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文章编号:1000⁃0887(2019)11⁃1224⁃11 ⓒ 应用数学和力学编委会,ISSN 1000⁃0887
离散分数阶神经网络的
全局 Mittag⁃Leffler 稳定性
∗
游星星, 梁伦海
(重庆交通大学 经济与管理学院, 重庆 400074)
摘要: 研究了一类离散分数阶神经网络的 Mittag⁃Leffler 稳定性问题.首先, 基于离散分数阶微积
分理论、神经网络理论,提出了一类离散分数阶神经网络.其次,利用不等式技巧和离散 Laplace 变
换,通过构造合适的 Lyapunov 函数,得到了离散分数阶神经网络全局 Mittag⁃Leffler 稳定的充分性
判据.最后,通过一个数值仿真算例验证了所提出理论的有效性.
关 键 词: 全局 Mittag⁃Leffler 稳定性; 分数阶神经网络; 离散时间; Lyapunov 函数
中图分类号: O357.41 文献标志码: A DOI: 10.21656/ 1000⁃0887.400163
引 言
自 1982 年美国加州理工学院生物物理学家 Hopfield 提出了神经网络的数学模型以来
[1]
,
各种类型的网络模型相继被建立
[2⁃3]
.由于神经网络具有自学习功能、联想记忆功能和鲁棒性
强等特点,现已广泛应用于联想记忆、图像处理、信号传输、保密通讯、模式识别等诸多领域
[4]
.
从神经网络稳定性的研究工作来看,无论是实值神经网络还是复值神经网络,其模型都是用整
数阶微积分描述的.然而,在实际研究中,整数阶微积分也有局限性,其整数阶导数建立的神经
网络无法准确地描述大部分神经元具有的记忆特性和历史依赖性.人们发现,利用分数阶微积
分所建立的模型比用经典的整数阶微积分建立的模型能更准确地描述这些自然现象及反映系
统的性态,这也是分数阶微积分最主要的优势.因此,分数阶微积分具有的功能是整数阶微积
分不能替代的.最近,一些学者利用分数阶微积分描述模型所具有的良好的记忆能力和遗传特
性,将分数阶微积分理论引入到神经网络,建立了分数阶神经网络模型.在设计神经网络解决
实际问题时,往往需要对其稳定性进行讨论与分析,稳定性是保证控制系统正常工作的先决条
件,合理选择网络的参数和激活函数,可以确保网络正常、高效地完成工作
[5]
.因此,对分数阶
神经网络稳定性进行深入研究具有重要意义.Lyapunov 直接方法是非线性系统中稳定性分析
的重要工具.当 Lyapunov 直接方法扩展到分数阶系统时,就产生了 Mittag⁃Leffler 稳定性
[6⁃7]
.近
年来,一大批关于分数阶神经网络的 Mittag⁃Leffler 稳定性研究理论被相继报道
[6⁃12]
.
众所周知,在计算机模拟和仿真中,离散化过程是研究人员分析系统行为最主要的方法,
4221
应用数学和力学,第 40 卷 第 11 期
2019 年 11 月 1 日出版
Applied Mathematics and Mechanics
Vol.40,No.11,Nov.1,2019
∗
收稿日期: 2019⁃05⁃07; 修订日期: 2019⁃05⁃23
基金项目: 重庆市研究生教育创新基金(CYS18230)
作者简介: 游星星(1994—),男,硕士生(通讯作者. E⁃mail: youxingxing11@ 163.com);
梁伦海(1995—),男,硕士生(E⁃mail: 765046989@ qq.com).
几乎所有的数值仿真实验结果都是通过把连续系统离散化得到的.因此,我们直接关心的是离
散系统是否保持了连续系统的性质.同样地,那些适用于分析连续分数阶系统所建立的稳定性
判据是否能应用于离散分数阶系统.一些学者对于离散的分数阶微积分进行了研究,也得到了
一些理论结果
[13⁃16]
:文献[13⁃14]给出了离散的 Mittag⁃Leffler 函数的定义和性质,并且研究了
离散 Laplace 变换在 Caputo 分数阶差分算子和 Mittag⁃Leffler 函数上的应用;文献[15] 基于离
散分数阶微积分、不等式技巧和不动点定理,考虑了具有泄漏时滞的离散分数阶双向联想记忆
神经网络的存在性、唯一性和一致稳定性;文献[16] 通过利用 Krasnoselskii 不动点定理和 Ar⁃
zela⁃Ascoli 定理,研究了具有非线性时滞的离散分数阶 Lotka⁃Volterra 模型.然而,这些文献研
究的大多是离散分数阶微积分的性质,很少有文献涉及到离散分数阶神经网络的 Mittag⁃Lef⁃
fler 稳定性.
鉴于以上分析,本文通过构造合适的 Lyapunov 函数,结合不等式技巧和离散 Laplace 变
换,研究了一类离散分数阶神经网络的全局 Mittag⁃Leffler 稳定性,得到了确保网络平衡点稳定
的充分性判据.相比于已有的文献,本文的贡献主要体现在两个方面:
1) 据笔者所知,本文第一次研究了离散分数阶神经网络的全局 Mittag⁃Leffler 稳定性.根据
连续分数阶神经网络和离散分数阶微积分的理论,得到了 Lyapunov 直接法在实数域上的几个
引理,从而将连续分数阶神经网络的部分性质扩展应用到离散分数阶神经网络.
2) 应用离散的 Laplace 变换和不等式技巧,得到了判定 Mittag⁃Leffler 稳定的充分条件.
本文的结构如下: 第 1 节介绍了有关离散分数阶微积分的预备知识,包括离散分数阶神
经网络模型、相关的定义及引理; 第 2 节给出了离散分数阶神经网络全局 Mittag⁃Leffler 稳定
的充分性判据; 第 3 节通过一个数值仿真实例验证了提出理论的有效性; 最后总结了全文所
做的工作.
1 预 备 知 识
1.1 模型描述
为了方便表达,本文使用以下记号.
R
n
和 C
n
分别表示由 n 维实数和复数向量构成的空间,R
n
×
n
表示由 n
×
n 维实数矩阵构成
的集合;I
n
表示 n
×
n 的单位矩阵; 对于 z(t)
=
(z
1
(t),z
2
(t),…,z
n
(t))
T
∈ R
n
,‖z(t)‖
=
∑
n
j
=
1
z
2
j
(t) 表示 z(t) 的范数; 对于 A ∈ R
n
×
n
,λ
max
(A) 表示矩阵 A 的最大特征值; I
=
{
1,
2,…,n
}
;N
=
{
0,1,2,…
}
,类似地 N
+
=
{
1,2,…
}
.
本文考虑如下的一类离散分数阶神经网络:
c
Ñ
α
0
z
j
(t)
= -
c
j
z
j
(t)
+
∑
n
k
=
1
a
jk
f
k
(z
k
(t))
+
U
j
, j ∈ I, t ∈ N, (1)
其向量形式为
c
Ñ
α
0
z(t)
= -
Cz(t)
+
Af(z(t))
+
U, t ∈ N, (2)
其中
c
Ñ
α
0
表示一类阶数为 α(0 < α < 1) 的 Caputo 分数阶差分算子, j 表示神经元的数量; z(t)
=
(z
1
(t),z
2
(t),…,z
n
(t))
T
∈ R
n
表示神经元的状态向量;C
=
diag(c
1
,c
2
,…,c
n
) ∈ R
n
×
n
表示自
反馈连接权向量矩阵,其中 c
j
> 0;A
=
(a
jk
)
n
×
n
∈ R
n
×
n
表示连接权矩阵; f(z(t))
=
(f
1
(z
1
(t)),
f
2
(z
2
(t)),…, f
n
(z
n
(t)))
T
: R
n
→
R
n
表示神经元的向量值激活函数; U
=
(U
1
(t),U
2
(t),…,
U
n
(t))
T
∈ R
n
表示系统(1)的外部输入.
5221
游 星 星 梁 伦 海
系统(1)的初始条件为
z
j
(0)
=
ϕ
j0
, (3)
其向量形式为
z(0)
=
ϕ
0
. (4)
为了获得主要结果, 做出如下假设.
假设 1 系统(1)存在唯一的平衡点 z
∗
=
(z
∗
1
, z
∗
2
,…, z
∗
n
)
T
, 使得下面的等式成立:
-
c
j
z
∗
j
+
∑
n
k
=
1
a
jk
f
k
(z
∗
k
)
+
U
j
=
0, j ∈ I .
假设 2 对于任意给定的 u,v ∈ R, 存在常数 L
k
> 0, 使得
| f
k
(u)
-
f
k
(v) | ≤ L
k
| u
-
v | , k ∈ I,
定义
L
=
diag(L
1
,L
2
,…,L
n
) .
根据假设 1, 令 z(t)
=
z(t)
-
z
∗
, 则系统(1)可以表示为
c
Ñ
α
0
z
j
(t)
= -
c
j
z
j
(t)
+
∑
n
k
=
1
a
jk
(f
k
( z
k
(t)
+
z
∗
k
)
-
f
k
(z
∗
k
)), j ∈ I, t ∈ N . (5)
系统(5)的初值条件为
z
j
(0)
=
ϕ
j0
-
z
∗
j
.
1.2 基本定义和引理
本小节中将给出如下的基本定义和引理.
定义 1
[15⁃16]
对于自然数 α,t 的 α 次上升函数被定义为
t
α
-
=
Γ(t
+
α)
Γ(t)
, t ∈ R \
{
…,
-
2,
-
1,0
}
, 0
α
-
=
0,
其中 Γ(·)表示 Gamma 函数.另外, 定义迭代运算符 Ñ
α
=
Ñ(Ñ
(α
-
1)
) .
定义 2
[15⁃16]
对于任意的阶数 α > 0, 令 x:N
→
R, ρ(s)
=
s
-
1, 则
1) x(t) 的 nabla 差分被定义为
Ñx(t)
=
x(t)
-
x(t
-
1), t ∈ N
+
.
2) x(t) 的 Riemann⁃Liouville 和算子被定义为
Ñ
-
α
0
x(t)
=
1
Γ(α)
∑
t
s
=
1
(t
-
ρ(s))
α
-
1
x(s), t ∈ N
+
.
3) x(t) 的 Caputo 差分算子被定义为
c
Ñ
α
0
x(t)
=
Ñ
-
(1
-
α)
0
Ñx(t)
=
1
Γ(1
-
α)
∑
t
s
=
1
(t
-
ρ(s))
-
α
Ñx(s), t ∈ N
+
.
4) 令 μ >
-
1, 则差分算子的幂被定义为
Ñ
-
α
0
t
μ
-
=
Γ(μ
+
1)
Γ(α
+
μ
+
1)
t
α
+
μ
, t ∈ N .
注 1 根据定义 2, 对任意的常数
a,b ∈ R, 可以得到
c
Ñ
α
0
(af(t)
+
bg(t))
=
a
c
Ñ
α
0
f(t)
+
b
c
Ñ
α
0
g(t) .
定义 3
[13⁃14]
对于任意的 ϑ ∈ R, | ϑ | < 1 和 α,β,γ ∈ C 且 Re(α) > 0, 双参数的离散
nabla Mittag⁃Leffler 函数被定义为
E
α,β
(ϑ,γ)
=
∑
∞
k
=
0
ϑ
k
γ
kα
+
β
-
1
Γ(αk
+
β)
. (6)
6221
离散分数阶神经网络的全局 Mittag⁃Leffler 稳定性
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