2020高中数学必备知识点 解析几何中求参数取值范围的5种常用方法.doc
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2021-10-12
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2020 高中数学必备知识点 解析几何中求参数取值范围的 5 种常
用方法
一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式
曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围，如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 上的点
P（x，y）满足-a≤x≤a，-b≤y≤b，因而可利用这些范围来构造不等式求解，另外，也常
出现题中有多个变量，变量之间有一定的关系，往往需要将要求的参数去表示已知的变量或
建立起适当的不等式，再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.
例 1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 （a>b>0），A，B 是椭圆上的两点，线段 AB
的垂直平分线与 x 轴相交于点 P（x0，0）
求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a
分析:先求线段 AB 的垂直平分线方程，求出 x0 与 A，B 横坐标的关系，再利用椭圆
上的点 A，B 满足的范围求解.
解: 设 A，B 坐标分别为（x1，y1） ，（x2，y2），（x1≠x2）代入椭圆方程，
作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 •x2+x1 y2+y1
又∵线段 AB 的垂直平分线方程为
y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 （x-x1+x22 ）
令 y=0 得 x0=x1+x22 •a2-b2a2
又∵A，B 是椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 上的点
∴-a≤x1≤a，-a≤x2≤a，x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a
∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a
例 2 如图，已知△OFQ 的面积为 S，且 OF•FQ=1，若 12 < S <2 ，求向量 OF
与 FQ 的夹角 θ 的取值范围.
分析:须通过题中条件建立夹角 θ 与变量 S 的关系，利用 S 的范围解题.
解: 依题意有
∴tanθ=2S
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