行速度方向相同，根据问题一所建立的模型，可
得出爆炸物的位置方程。根据题意，得出关于发射爆炸物时无人机与目标距离 d 和
无人机高度 h 的约束条件。利用 MATLAB 编程，将 d 作为约束条件，然后将
a
以
0.01°为迭代步幅，在 0°到 90°上进行数值仿真，从而得到了
a
与 h 的关系。进
而，得出满足约束条件的俯冲角
a
的取值范围为[0°,46°]，根据
a
的取值利用所
编写的 MATLAB 程序可求出与之对应的无人机高度 h.发射策略为：在满足约束条
件的俯冲角取值范围内，取相应的角度和与之对应的高度，来发射爆炸物即可命中
目标。
针对问题三，无人机发射爆炸物过程中飞行稳定性对命中精度的影响，本文建
立了一个综合各个因素的数学模型，量化了其飞行稳定性与命中精度之间的关系。
本文采用遗传算法和拉格朗日乘子法对其最优解进行求解，并且采用了数值仿真的
方法，对无人机的稳定性进行了验证。本文发现，在飞行、发射速度确定的情况下，
通过对无人机姿态的调整可显著提高命中精度。本文给出在特定条件下的，最大限
度保持无人机稳定的而应当采取的策略。
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