高等代数学(线性代数)

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清华的教材,非常有名的教授,书写的也非常好,适合非常深入地学习高等代数和线性代数的同学,这也是数值计算的基础
体几何中的空间、内积、旋转等也很相近.人类的认识总是要经过目一抽系-:县体 思维中的具体)的过程.只要不断努力,量变引发质变,抽象的理论是完全可以波掌握的 在登山的征途上,没有平坦的大道叮走,只有那在陡峭的山路攀登上能体味欢乐的人,有 希望到达光辉的顶点.只有山路的陡长,才有顶峰的辉焊.“会当凌绝顶,一览众山小”愿 以七绝逍遥游一首,赠给有志奋斗的青年:鲲鹏怒化垂夭翼,海运扶摇九万击.野马息吹擰 视下,苍苍正色上至极 编写过程中参阅了许多国内外文献(见参考文献),在此深表感谢 林小雁同志在教学中多次使用本教材,给出许多可题的答案与提示深表感谢 北京大学赵春来教授给本书提出了宝贵的意见,第11章就是听取他的意见增加的 深表感谢.作者也对中国科大和清华大学同仁们的热情支持深表感谢 清华大学教务处和清华大学出版社对本书的出版给子了大力支持,在此一并深表感 谢 最后,愿借此机会对3多年前大学的代数老师曾肯成教授致谢.曾先生毕业于清华 大学,亡作于中国科大,以学问和师德闻名.现将先生66岁时,作者书赠的七言一首录此 以致作者的深深谢意:曾吟水木清华园,肯为英材倾玉泉.成就文宣千代牝,师法至圣-大 贤 作者 1997年2月于清华园 Ln+*41INWREmniTro 引言 第1章数与多项式 单a◆·●···◆·日···即◆·昏自合日导。·◆香合合山音·◆自咖·曾号····昏目·●单咖自罪 11数的进化与代数系统 1.2整数的同余与同余类 。··自日甲·4···c·日·D自‘·4··吾吾山·占··中☆日吾自·。命 1·3多项式形式环… ··自·合●自自卓卓··合甲·日自山中子●4◆·自自台自合4D4 4带余除法与整除性… 1.5最大公因子与辗转相除法 1.6唯一析因定理…… "·………12 1.7根与重根 自··●◆咖·昏。論 ■鲁●●申自晷鲁●●■■·命鲁●备·“‘鲁咖 14 1.8C[X]与R[X]… °“o…17 19Q[X与Z[X]…… “““………·18 1.10多元多项式 曾■晕●舀垂4单●鲁···■一「哥●晶▲◆备●申自中看●音··●鲁非p 21 1.11对称多项式∴ 合昏香自日卓····即即··自血口◆罪银s◆吾昏昏· 22 刁题1 ·日日吾t··4◆号◆自自血申口号D 25 第2章行列式 食●D督音·自口4D4● 2.1排列… q甲罪看ψ鲁會ψ■■聊■普自备看阜·申命自自●●自自甲阝●D↓《督◆香會昏自即·●鲁·鲁4自即● 31 2.2行列式的定义…… 备B画口品暴44···‘44·s◆日‘·‘ 32 2.3行列式的性质… ●·●··鲁·命自卓●●昌●◆·自◆ 35 4 Laplace展开 自···昏·合D合合命●qsD·日··自白电 40 2.5( ramer法则与矩阵乘法 ·◆··目●身鲁·号·吾·昌山··●·甲雪即晋量·°··目◆◆◆· 42 2.6矩阵的乘积与行列式… ◆p鲁ψ·自ψ咖國昏鲁看合最 合中◆甲●旷曾●命●聊D● 5 2.7行列式的计算 命晋督··自罪●●曾@晉p曾碧口鲁4鲁●◆·自自·命4● 47 习题2… ·.自.·.◆··●音·自甲甲。◆日●·●···自uu4as 54 第3章线性方程组… q·····自即······自自·◆P自看申命·申当 …"*60 3.1 Gauss消元法 命■鲁音●·自D●日●·命幽晷·4婚“·· 60 3.2方程组与矩阵的秩 ……………s…s…62 3.3行向量空间及列向量空间… 65 3.4矩阵的行秩及列秩 ……ss…68 35线性方程组解的结构 章甲●··命●·e自山口—·●口 a··自●●命···吾4命·●·引自 °69 36例题 73 3.7结式与消去法… ····日··吾·导昏◆·命··◆●··自自 …………75 习题3 ………………………………79 第4章矩阵的运算与相抵 s·84 矩阵的运算 4.2矩阵的分块运算 會··自自·白·日◆即甲罪q··●◆ψψ會●自·咖咱曾即q●D看■b备b备 86 矩阵的相抵 88 4.4分块与相抵举例 曾伊督 q鲁q罩●●◆即看●备◆自鲁●·●自电ψ口pD 91 4.5矩阵与映射…… ……""……"…97 *4.6矩阵的广义逆… ………99 习题4 鲁■晋自自◆幽哥■ 4··日日早·晷◆号导·····口··血中●●日◆q 第5章线性(向量)空间 l07 5.1线性(向量)空间… 争聊冒·■鲁●画·咖 ………107 5.2线性映射与同构……… ■旱鲁身●◆音自·D雪普● ……110 5.3基变换与坐标变换………… 113 5.4子空间的和与直和……… 自↓■●● 114 商空间 ■日卓●◆看聊 中■谭·■·最。◆p 119 习题5 命。● ………………………121 第6章线性变换 ■■●◆● 中自ψ曾鲁●·■普●自西最● 125 6.1线性映射及其矩阵表示 ◆●·=、日中·日日·导··●···4······· 6.2线性映射的运算… 128 6.3线性变换 ■◆◆鲁 ■■暑■b “日s···◆·····日·B。D自自4命◆自☆·日日日B日···吾合·· 20 6.4线性表示介绍 噜导■●■聊命●咖b也●昌 咖■■■··吾●自●●●●咖幽 131 6.5不变子空间… 如普甲·■争号■即會·■●■曾罪 ■●号聊■●看 6.6特征值与特征向量 137 习题6…… ··吾●··P·日·日日·甲●··吾吾·p·申由■省a画●↓a● 第7章方阵相似标准形与空间分解 150 7.1引言:孙子定理……… 150 7.2零化多项式与最小多项式… ……………s……152 7·3准素分解与根子空间 156 7.4循环子空间…… 163 7.5循环分解与有理标准形 ………165 7.6 jordan标准形 ■■■·昂·◆·自·p·即◆6● ………………170 7.7λ-矩阵与空间分解 最·B··°◆·自·日:日日◆4◆◆·D·日聊●● ………179 7.8矩阵的相抵 …………183 7.9三种因子与方阵相似标准形 188 7.10方阵函数 ■鲁普命·e咖■ 日日◆··●白自◆即即·◆即D吾◆t ·196 7·11与A可交换的方阵… 1···.··◆··自·。·●日·自自自■·4··◆ 205 *7.12循环分解与模 s·日日·西◆···『_日·。◆·4◆自·甲4· ···罪·如·☆口●p 208 7.13若于例题………… …………212 J题7 第8章双线性型、二次型与方阵相合 ………………221 8.1二次型与对称方阵… 备■鲁备■■■■冒■■■●冒 221 8.2对称方阵的相合………… 224 8.3正定实对称方阵 ■·■·●····■●卓q■●·■會·帽●●會·◆甲··聊咖◆··ψ。·音會冒ψ血■昌●罪罪看罪罪贯● 229 8.4交错方阵的相合及例题……………………………231 85线性函数与对偶空间… 233 86双线性型…… ●■自●自▲··■·●婚鲁●咖b吾●■D自。·ba··血 命q↓●鲁◆鲁t伽聊●者面◆ 237 8.7对称双线性型与二次型 ■■●咖 ……………240 次超曲面的仿射分类 242 习题8 ·日··●●·日■b·自●白白·甲▲号●甲●q …""s"*245 第9章欧几里得空问………… ■··■合幽■即哥■·「◆命自b◆鲁非自◆自 250 9.1标准正交基 ·■号 250 9.2方阵的正交相似… 咖血甲■·聊聊晋■◆ 254 9.3欧几里得空间的线性变换 258 9.4正定性与极分解 260 米9.5二次超曲面的正交分类 …………………263 9.6杂例 …265 习题 9……………………………………………………………………………270 第10章酉空间 ◆·◆·◆··晋·自日甲日品●b◆ ·P看·晕合自。4 …………275 10. 1 Hermite型…… 啁自唱■司·◆争自即D■母日自4■·4如自中自■■■早单日■鲁 275 10.2酉空间和标准正交基 1··日····qt日甲q晋●··日自甲辛·4●中日·画·▲ 10.3方阵的酉相似与线性变换… 280 10.4变换族…… 284 10.5型与线性变换 287 习题10… 292 第11章张量积与外积 296 11.1引言与概述 4··自●辛··日旨伊“↓日即●自4●● 296 11.2张量积 音鲁ψ画·●◆备暑■·●■●自 幽鲁电●看 哥音阜●4● ].3线性变换及对偶… 306 11.4张量及其分量… 308 11.5外积 日日鲁督↓嘻即音P聊ψ■■自●P·最■鲁 11.6交错张量 ■番自·昌·自聊·ψ····◆·自·‘如‘一申q·◆·◆命◆“a当pd 习题l 附录 323 1集合与映射…………………………323 无限集与选择公理 325 习題的答案与提示 ·328 参考文就… 349 符号说明 曾鲁鄂曾督●●●p晷伊晋聊嵋凸b自●晋D静b合血 350 中英文名词索引 s……ss….s…………∴……352 4.i;J tAw 3K hiRe 第 1.1数的进化与代数系统 自然数1,2,3,…的发现史可能与人类史同样古老自然数全体记为N,其中有加法 和乘法两种运算但对二者的逆运算减法和除法均不封闭.人类在实践中逐渐接受了零和 负数为“数”,于是自然数发展出暨数(即正负自然数和零).整数全体记为Z(源于德文 zah),对加法及其逆运算封闭.人类又接受分数为数,发展出有理数全体有理数记为Q (源于 quotient),对加法和乘法及它们的逆运算均封闭〔0不作除数).在很长时期内,人们 认为有理数就是世上仅可能有的数了,在实用中似乎也足够了后来为了极限的完备性 〔即 Cauchy序列均有极限存在;直观上表现为任意线段都能有数表其长),人类终于承认 无限不循环小数也是数,于是发展出实数实数全体记为R(源于real),对极限是完备的 对加、乘法及它们的逆运算也都是封闭的.很久以后为了解代数方程的需要,例如解方程 x2+1=0,人类终于承认√—1等虚数为数,由此发展出复数复数全体记为C(源于com plex),任意(复系数)代数方程在C中均有解(见图1.1). R 图 由此可见,数的概念随人类的进步是不断进化的人们后来又发展出其它许多“数” 而且,更重要的是,人们由这些数的发展得到启示,概括抽象出群、环、域等概念,使数学进 入了新天地 为了使用清楚方便,以下我们给出群、环、域的定义和术语,这对阅读本书已足够.尽 早熟悉这些定义和术语,对学习和应用近代数学甚有益处 定义11一个群( group)即是一个非空集合G,在其中定义了一个二元运算兴(即 对G中任意元素a,b,有G中唯一元素(记为a¥b)与之对应),且满足如下规律 (1)封闭性:对任意ab∈G,总有a关b∈G; (2)结合律:且*(b*C)=(axb)*c(对任意ab,c∈G); 3)恒元:存在e∈G,使e兴a=a对所有a∈G成立; (4)逆元:对任意a∈G,总存在b∈G,使b 上述群常记为(G,兴)或G,(4)中的b称为a的逆,记为a-1,e称为恒元,也称为单位 元有时也称运算*为“乘法”事实上它可以是满足上述四个条件的任意二元运算,并不 定是普通数学的乘法意义此外注意,上述定义中的恒元和逆元都是乘在左边的,但可 以证明乘在右边也具有同样的性质,也就是说,对任意a∈E,有 e及 事实上,由a-1=e兴a-1=(a-1a)米a-1=a-1头(a共R-1),两边在左方均再乘以 (a-1)-即得e=a为a-.又显然有axe=a关(a-1ka)=(a关a-1)并且=e并a. 如果群(G,兴)还满足交换律,即a米b=b关a对任意a,b∈G成立,则该群称为Abe 群或交换群.Abel群的运算经常记为加法(用+代替*作为运算符),恒元常记为0称为 零元a的道元常记为-a称为a的负元 例1.1(Z,十),(Q,十),(R,+),(C,十)均为∧bel群,这里加法(十)均指普通数的 加法 定义12一个环(ring)是一个集合R,其中定义了两个二元运算,分别记为加法 ()和乘法(),且满足: (1)(R,+)是Abel群; (2)(R,)是半群,即满足封闭性和结合律; (3)分配律a·(b+c)=a·b+a·c,(a+b)·c=a·c+b·c 对任意a,b,c∈R成立 上述环记为(R,+,)或R,乘号·常省去而记a·b为ab,加法零元常记为0.注意 a=a·0=0对任意a∈R成立,事实上,Qa=(+0)a=0a+0a,即得0a=0. 如果环R对乘法有恒元e,则称R为含幺环.在含幺环R中,对c∈R,若存在x∈R 使得xc=cx=e,则称x为c的逆元,称c是可逆的(或称c为R的单位).如果一个环R中 乘法满足交换律,则称R为交换环 定义13个域(feld即是一个环(F,+,·),且要求F的非0元全体F对乘法 是Abel群详言之,域即是有两个二元运算(+)和(·)的集合F,且满足 1)(F,+)是Abel群 (2)(F,·)是Abel群; (3)分配律 例1.2(Z,+,·)是环,称为整数环,这是很重要的一个坏(这里运算是普通加法和 乘法) 例1.3Q,R,C对通常加法和乘法均是域,分别称为有理数域实数域,和复数域 这是常用到的也是最重要的域 例上4Q(√5)={a+b√5{a,b∈Q}是域 若域F的子集合K对于F中的原运算仍是一个域,则称K是F的子域,F是K的 扩域类似有子群、子环的定义 复数城C的子域被称作数城,上述三例中的域均是数域数域有很多(无穷多个),是 重要的域注意任一数域中总含有自然数1,从而含有Z,从而含有Q.故有理数域Q是最 小的数域,是任一数域的子域数域以外的域也有很多(无穷多个),且很重要.下例即是信 息编码中很重要的“二元域” 例15F2={0,1对于如下定义的加法和乘法是域:0+0=0,0+1=1+0=1 1+1=0,0·0=0,0·1=1·0=0,1·1=1. 今后常以0和1分别记一个域F中的加法和乘法单位元.高等代数学中要经常以 个域F为基础,研究F上的函数、多项式、向量等.比较早期的初等教程中常设基础域F 为实数域R.本书的大部分论述是在一般的基础域F上展开,以适应数学进一步发展的 理论需要和计算机信息通信等多方面的实际应用需求对一般的域F,我们常常把其中的 元素称为数(虽然并不一定是复数或实数),这是相对于F上的多项式和向量等而言的 1.2整数的同余与同余类 整数环Z的一个重要性质是可进行带余除法,即若m,n∈Z且m≠0,则必存在 q,r∈Z使得 且0≤ 这里q称为n除以m的商,r称为余数若r=0,则称m整除n,记为m|n由Z的带余 除法性质可导出Z的许多其它性质,例如算术基本定理(即任一整数可唯一分解为素数 之积将在1.6节中证明,本节利用此性质讨论整数的同余) 若整数a与b除以m的余数相同,则称a与b对模m同佘( congruent modulo n),讠 为 这恰相当于ma-b,也恰相当于a=b+mk对某k∈Z成立符号“≡”称为同余号,读为 同余于”,上面的表达式称为同余式( congruence).同余与相等有如下类似性质(对任意 a,b,c,d∈Z) 1.(传递性)若a=b(modm),b=c(modm),则a=c(modm) 2(对称性)若a三b(modm),则b=a(modm) 3.(反身性)总有a=a(modm). 4.(同余式相加)若a=b(modm),c≡d(modm),则a+c=b+d(modm) (同余式相乘)若a=b(modm),c=d(modm),则a=bd(modm) 6.(同余式约化)(1)若a≡b(modm),且d|a,dl|b,d与m互素则 (2)若a=b(modm)月d为a,b,m的公因子,则 a/d=bid(mod m/d) 同余概念含首先由高斯(Gaus)引入,有重要的意义模数m通常取为正整数 例1.6(弃九法)记正整数a的十进位表示的各位数字之和除以9的余数为a例如 72982=1.则“弃九法”晰言,若a×b=C则a×b=c;若a+b=c则a+b=c这可用来初检 运算的正确性.例如对?2982=5326372334,因右方弃九后为2,可知等式有误.为了证明 弃九法,只需注意10=1(mod9),故若a的十进位表示为a=an10+…+a10+a,则a +a1+a0=a(mod9)故若mb=C,则应有ab=c(mod9),此即弃九法 练习1(用9整除判则)9整除整数a,当且仅当9整除a的数字和

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