矩阵分析课后题答案

所需积分/C币:16 2013-12-18 21:16:53 5.65MB PDF
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矩阵分析课后题答案,汪荣鑫的课后题答案。
]01 10 1 其中 0 I 即为所求过渡矩阵 没B是线性变换x在基61,E2,3下的矩阵表示,即 [1,E2,E3]=[1;E2,E3]B 于是 0 B=P-'AP=22 0 302 (2)由于方程组AX=0的基础解系是[1,-11].所以 的核子空闯 N(A)=8pan{a1-a2+a2}=span[-2,2,3]n x的值域 R(A)=8pan{a(a1),(a2),x(a3)} spana,+ 42+2a3,-a1+3a;} =span{[0,0,-1],[1,2,,[122]} span{[0,0,1]2,[1,2,0]} l-13见典型例题1.21 1-14证明:由tr(AB)=tr(BA),从而 t(AR)=trL(AB·AB·…·A)B] trf(aB AB·A)] r(BA) 1-15.证明:利用Aa=λa,Aa,=a即可证明 1-16.设λ是矩阵A的任一特征值,其对应的特征向量为∝即 有Aa=a,那么有Aa=a,又A2=E,于是可得(2-1)a=0,注 意到a≠0,从而有42=1,因此A的特征值只可能是+1或者-1 1-17.方法同上 1-18.证明:设可逆矩阵A的特征值为A,对应的特征向量为 则Aa=a,从而A'Aa=A"l(la),即Ba=A"a,因此Aa .所以A的特征值为,对应的特征向量为a 1-19.证明:因相似矩阵有相同的特征多项式与特征值, 利用 E一A|=x-(a1+a1+…+a)A1+…+(-1)“|A 根据根与系数的关系∑=∑a=∑b得证r(A)=tr(B) 1-20.见典型例题1.27 例1.试证:所有u阶对称矩阵组成 n(n+1 2雏线性空阃; 所有n阶反对称矩阵组成 n(n 2雏线性空间 证明:用E,表示n阶矩阵中除第i行,第i列的元素为】外, 其余元意全为0的矩阵用E(<月=1,2,……n-1)表示n阶 矩阵中除第i行第j列元素与第j行第i列元素为1外,其于元意 全为0的矩阵 显然E,E都是对称矩阵,E有n个,E,有( 2 个·不难 证明E,E,是线性无关的,且任何一个对称矩阵都可用这n+ n(n-1)=x(q7+1)个矩阵毁性表示,此即对称矩阵组成(+1) 2 维线性空间 同样可证所有n阶反对称矩阵组成的线性空间的维数为 n(罪 2 例15在R22中求矩阵 2 在基E=「11 11 1 0 Es 下的坐 00. 标 方法一设A=x,E1+x:E2+x1B3+x,E 十xA 0 10 o 0 故 [2]-[+x+ +rt+ 于是 十xg+x1十 x2+ 2 +x2=0,x 解之得 3 =一3.x 即A在E1E2BE4下的坐标为(3,-3,2,-1)r 方法二应用同构的概念,R22是一个四维空间,并且可将矩 阵A看作(12,0,3),B1,E,E3,E.可看作(1,1,1,1)2,(1,1,1 0)r,(1,1,0,0)3,(1,0,0,0).于是有 L111;1 3 100:0 因此A在E1,2,E3E下的坐标为[3,-32,-1] 评注;只需按照向量坐标定义计算 例1,6试证:在R2中矩阵 11 1 1 10 11 0 10」 a b 线性无关,并求a= 在a1,a2,a34下的坐标 解:设ka1十k2a2+k2a3+k,4=0 11 ]+[b1]+d+1 k十k?十k1十k4k十是z+k k十3十kk十k:十妻 于是 k1十k+k3十k=0,十k2+k:=0 贞1+妻1+k,=0,1十爬2+k=0 解之得 k1=k,=k,=奴=0 故 1 C9 PLI9 a4线性无关 设 b rt +r 11 l0. x1+x+x1+ 十xz+x3 +x3+ 十x2+ 于是 t rt r,+ta x;+ 3 b 十x3十 十x?+ 解之得 1=b+c+d-2a,x2 3 r1;x2,x3,x,即为所求之坐标 例1.7设R[x1是所有次数小于4的实系数多项式组成的 线性空间,求多项式p(x)=1十2x3在基1,x-1,(x-1)2, x-1)3下的坐标 解:方法一(用线性空间理论计算) 户(x)=1+2x3=[1.x…x2,x3 y2 1,x-1,(x一1)2,(x-1)3 y 又由于 1,x一1.(x-1)2,(x-1)] 1 0 2 3 1 3 于是p(x)在基1,x-1·(x-1)2,(x-1)下的坐标为 y 3 y 2 3 0 y 0 0 方法二将p(x)=1十2x3根据幂级数公式按x-1晨开可 得 p(x)=1+2x3 (1)+p(1)(x-1)+(1(x-1)2+23:(x-1 2 3十6(x-1)+6(x-1)2+2(x-1)3 因此p(x)在基1x-1,(x-1)2,(x-1)3下的坐标为[3,6,6 2. 例110已知R中的两组基 ar1=[1,-1,0,0],a2=[o,l,-1,01 a2=[0,0,1,-1,a4=[1,0,0,1] 与 月=[2,1,-1,1,A2=[0,31,0] 月=[53,2,1,月=[66·1,3 求:(1)由基∝1,a,an,a,到基民,月凤的过渡矩阵 2)求向量[1,0,1,0在基A,A,月,月下的坐标 解:()设 [A,A,A]=[a1,2,a3,aJP 将a,α2,ax3,a,与A,AA月代人上式得 2056 00 6 00 310 321 0-1 0 0 故过渡矩阵 20561 0-1 0 321 2 2321232 2529212 5 8 (2)设 y J2 e 010 (A1,R2,因,月) 4 将月,A2,月3只坐标代人上式后整理得 9 0561-「1 8 y2 1336 0 27 y 1121 1013J0 3 2 27. 例L.12已知 a2=[1,2,1,0],a2=[-1,1,1,1], A=[2,-1,0,1]良=[1,-1,3,7T 求span{∝1,a?}与span{月月}的和与交的基和维数 解:因为 spaniai, aI span(,, A)=span(a,, a,, A, B2 由于秩{a,a2,月具}=3,且a,a2,月是向量a1,a2月,月的一个 极大线性无关组,所以和空间的维数是3,基为a1;a2,A 方法一设 E spanta,a2H∩span月,B},于是由交空间定 义可知 E=k,,+k2 a2=4A+1,B 此即 k:+k2 2 十k k 3 解之得 k=-l1,k2=42,l1=-342(l2为任意数) 于是 6=k1a1+k2a2=l2[-5,2,3,4](很显然=l1A+ln月 所以交空间的维数为1基为[-5,2,3,4 方法二不难知 span(ay,a?7=span(a,, d?I, span(B,, a?=span(A B2) 其中=[-2,-2、0,1,B=[-,2,10.又 span(a,a 也是线性方程组 2x4 x2=2x 的解空间,span{A1,B2}是线性方程组 13 +2x 2 2 T 4 的解空间,所以所求的交空间就是线性方程组 3 2 2x3一x 13 十2 2 的解空间,容易求出其基础解系为[-5,2,34],所以交空间的维 数为1,基为[5,234] 例1.14设是n维线性空间v的一个线性变换,对某个 ∈V有、-()≠0,、⑩()=0,试证:,(),、a2() …,xkn'()线性无关

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