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matlab与方程组求解
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2011-10-29
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28页
函数 bicg 格式 x = bicg(A,b) %求线性方程组AX=b的解X。A必须为n阶方阵,b为n元列向量。A可以是由afun定义并返回A*X的函数。如果收敛,将显示结果信息;如果收敛失败,将给出警告信息并显示相对残差norm(b-A*x)/norm(b)和计算终止的迭代次数。 bicg(A,b,tol) %指定误差tol,默认值是1e-6。 bicg(A,b,tol,maxit) %maxit指定最大迭代次数 bicg(A,b,tol,maxit,M) %M为用于对称正定矩阵的预处理因子 bicg(A,b,tol,maxit,M1,M2) %M=M1×M2 bicg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0) %x0为初始估计值,默认值为0。 [x,flag] = bicg(A,b,…) %flag的取值为:0表示在指定迭代次数之内按要求精度收敛;1表示在指定迭代次数内不收敛;2表示M为坏条件的预处理因子;3表示两次连续迭代完全相同;4表示标量参数太小或太大。 [x,flag,relres] = bicg(A,b,…) % relres表示相对误差norm(b-A*x)/norm(b) [x,flag,relres,iter] = bicg(A,b,…) %iter表示计算x的迭代次数 [x,flag,relres,iter,resvec] = bicg(A,b,…) %resvec表示每次迭代的残差:norm(b-A*x0)
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线性规划问题
线性规划问题是目标函数和约束条件均为线性函数的问题, 解决的线性规划问题的标准形式
为:
:
其中 、、、、、 为向量,、 为矩阵。
其它形式的线性规划问题都可经过适当变换化为此标准形式。
在 版中,线性规划问题()已用函数 取代了
版中的 函数。当然,由于版本的向下兼容性,一般说来,低版本中的函数在 版中仍可使用。
函数
格式 !求 "#线性规划的最优解。
!等式约束 ,若没有不等式约束 ,则 $%,$%。
!指定 的范围 ,若没有等式约束 ,则 $%,$%
!设置初值
! 为指定的优化参数
$&%' !返回目标函数最优值,即 &"#。
$()%' !( 为解 的 乘子。
$(&)%' !) 为终止迭代的错误条件。
$&()%' ! 为关于优化的一些信息
说明 若 )* 表示函数收敛于解 ,) 表示超过函数估值或迭代的最大数字,
)+ 表示函数不收敛于解 ;若 (,表示下界 ,( 表示上界
,( 表示不等式约束,( 表示等式约束,( 中的非 元素表示对
应的约束是有效约束; 表示迭代次数,- 表示使用的运算规则,
. 表示 /0 迭代次数。
例 12求下面的优化问题
解:
**$131431%3
**$21223564356%3
**$634635%3
**752 3
**$&)(%$%$%
结果为:
!最优解
2
5
&!最优值
189
)!收敛
2
:!迭代次数
.:
-:""!所使用规则
(
:$52(%
:$2(%
:$52(%
,:$52(%
**(
2
**(,
2
表明:不等约束条件 6 和 5 以及第 2 个下界是有效的
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
非线性规划问题
有约束的一元函数的最小值
单变量函数求最小值的标准形式为
在 中使用 函数求其最小值。
函数 (
格式 (26 !返回自变量 在区间 上函数 取最小值时 值, 为目标函数的
表达式字符串或 自定义函数的函数柄。
(26 ! 为指定优化参数选项
$&%(' !& 为目标函数的最小值
$&)%(' !) 为终止迭代的条件
$&)%(' ! 为优化信息
说明 若参数 )*,表示函数收敛于 ,若 ),表示超过函数估计值或迭代的最大数字,
)+ 表示函数不收敛于 ;若参数 表示迭代次数,.. 表示
函数赋值次数,- 表示所使用的算法。
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
线性方程的组的求解
24线性方程的组的求解
我们将线性方程的求解分为两类:一类是方程组求唯一解或求特解,另一类是方程组求无穷解即通解。可
以通过系数矩阵的秩来判断:
若系数矩阵的秩 ( 为方程组中未知变量的个数),则有唯一解;
若系数矩阵的秩 +,则可能有无穷解;
线性方程组的无穷解 对应齐次方程组的通解<非齐次方程组的一个特解;其特解的求法属于解的第一
类问题,通解部分属第二类问题。
242求线性方程组的唯一解或特解(第一类问题)
这类问题的求法分为两类:一类主要用于解低阶稠密矩阵 —— 直接法;另一类是解大型稀疏矩阵 ——
迭代法。
2.利用矩阵除法求线性方程组的特解(或一个解)
方程:=
解法:=>
例 218求方程组 的解。
解:
**$
2
2
2
2%3
$22%"3
?@A !求秩
=>!求解
运行后结果如下
?@
=
666
128629
282
1B4
5299
这就是方程组的解。
或用函数 求解:
**/$%!由系数矩阵和常数列构成增广矩阵 /
**?/ !将 / 化成行最简行
?
2666
2128629
2282
21B4
25299
则 ? 的最后一列元素就是所求之解。
例 2188求方程组 的一个特解。
解:
**$2215123512154321B19%3
**$24%"3
**=>!由于系数矩阵不满秩,该解法可能存在误差。
=$1555%C(一个特解近似值)。
若用 求解,则比较精确:
**$2215123512154321B19%3
$24%"3
**/$%3!构成增广矩阵
**?/
?
212826
21212816
由此得解向量 =$26D6%C(一个特解)。
6.利用矩阵的 E、F? 和 .-AG 分解求方程组的解
(2)E 分解:
E 分解又称 0 消去分解,可把任意方阵分解为下三角矩阵的基本变换形式(行交换)和上三角矩阵
的乘积。即 E, 为下三角阵,E 为上三角阵。
则:#=变成 #E#=
所以 =E>> 这样可以大大提高运算速度。
命令 $,E%
例 2189求方程组 的一个特解。
解:
**$4612351263225%3
**$629%"3
**H(
**$E%
**=E>>
显示结果如下:
H
5512
68682
2
E
225
1292966
I:.(G.(
?G..?/JKH62998128
*LH>M>864
=
2<2#
145
2496
2522
说明 结果中的警告是由于系数行列式为零产生的。可以通过 #= 验证其正确性。
(6)/-AG 分解
若 为对称正定矩阵,则 /-AG 分解可将矩阵 分解成上三角矩阵和其转置的乘积,即: 其中 ? 为
上三角阵。
方程 #=变成
所以
(5)F? 分解
对于任何长方矩阵 ,都可以进行 F? 分解,其中 F 为正交矩阵,? 为上三角矩阵的初等变换形式,即:
F?
方程 #=变形成 F?=
所以 =?>F>
上例中 $F?%
=?>F>
说明 这三种分解,在求解大型方程组时很有用。其优点是运算速度快、可以节省磁盘空间、节省内存。
246求线性齐次方程组的通解
在 中,函数 用来求解零空间,即满足 .= 的解空间,实际上是求出解空间的一组基
(基础解系)。
格式 7!7 的列向量为方程组的正交规范基,满足 。
!7 的列向量是方程 = 的有理基
例 218B求解方程组的通解:
解:
**$2662362161632121415%3
**!指定有理式格式输出
**"" !求解空间的有理基
运行后显示结果如下:
6N5
1614N5
2
2
或通过行最简行得到基:
**
216128
2625555
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资源评论
- 雨_水2013-07-14挺好的,可以实现方程组的求解。
jingyaoqiu
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