小波变换中的尺度函数和小波函数分析
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2016-01-23
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小波分析和尺度函数
小波分析里，很容易混淆的一个概念就是小波函数（wavelet function）和尺度函数（scaling
function）的关系。本文将不涉及小波分析的由来及发展历史，也不谈小波分析应用，本文主要目
标仅是试着解释清楚小波函数和尺度函数两者的关系，同时也解释一些小波分析中的其他必要相
关概念。当然，要更好理解小波分析，一些
傅里叶变换的知识是必要的。
我们知道，傅里叶变换分三种不同但又紧密相连的形式：
1，积分傅里叶变换，时域频域都连续；
2，傅里叶级数展开，时域连续，频域离散；
3，离散傅里叶变换，时域频域都离散。
同样，在小波分析中，也有三种类似的形式。积分（连续）小波变换（CWT），小波级数展开，
以及离散小波变换（DWT）。
先看看连续小波变换，连续小波正变换为[1]：
∫
∗
= dtttfs
s
)()(),(
,
τ
ψτγ
（1）
逆变换为：
∫∫
=
τψτγ
τ
dsdtstf
s
)(),()(
,
（2）
其中*号表示复共轭，
)(
,
t
s
τ
ψ
为小波基函数（basis function）。
不同小波基函数，都是由同一个基本小波（basic wavelet）
( )
t
ψ
，经缩放和平移生成，即：
−
=
s
t
s
t
s
τ
ψψ
τ
1
)(
,
（3）
傅里叶变换把一个信号 f(t)分解为一系列不同频率正弦型信号的叠加，而傅里叶变换系数就代表不
同正弦型信号的幅值。其中，所有正弦型基函数都由
傅里叶基函数生成。类似于傅里叶基函数，
所有小波基函数也由同一个
基本小波生成[2]。不同的是，傅里叶基函数是固定的正弦型信号，而
基本小波并未指定，需要根据实际的信号形式，在满足基本小波约束条件下进行设计。
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