代数拓扑学Spanier

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.A->A,且以记号:A'∈A表示A是A的子集,并目是包含 映射。从一集合A到自身的包含映射称作A的恒同映射,记为 1A.若J'CJ,则有一包含映射 √A,C ∈J ∮∈J 在一·集合A中的一个等价关系:是A的元素之间的一个关 系~,它是自反的(亦即,对所有a∈A,有a~a),对称的(亦即, 对a、a'∈A,a~a′蕴涵a~a),传递的(亦即,对a,a,a"∈A, a~a′和a~a"蕴涵a~d"),a∈A关于关系~的等价类是子集 a∈A|a~a}.A的元素关于~的所有等价类的集合记为A/~, 称为A的商集.存在投射A→>A~,把a∈A变到它的等价类 若J为J的子集,则也有一个投射 Pr:×A→×A ∈ (是为上述意义下的投射) 给定函数f:A→>B和9:B→>O,它们的合成9f(也记为 9f)是从A到O的一个函数,由(gof)(a)=9(f(4))(a∈A)所定 义.若A'∈A,及∫:A→>B,f在A′上的限制是指函数∫A': A→>B,由(fA)(a)=f(a)(a'∈A)所定义,(这样,∫A'= ∫o,其中么A'∈A),且函数∫称为fA'到A的扩兖 一个单映(或称单亚数)是一个函数f:A-→>B,满足∫(a1= f(a)蕴涵a=四2,对a1、四∈A.一个满映(或称满函数)是一个 函数f:A→>B,使得b∈B蕴涵存在0∈A使∫(a)=b。一个双 映(或称双函数,或称一一对应)是既为单映又为满映的函数 在一集合A内的一个偏序是A的元素间的一个关系≤,它是 自反的和传递的(注意这里未假定a≤和a≤a蕴涵a-a°), A内的一个全序(或称单序)是A内的一个偏序,使对a,a'∈A;总 有≤或≤且它是反称的(即a≤a和a≤a蕴涵a=a), 个偏序集是一个带有偏序的集合,一个全序集是一个带有全序 有些文献中偏序的定义是假定这个条件的。读者在查阅有关结论时宜注意此 区别 译注 的集合 1.zorn引理一个偏序集中,若任一全序子集有上界,则 此偏序集包含极大元素 一个顺向集A是一个带有偏序≤的集合,使得对α、β∈A, 存在y∈A,使a≤γ和B≤γ.集合的一个顺向体系{A,∫以 下述方式组成,即:一族集合{A“},其指标取于一个顺向集A= {,以及一函数∫aA→A,对每一对a<,使得 (a)fa=1A:AcA,对所有a∈ (b)f=ff2A“→>A,对A中的≤≤γ 顺向体系的顺向极限记为lm{4},是V4a的等价类的集合, 其等价关系~a0为:若有使∝≤γ返≤,则∫a4=fM° 对每个α,存在一个映射饭:4-m,{A},且若a≤β,则 a=9 2.給定一个集合的順向体系{A“,∫份},且给定一个集合B, 及对每个α∈A,给定一个函数gc:A“→B,使只a=98f,若 a≤用.则存在唯一映射g:lim{A°}→>B,使对所有a∈l,yoa 3.在定理2所用的同样记号下,映射g是双映,当且仅当下 列两条成立: (a)b=Uga(aa) (b)ga(a"=yB(a°)当且仅当存在γ,使α≤γB≤γ,∫(a) ∫(c 设{A是指标取于J={}的集合族,设A是J的有限子 集族,且定义a≤B,对于a,B∈A,由aCB,则A是一顺向集, 且存在一顺向体系{A由A-Vy∈aA定义;并且,若a≤R,则 令fA→A8是包含映射记g:Aa)VeA,为包含映射 4.在上述记号下,存在一个双映 g:lim,{4}-V/∈A 使gia=ga(亦即,任意集合和是其有眼部分集合和的顺向极限) 个朱合的逆向体系{Aa,∫以下述方式组成,即:一个指标 取于顺向集合A={a}的集合族{A},及一的数族fa:A→>Aa 对α≤,使得 ACA对w∈A; (b)fx=fafk:A,→>Aa对≤≤y∈A 逆向体系的迸向极服记为lm,{Aa},是×Aa的子集,由所有如 下所述的点(a)组成,即:若《≤B,则a=fBuB.对每个a,存在 映射pa:im,{Aa}→Aa,且若≤β,则ga=∫f④ 6.给定一个集合的逆向休系{Aa,∫},并给定一个集合B 和对任一∈A的一个函数g:;B→>Al使ga=f9B若a≤月. 则存在唯一的画数g:B丶]im、{Aa}使对阶有的a∈A,ga=p°g 6.在定理的相同记号下,陕射g是双陝,当且仅当下列两 条件成立: (B)ga(b)=ga(b)对所有α∈A,蕴涵b=b; (b)给定(a∈×Aa使aa=fa(若∝≤B,则存在B 使对所有的α∈A,ga(b)=aa 设{A是一指标取于J={丹的集合族.设A是J的有限 非空子集族,且定义对a,B∈A,a≤β,若aCβ,则A是一舨向 集合,且存在一个逆向体系{Aa},出Aa=×aA定义,并且若 G≤8,则fA→>Aa是投射,对每个a∈A.令ga:X∈JA→>Aa 为投射 7:在上述记号下,存在双映9:×’∈A-im-{A},使 ga=ya°(亦即,任意笛卡儿积是其有限的部分笛卡儿积的逆向极 ) §2一般拓扑 个拓扑空间也简称为一个空间,除非明确说明我们并不假 #)作为一般的参孝书见J.L. Kelley: eneral Topology,D. Van Nostrand Company, Inc., Princeton, N,J, 1955 FA S. T Hu: Elements of Genera r'opdogy Holden-Day,Ine, an francisco,1964——原注 定它满足任何可分离性的公设但对于拟紧致的,正规的和正则室 旬,我们始终很定都是 Hausdor空间。从一拓扑空阃到另一个 的连续映射也被简称为映射 给定一个集合Ⅹ和一族拓扑空间{x及函数fX→ X,在X上由函数{丹诱导的拓扑是使每个f都连续的最小 的或称最粗的拓扑, .在上由函数{∫Ⅹ-M丹}诱导的拓扑由下述性质所 示性:若Y是一拓扑空间,则函数9:了→>X是连续的,当且仅当 f°9:Y->X对每个打J都连续 拓扑空间x的子空间是x的一子集A,其拓扑由包含映射 AC诱导.拓扑空间X的离散子集是x的一个子集,它的每 个子集在Ⅹ中都是闭子集带指标的拓扑空间族{X的拓扑 积是笛卡儿积XX其拓扑由投射y:XX→>x力对每个∈J 诱导出.若{Xa}∈A是一个拓扑空间的逆向体系(即x对每个 a∈A皆为拓扑空间,且f:X>Xa是连线的,对α≤,其逆 向极限1im-{Ka由函数{ma}a∈A诱导出拓扑,其中 k1im{xa}→Xa(a∈A 给定一个集合Ⅹ和带指标的拓扑空间族{xe以及函数 v:Xr>X(∈J.在Ⅹ上由函数{}上诱导的拓扑是使每 个9;为连续的最大的或称最细的拓扑 2.在Ⅹ上由函数{g:Ⅺ>}上诱导的拓扑由下述性质 所示性:若是任一拓扑空间,则函数f:X→Y连续,当丑仅当 f:Ⅹ→F对每个j∈了都连续 拓扑空间Ⅹ的商空间是x的一个商集x,其拓扑由投射 x→>X上诱导出.若Acx则X/A记X的商空间,它由将整 个A等同为一个点而得到、带指标的拓扑空间族{X少e的拓扑 和为集合和VⅩ,其拓扑由单映xVX(∈刀上诱导 出.若{xa}A是拓扑空间的顺向体系(亦即x都是拓扑空 间(a∈A),且:x→XB都是连续的,≤,其顺向极 限1m{X由函数{}A上诱导出拓扑,其中 in:Xa→lim,{Xa},a∈A, 设,={A}是拓扑空间X的子集族.X称作具有对的 上礙聚拓扑,若Ⅹ上的拓扑由子空间{A}的包含映射{AcX} 上诱导出,(在一些文献上这种拓扑常被称为关于、姓的弱拓扑) 8.Ⅹ具有对赠的上凝聚拓扑的充分必要条件是:Ⅹ的子 集B在星中是闭的(或开的),当且仅当B∩A在子空间A(A∈ )中是闭的(或者相应地是开的 4.若,赠是X的任一开覆盖或局部有隈闭覆盖,则Ⅹ具有 对必的上凝聚拓扑 5.设Ⅹ是一个集合,{A丹}是个带指标的拓扑空间族,每个 A/都是Ⅹ的子集.设对每个和y,A∩A是山及Ay中的闭 (或开)子集,并且Af∩A从山诱导的拓扑等于它从Aφ诱导的 拓扑.则在Ⅹ上由包含映射{AC}上诱导的拓扑,被下述性 质所示性:对每个A是X的闲(或开)子空间,且Ⅹ具有对疾 {A丹}的上凝聚拓扑. 定理5中x的拓扑被称作是对{A}的上疑聚拓扑 个紧玫生成的空间是个 hausdor空间,具有刈其紧致子 集族的上凝聚拓扑.(有些文献中又叫作 Hausdorfi1k-空间.) 8.一个 Hausdorf空间是局郾紧致的或满足笫一可数性公 设,是紧致生成的 若Ⅹ是紧致生成的,Y是局部紧致的 Hausdor聞空问, 则ⅩY是紧致生成的 若Ⅹ和Y是拓扑空间,且AcR及BCY,则以<A;B记 所有满足∫(A)B的连续函数f:X→Y的集合.以yx记从 K到的所有连续函数组成的空间,其拓扑由子基{K;U生 成,这里K是Ⅹ的紧致子集,U是Y的开子集,这个拓扑叫作 紧致开拓扑.若ACX及BCY,我们用(Y,B)(x4记Yx的子 间,由所有满足∫(A)CB的连续函数组成,记E:Yxxx→F 为赋值映射,由D(f,a)=∫(a)定义.给定函数9:2→xx则合 成映射 6 z×x2× Yxxx- y 是从zXX到Y的一个函数 8.指数对应定理若X是局部紧致的 Hausdor空问,Y 和》是拓扑空间,则一映射9:团-YX是连续的,当且仅当 Ec(×1):区×星→Y是连续的 9.指繳法则若x是局部紧致的 hausdorf空间,Y是拓 扑空间,则由ψ(9)=E(9×1定义的函数ψ:(F→y是 个同胚 10.若X是一个紧致的 Hausdor空间,Y是度量为d的 度量空间,则FY可由度量¢作成度量空问,其中d由 d(f,g)=sup{d(f(z),g(∞))|a∈x} 定义 §3群论 个同态若分别是单映,满映,双映,则分别称为单同态,满同 态,同构、若{G}∈是带指标的群族,则其直积为一个群,在笛卡 儿积×G:上,由(g)(g)(9)定义群的构造.若{Ga}是群的 个逆向体系(即对每个a,G。是个群,且∫:G>是同态, a≤R),其逆向极限(做为集合的逆向极限)lm{(吗是XGa的 个子群 设A是群G的子集,叫做由A自由生成的,且A叫做G 的自由生成集或G的自由基,如果给定任意函数:A→丑,其中 H为一群,则存在唯一同态:G→丑是∫的一个扩充.一个群 称为自由的,若它是由某子集所自由生成的,对任意集合A,电 A生成的自由群是一个群F(A),它包含A做为其自由生成集。 这样的群F(A)存在,且任意两个是典型同构的 1.任一群同构于一自由群的商群 群G的一个显示由生成元集合A,关系集合BCF(A),以及 函数f:A-)G组成,且要求其护充所成的同态gF(A)-Q是 个满同态,其核是F(A)的由B生成的正规子群.若A和B是两 个有限集合,则此显示称为有限的,且G称作是有限显示的。 4模“ 我们主要有兴趣的模是为主理想环的。不过,我们将从 B模的某些性质入手,其中B是个带单位的交换环,此单位作用 在每个所考虑的模上是恒同的.若2A→>B是B模的同态,则 有R模 kerq-{a∈A|(a)=0}cA imq={∈B|b=g(a),对某些a∈A}CB coker g=B/img。 1. Noether同构定理设A和B是模O的子模,且设A B是C中由AUB生成的子模。包含映射AcAB变A门B到B 内,且诱导A/(A∩B)同构于(A+B)/B 若{AJ是带指标的R模族,则其直积xA:是个配模,且 其直和A也是一个R模(④A是×A的子模,由仅有有限个 坐标非0的元素组成).B模(以及同态f:A→Aa≤)的逆 向体系{Aa}的逆向极限lm-{Aa是个B模;E模(及同态)的 顺向体系的顺向极限也是B模 只.任一配模同构于其有限生成的子模(及其包含映射)的顺 向体系的顺向极眼 若A和B是B模,其张量积A⑧B(亦写作AB)是个R 模。对于a∈A和b∈B,存在一个对应的元素a∞b∈A⑧B. AQB由元素{⑧ba∈A,b∈B生成,且对于a,a'∈A, 作为一般参考书,可看H. Cartan和a. eilenberg, Homological∠ genro Princeton University Pres,N.J·1956及. Maclane,互 omoro, Springer- Verlag o丑G, Berli,1963.一一原注 )本节内容仅应用于第3章以后,作为只阅读这个节译本的谀者,可略去不 读。一译注 b,b'∈B,r,r∈R,有关系 a+ra)b=r(a⑧b)+(ab), ⑧(b+b)(a⑧b)+q(a∞b 成立 在A或B又是B′模的情况下,A⑧B也是B′模 3.对任一R模A,由a>a⑧1和a+1⑧m定义的两个同 态,是A到A⑧B和BSA的两个同构 4.对于B模A和B,存在A⑧B到B⑧A的同构,将a⑧b 变为ba 6.若A和B是R模,B和O是B'模,则存在(A⑧B) 到A⑧(B⑧O的同构,变(a③b)⑧为a⑧(⑧0)(两者皆被视为 既是配模又是现′模) 若A和B是R模其同态模H0m(A,B)[也写为IomR(A, B]是以B同态A→B为元素的R模.在A或B也是B模的情 况下,Homn(A,B)也是个B模。 6.若A和B是配模,B和C是B模,则存在H0mR(AQ B,∽)到HomB(A,Homg(B,∽))的同构(两者皆既视为B模又 视为模),将R同态φ:A⑧B→C变为B同态 g:A→Hom(B,O), 由q'(a)(b)=p(a⑧b)给出(a∈A,b∈B) R模A的子集S称为A的基(且A称为由S自由生成的), 如果任意函数∫:→B,其中B是一B模,容許唯一地扩充为向 态9:A→>B.若一模有基,则称它为自由模:对于任一集合8, 由N生成的自由模记为F2(S),是从8到B的所有有限非0函 数的模(其加法和数乘以显然的方式定义,将∈8等同于其特 征函数.F(S)包含S作为其基,且任意以S为基的模典型地同 构于FR(S) 了.任一B模同构于一自由孔模之商

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