《电动力学(第二版)》(郭硕鸿) 习题答案doc

根据给定文件的信息，我们可以从中提炼出几个关键的知识点，主要集中在量子力学的基本概念和计算方法上。下面将对这些知识点进行详细的阐述。 ### 1. 一维无限深势阱中的粒子 #### 1.1 粒子能量的可能取值 一维无限深势阱模型是一个理想化的物理模型，用来描述粒子在一个特定区间内的行为。在这个模型中，粒子被限制在一个长度为\(a\)的一维空间内，势能函数定义如下： \[ V(x) = \begin{cases} 0, & 0 < x < a \\ \infty, & \text{其他} \end{cases} \] 通过使用德布罗意的驻波条件和德布罗意关系，可以求得粒子能量的可能取值。具体步骤如下： 1. **驻波条件**：对于一维无限深势阱，粒子的波函数在边界处必须为零，这意味着波函数在势阱内部形成驻波。根据驻波条件，粒子波长满足： \[ \lambda_n = \frac{2a}{n}, \quad n = 1, 2, 3, ... \] 2. **德布罗意关系**：粒子的动量\(p\)与其波长\(\lambda\)之间的关系为： \[ p = \frac{h}{\lambda} \] 3. **能量计算**：结合以上两个条件，可以得到粒子的动能表达式： \[ E_n = \frac{p^2}{2m} = \frac{h^2}{2m\lambda_n^2} = \frac{n^2 h^2}{8ma^2} \] 因此，粒子的能量可能取值为： \[ E_n = \frac{n^2 h^2}{8ma^2}, \quad n = 1, 2, 3, ... \] 这里\(n\)是量子数，表示不同的能级。 ### 2. 三维无限深势阱中的粒子 #### 2.2 粒子能量的可能取值 三维无限深势阱模型是前者的扩展，粒子被限制在一个三维空间内，其长、宽、高分别表示为\(a\)、\(b\)和\(c\)。假设粒子在势阱内自由运动，与箱壁发生完全弹性碰撞，可以通过类似的方法求解粒子能量的可能取值。 1. **量子化条件**：在每个坐标方向上，粒子的动量遵循量子化条件： \[ p_{x} = \frac{n_x h}{2a}, \quad p_{y} = \frac{n_y h}{2b}, \quad p_{z} = \frac{n_z h}{2c}, \quad n_x, n_y, n_z = 1, 2, 3, ... \] 2. **能量计算**：粒子的总能量为各方向动能之和： \[ E = \frac{p_x^2 + p_y^2 + p_z^2}{2m} = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2m} \left( \frac{n_x^2}{a^2} + \frac{n_y^2}{b^2} + \frac{n_z^2}{c^2} \right), \quad n_x, n_y, n_z = 1, 2, 3, ... \] 这里的\(\hbar = \frac{h}{2\pi}\)是约化普朗克常数。 ### 3. 谐振子中的粒子 #### 3.3 粒子能量的可能取值 谐振子势描述的是粒子在一个形如\(V(x) = \frac{1}{2} m\omega^2 x^2\)的势场中运动的情形。这个模型通常用于描述分子振动等现象。 1. **量子化条件**：通过使用量子化条件，可以求得粒子在谐振子势中的能量取值： \[ E_n = (n + \frac{1}{2}) \hbar\omega, \quad n = 0, 1, 2, 3, ... \] 这里的\(\omega\)是谐振频率。 ### 4. 平面转子的能量 #### 4.4 平面转子能量的可能取值 平面转子模型描述的是物体绕某一固定轴旋转的情况。在量子力学中，可以使用类似的量子化条件来求解平面转子的能量取值。 1. **量子化条件**：对于平面转子的角动量\(p_\phi\)，有： \[ p_\phi = m \hbar, \quad m = 0, \pm1, \pm2, ... \] 2. **能量计算**：平面转子的能量为： \[ E_m = \frac{p_\phi^2}{2I} = \frac{m^2 \hbar^2}{2I}, \quad m = 0, \pm1, \pm2, ... \] 这里的\(I\)是转动惯量。 ### 总结 通过对这些模型的研究，不仅可以深入了解量子力学的基本原理，还可以学习到如何利用量子化条件解决实际问题。上述模型及其解析为理解和分析微观粒子的行为提供了重要的理论基础。