BillBaord 矩阵的推导
潘李亮 xheartblue 2005-1-11
(注：我只是展示推导过程和大方向，可能有些符号，比如某一列需要取负等问题，在推导过程中有些疏忽，请自己检查改正)。
Billboard 为面对着摄影机的一种面片，在绘制 BillBoard 的时候，首先都假定 BillBoard 为
一个面对着某个方向的简单的四边形。如图 1，红色的四边形为我们的 BillBoard 没有变换前
的位置。在本文中，我把所有的 BillBoard 的朝向都定为+z。即[0,0,1]。因此，我们可以得到
我们把 图 1 蓝色的三个方向定义为 Billboard 局部坐标系的三个正交基，Xb = [1,0,0] , Yb =
[0,1,0], Zb = [0,0,1].可见，它和世界坐标系的基是一样的。
（图 1） （图 2）
现在我们来计算如何将它旋转到面对着摄影机。如图 2，红色的为我们的 BillBoard。有
圆圈表示的是我们的 Camera，虚线为 Camera 的三个方向(均为单位化向量)。假设我们的变换
矩阵为 M。因为，在这里我们只计算 Billboard 旋转矩阵。则在 BillBoard 坐标系中的点 P1 =
[1,0,0] ,P2= [0,1,0], P3=[0,0,1].经过 M 变换后在世界空间的坐标为:
, , ,（注，因为右手系中，如 openGL，Dir 的方向和+Z 方向
相反，而左手系的 D3D 则刚好相同，所以如果是左手系则为
, , ）。所以，很容易得到(L = Left , U = Up , D = Dir)：
,所以 ，因为 L,U,D 为三个正
交单位向量，所以，
.。
LeftP =
'
1 UpP =
'
2 DirP −=
'
3
LeftP =
'
1 UpP =
'
2 DirP =
'
3
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=×
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
zDyDxD
zUyUxU
zlyLxL
M
.,.,.
.,.,.
.,.,.
1,0,0
0,1,0
0,0,1
1
.,.,.
.,.,.
.,.,.
1,0,0
0,1,0
0,0,1
−
×
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
M
zDyDxD
zUyUxU
zlyLxL
T
zDyDxD
zUyUxU
zlyLxL
M
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
−
.,.,.
.,.,.
.,.,.
1
推导过 View 矩阵的人都看的出来，这个矩阵就是 View 矩阵的左上角 3x3 部分。
因为 Billboard 的 Local 坐标系为世界坐标系，所以 M 就是 Billboard 的旋转矩阵。
即 M = Inverse( Rotation(ViewMatrix))，用这个矩阵，再加上平移矩阵，可以把一个 Billboard
从如图 1 的坐标中变换到观察坐标中。
本文以 OpenGL 为例子，在 D3D 中，只要把第三列取负就可以了。
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